From 040e2543fce39685c2eb0c1b8df6ec54aa29add9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Johannes Loher <johannes.loher@fg4f.de>
Date: Thu, 14 Sep 2017 18:59:14 +0200
Subject: [PATCH] Inhalt fertig
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@@ -86,9 +86,28 @@
@article{cohen46onthestructure,
title={On the structure and ideal theory of complete local rings},
- author={Cohen, Irvin Sol},
+ author={Cohen, Irvin S.},
year={1946},
volume={59},
pages={54 - 106},
journal={Transactions of the American Mathematical Society},
}
+
+@book{samuel1967methodes,
+ title={Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique},
+ author={Samuel, Pierre},
+ series={Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete},
+ year={1967},
+ publisher={Springer Berlin Heidelberg}
+}
+
+@article{roberts1998recent,
+ title={Recent developments on Serre’s multiplicity conjec-
+tures},
+ author={Roberts, Paul C.},
+ subtitle={Gabber’s proof of the nonnegativity conjecture},
+ year={1998},
+ volume={44},
+ pages={305 - 324},
+ journal={L’Enseignement Mathématique}
+}
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index c8d38c1..9896c51 100644
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@@ -3,6 +3,9 @@
\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
+In diesem Kapitel wollen Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Moduls bezüglich eines Ideal einführen.
+Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen.
+
\section{Ganzzahlige Polynome}
\label{sec:ganzzahlige-polynome}
@@ -17,7 +20,10 @@
\begin{defn}[Differenzenoperator]
\label{defn:differenzenoperator}
- Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ induktiv, das heißt aus $n \in A$ folgt $n + 1 \in A$.
+ Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ mit der Eigenschaft
+ \begin{equation*}
+ n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
+ \end{equation*}
Dann definieren wir den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
\begin{align*}
\Delta\colon \map(A,Z) &\to \map(A,Z)\\
@@ -107,7 +113,10 @@ Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sod
\section{Polynomartige Funktionen}
\label{sec:polynomartige-funktionen}
-Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv.
+Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
+\begin{equation*}
+ n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
+\end{equation*}
\begin{defn}[Polynomartige Funktion]
\label{defn:polynomartige-funktionen}
@@ -154,7 +163,7 @@ Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_
Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
-$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
+$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul.
Es gilt
\begin{align*}
@@ -421,7 +430,7 @@ Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M
Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist.
-Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen.
+Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen.
\begin{prop}
\label{prop:d-kleinergleich-s}
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index dd37c4a..ad433a2 100644
--- a/chapters/chapter3.tex
+++ b/chapters/chapter3.tex
@@ -2,6 +2,10 @@
\chapter{Der Koszul-Komplex}
\label{cha:der-koszul-komplex}
+
+Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe.
+Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglich Samuel’s Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Chaakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
+
Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\section{Der einfache Fall}
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index a20ef7a..42f061c 100644
--- a/chapters/chapter4.tex
+++ b/chapters/chapter4.tex
@@ -3,6 +3,9 @@
\chapter{Multiplizitäten}
\label{cha:multiplizitaeten}
+In diesem Kapitel wollen wir die Serre’s Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
+Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion auf die Diagonale} vorstellen.
+
\section{Die Multiplizität eines Moduls}
\label{sec:die-multiplizitaet-eines-moduls}
Im Folgenden wollen wir den Begriff der \emph{Multiplizität} eines Moduls einführen.
@@ -405,7 +408,7 @@ Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ e
Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur.
Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen
\begin{equation}
- \Tor^B_n(M \otimes_k N, A) \cong \Tor^A_n(M, N).
+ \Tor^B_n(M \otimes_k N, A) \cong \Tor^A_n(M, N). \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall}
\end{equation}
Ist also
\begin{equation*}
@@ -874,14 +877,196 @@ Nach \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} folgt also au
und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V) - \dim(W)$ folgt damit
\begin{equation}
\label{eq:dimension-intersection}
- \dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W).
+ \dim(U) + \dim(V) \le \dim(X) + \dim(W).
\end{equation}
Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}.
\begin{thm}
\label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
- \item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
- \item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
+ \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
+ \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
\end{enumerate}
-\end{thm}
\ No newline at end of file
+\end{thm}
+
+Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} zeigen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \enquote{Schnittmultiplizität} erfüllt.
+
+\section{Zykel auf einer nicht singulären affinen Varietät}
+\label{sec:zykel-auf-einer-nicht-singulaeren-affinen-varietaet}
+
+Sei im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring.
+Ist $a \in \N$ und $M \in K_a(A)$, so ist $z_a(M)$ ein positiver Zykel der Dimension $a$, der genau dann null ist, wenn $\dim(M) < a$.
+
+Sei nun auch $b \in \N$.
+Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$, so sagen wir, dass sich $\alpha$ und $\beta$ \textbf{eigentlich schneiden}, falls sich die zu $\mfp_i$ und $\mfq_j$ gehörenden irreduziblen Untervarietäten von $X$ für alle $i, j$ eigentlich schneiden.
+
+\begin{defn}[Schnittprodukt von Zykeln]
+ \label{defn:schnittprodukt-von-zykeln}
+ Seien $a, b \in \N$, $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$ zwei Zykel die sich eigentlich schneiden, das heißt für jedes minimale Primideal $\mfr$ in $\Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)$ gilt $\dim(A/\mfr) = c = a + b - \dim(X)$.
+ Dann definieren wir das \textbf{Schnittprodukt} von $\alpha$ und $\beta$ durch
+ \begin{equation*}
+ \alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr \in Z_c(A).
+ \end{equation*}
+\end{defn}
+
+\begin{prop}
+ \label{prop:schnitt-zykel}
+ Seien $a, b, c \in \N$ mit $a + b = n + c$. Seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln mit $\dim(M) \le a$, $\dim(N) \le b$ und $\dim(M \otimes_A N) \le c$.
+ Die Zykel $z_a(M)$ und $z_b(N)$ schneiden sich eigentlich und der Schnittzykel
+ \begin{equation*}
+ z_a(M) \cdot z_b(N) = \sum_{\substack{\dim(A / \mfp) = a \\ \dim(A / \mfq) = b}} \length_{A_\mfp}(M_\mfp) \length_{A_\mfq}(N_\mfq) \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp \otimes_A A / \mfq)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_\mfr, {(A / \mfq)}_\mfr) \mfr
+ \end{equation*}
+ stimmt mit dem Zykel
+ \begin{equation*}
+ z_c(\Tor^A(M, N)) \coloneqq \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^{i} z_c(\Tor^A_i(M, N))
+ \end{equation*}
+ überein.
+ \begin{proof}
+ Sei $W$ eine irreduzible Komponente von $X$ der Dimension $c$, die zu dem Primideal $\mfr$ von $A$ korrespondiert.
+ Nach Definition ist der Koeffizient des Primideals $\mfr$ im Zykel $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch
+ \begin{equation*}
+ \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_{A_\mfr}({\Tor^A_i(M, N)}_\mfr) = \chi^{A_\mfr}(M_\mfr, N_\mfr)
+ \end{equation*}
+ gegeben.
+ Dieser Koeffizient ist also \enquote{biadditiv} in $M$ und $N$ und nach \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} in \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} ist er null, falls $\dim(M) < a$ oder $\dim(N) < b$.
+ Das gleiche gilt offensichtlich auch für den Koeffizienten von $\mfr$ in $z_a(M) \cdot z_b(N)$.
+ Wir können uns also auf den Fall $M = A / \mfp$ und $N = A / \mfq$ beschränken, wobei $\mfp$ und $\mfq$ Primideale von $A$ sind, die irreduziblen Untervarietäten $U$ und $V$ von $X$ der Dimensionen $a$ und $b$ entsprechen.
+ In diesem Fall ist der Koeffizient von $\mfr$ in $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch $\chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_{\mfr}, {(A / \mfq)}_{\mfr})$ gegeben.
+ \end{proof}
+\end{prop}
+
+\begin{bem}
+ \begin{enumerate}
+ \item \cref{prop:schnitt-zykel} Liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen:
+ Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$).
+ Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}.
+ \item Wir können den Begriff der Zykel und \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} auf algebraische Varietäten erweitern, die nicht notwendigerweise affin sind.
+ In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ mit $\codim(Y, X) = p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
+ Ist $\mcM$ solch eine Modulgarbe mit $\dim(\Supp(\mcM)) \le a$ (was wir manchmal auch als $\dim(\mcM) \le a$ schreiben), so definieren wir auf offensichtliche Weise den Zykel $z_a(\mcM) \in Z_a(X)$.
+ Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzet werden.
+ \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\section{Eigenschaften des Schnittprodukts}
+\label{sec:eigenschaften-des-schnittprodukts}
+
+In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass das Schnittprodukt aus \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} die Fundamentalen Eigenschaften der Schnitttheorie erfüllt.
+Da diese Eigenschaften alle lokal sind, können wir annehmen, dass die Varietäten affin und nicht singulär sind.
+Dies ermöglicht es uns \cref{prop:schnitt-zykel} anzuwenden.
+
+Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring.
+
+\begin{description}
+ \item[Kommutativität]
+ Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(\bullet, \bullet)$ sind symmetrisch.
+
+ \item[Assoziativität]
+ Seien $z$, $z'$ und $z''$ drei positive Zykel der Dimensionen $a$, $a'$ und $a''$.
+ Wir nehmen an, dass die Schnittprodukte $z \cdot z'$, $(z \cdot z') \cdot z''$, $z' \cdot z''$ und $z \cdot (z' \cdot z'')$ definiert sind.
+ Dann müssen wir
+ \begin{equation*}
+ (z \cdot z') \cdot z'' = z \cdot (z' \cdot z'')
+ \end{equation*}
+ zeigen.
+
+ Sei dazu $M$, $M'$ und $M''$ $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
+
+ Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für Tor-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
+ \begin{align}
+ \Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\
+ \Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz}
+ \end{align}
+ Sei $c = a + a' + a'' - 2n$ und $b = a' + a'' - n$.
+ Da die Schnitte eigentlich sind, gilt $\dim(M' \otimes_A M'') \le b$ und $\dim(M \otimes_A M' \otimes_A M'') \le c$.
+ Demnach sind die folgenden Zykel wohldefiniert:
+ \begin{align*}
+ y_q &= z_b(\Tor^A_q(M', M'')) \\
+ x_{p,q} &= z_c(\Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M''))) \\
+ x_i &= z_c(\Tor^A_i(M, M', M''))
+ \end{align*}
+ Da Euler-Poincaré-Charakteristiken unter Spektralsequenzen invariant sind, erhalten wir aus \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz}:
+ \begin{equation*}
+ \sum_{i} {(-1)}^i x_i = \sum_{p,q} {(-1)}^{p+q} x_{p, q}
+ \end{equation*}
+ Aber \cref{prop:schnitt-zykel} zeigt
+ \begin{equation*}
+ \sum_{p} {(-1)}^p x_{p, q} = z \cdot y_q \quad \text{und} \quad \sum_{q} {(-1)}^q y_q = z' \cdot z''.
+ \end{equation*}
+ Folglich gilt
+ \begin{equation*}
+ \sum_{i} {(-1)}^i x_i = z \cdot (z' \cdot z'').
+ \end{equation*}
+ Wenden wir das gleiche Argument mit \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz} an, so erhalten wir
+ \begin{equation*}
+ \sum_{i} {(-1)}^i x_i = (z \cdot z') \cdot z'',
+ \end{equation*}
+ und damit die gewünschte Assoziativitätsformel.
+ \item[Produktformel]
+ Sei $X'$ eine weitere nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n'$ und $A'$ ihr Koordinatenring.
+ Seien $z_1$ und $z_2$ (beziehungsweise $z_1'$ und $z_2'$) zwei Zykel auf $X$ (beziehungsweise $X'$) und wir nehmen an, dass $z_1 \cdot z_2$ und $z_1' \cdot z_2'$ definiert sind. Dann schneiden sich $z_1 \times z_1'$ und $z_2 \times z_2'$ eigentlich auf $X \times_{\Spec(k)} X'$ und es gilt
+ \begin{equation}
+ (z_1 \times z_1') \cdot (z_2 \times z_2') = (z_1 \cdot z_2) \times (z_1' \cdot z_2').
+ \end{equation}
+ Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind.
+ Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
+ Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assozierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
+ Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth Formel}:
+ \begin{equation*}
+ \Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
+ \end{equation*}
+ \item[Reduktion auf die Diagonale]
+ Sei $\Delta$ die Diagonale in $X \times_{\Spec(k)} X$.
+ Sind $z_1$ und $z_2$ zwei Zykel auf $X$, die sich eigentlich schneiden, so müssen wir die Formel
+ \begin{equation}
+ z_1 \cdot z_2 = (z_1 \times z_2) \cdot \Delta \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt}
+ \end{equation}
+ zeigen.
+ Wir können wieder annehmen, dass $z_1$ und $z_2$ positiv sind.
+ Sei $B = A \otimes_k A$ der Koordinatenring von $X \times_{\Spec(k)} X$ und seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren.
+ Dann gilt nach \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall}
+ \begin{equation*}
+ \Tor^A_i(M_1, M_2) = \Tor^B_i(M_1 \otimes_k M_2, A).
+ \end{equation*}
+ \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt} folgt dann durch Bilden der alternierenden Summe der Zykel auf beiden seiten der obigen Gleichung.
+\end{description}
+
+Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zeigen.
+
+\begin{proof}[Beweis des zweiten Teils von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}~\cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b}]
+ Wir müssen also zeigen, dass die Funktionen $I$ und $i$ übereinstimmen.
+ Dazu betrachten wir zunächst den Fall, dass $U$ ein vollständiger Durchschnitt in $W$ ist, das heißt das Ideal $\mfp_U$ wird von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$.
+ $\bmx = (x_1, \ldots, x_h)$ ist also eine $A$-reguläre Folge.
+ Nach \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor} gilt also
+ \begin{equation*}
+ \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)}{(-1)}^i \length_A(H_i(\bmx, A / \mfp_V))
+ \end{equation*}
+ und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} liefert uns
+ \begin{equation*}
+ \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = e_{\bmx}(A / \mfp_V).
+ \end{equation*}
+ Nach {}\cite[s. 83]{samuel1967methodes} gilt aber $e_{\bmx}(A / \mfp_V) = i(X, U \cdot V, W)$ und das zeigt $I = i$ in diesem Fall.
+
+ Der allgemeine Fall reduziert sich auf diesen, indem wir die \emph{Reduktion auf die Diagonale} verwenden, denn sie ist sowohl für $i$, also auch für $I$ gültig.
+ Da die Diagonale $\Delta$ nicht singulär ist, is sie lokal ein vollständiger Durchschnitt und die Voraussetzungen des vorherigen Falls sind erfüllt.
+\end{proof}
+
+\section{Ausblick}
+\label{sec:Ausblick}
+
+Wir haben im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich darauf hingearbeitet, \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zu beweisen.
+Als wesentlichen Schritt dazu, haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt.
+Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} auf reguläre Ringe gleicher Charakteristik wirkt allerdings etwas speziell und es ist deswegen natürlich zu vermuten, dass die Aussage dieses Theorems auch für beliebige reguläre Ringe gilt.
+
+Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~2]{serre2000local}).
+
+Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~3]{serre2000local}).
+
+Die erste Aussage des Theorems, die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$, wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
+Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
+
+Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
+\begin{equation*}
+ \dim(M) + \dim(N) < \dim(A) \Longrightarrow \chi(M, N) = 0,
+\end{equation*}
+wurde für den Fall beliebiger regulärer Ringe 1985 von Paul C. Roberts gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998multiplicities}).
+Die Frage, ob die umgekehrte Implikation ebenfalls gilt, ist bis heute ein offenes Problem.
\ No newline at end of file
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\newcommand{\bmX}{\bm{X}}
+\newcommand{\mcM}{\mathcal{M}}
+\newcommand{\mcN}{\mathcal{N}}
+\newcommand{\mcO}{\mathcal{O}}
+\DeclareMathOperator{\mcTor}{\mathcal{T}\!\mathit{or}}
+
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
\DeclareMathOperator{\Ch}{Ch}
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}