From 040e2543fce39685c2eb0c1b8df6ec54aa29add9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Thu, 14 Sep 2017 18:59:14 +0200 Subject: [PATCH] Inhalt fertig --- bibliography.bib | 21 ++++- chapters/chapter2.tex | 17 +++- chapters/chapter3.tex | 4 + chapters/chapter4.tex | 195 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- custom_commands.tex | 5 ++ 5 files changed, 232 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib index f5812a6..7ed6ff1 100644 --- a/bibliography.bib +++ b/bibliography.bib @@ -86,9 +86,28 @@ @article{cohen46onthestructure, title={On the structure and ideal theory of complete local rings}, - author={Cohen, Irvin Sol}, + author={Cohen, Irvin S.}, year={1946}, volume={59}, pages={54 - 106}, journal={Transactions of the American Mathematical Society}, } + +@book{samuel1967methodes, + title={Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique}, + author={Samuel, Pierre}, + series={Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete}, + year={1967}, + publisher={Springer Berlin Heidelberg} +} + +@article{roberts1998recent, + title={Recent developments on Serre’s multiplicity conjec- +tures}, + author={Roberts, Paul C.}, + subtitle={Gabber’s proof of the nonnegativity conjecture}, + year={1998}, + volume={44}, + pages={305 - 324}, + journal={L’Enseignement Mathématique} +} \ No newline at end of file diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index c8d38c1..9896c51 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -3,6 +3,9 @@ \chapter{Hilbert-Samuel-Polynome} \label{cha:hilbert-samuel-polynome} +In diesem Kapitel wollen Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Moduls bezüglich eines Ideal einführen. +Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen. + \section{Ganzzahlige Polynome} \label{sec:ganzzahlige-polynome} @@ -17,7 +20,10 @@ \begin{defn}[Differenzenoperator] \label{defn:differenzenoperator} - Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ induktiv, das heißt aus $n \in A$ folgt $n + 1 \in A$. + Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ mit der Eigenschaft + \begin{equation*} + n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A. + \end{equation*} Dann definieren wir den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch: \begin{align*} \Delta\colon \map(A,Z) &\to \map(A,Z)\\ @@ -107,7 +113,10 @@ Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sod \section{Polynomartige Funktionen} \label{sec:polynomartige-funktionen} -Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv. +Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft +\begin{equation*} + n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A. +\end{equation*} \begin{defn}[Polynomartige Funktion] \label{defn:polynomartige-funktionen} @@ -154,7 +163,7 @@ Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_ Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$. Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. -$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. +$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt \begin{align*} @@ -421,7 +430,7 @@ Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist. -Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. +Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen. \begin{prop} \label{prop:d-kleinergleich-s} diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index dd37c4a..ad433a2 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -2,6 +2,10 @@ \chapter{Der Koszul-Komplex} \label{cha:der-koszul-komplex} + +Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe. +Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglich Samuel’s Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Chaakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen. + Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \section{Der einfache Fall} diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex index a20ef7a..42f061c 100644 --- a/chapters/chapter4.tex +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -3,6 +3,9 @@ \chapter{Multiplizitäten} \label{cha:multiplizitaeten} +In diesem Kapitel wollen wir die Serre’s Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen. +Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion auf die Diagonale} vorstellen. + \section{Die Multiplizität eines Moduls} \label{sec:die-multiplizitaet-eines-moduls} Im Folgenden wollen wir den Begriff der \emph{Multiplizität} eines Moduls einführen. @@ -405,7 +408,7 @@ Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ e Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur. Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen \begin{equation} - \Tor^B_n(M \otimes_k N, A) \cong \Tor^A_n(M, N). + \Tor^B_n(M \otimes_k N, A) \cong \Tor^A_n(M, N). \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall} \end{equation} Ist also \begin{equation*} @@ -874,14 +877,196 @@ Nach \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} folgt also au und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V) - \dim(W)$ folgt damit \begin{equation} \label{eq:dimension-intersection} - \dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W). + \dim(U) + \dim(V) \le \dim(X) + \dim(W). \end{equation} Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}. \begin{thm} \label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} \begin{enumerate}[label = (\alph*)] - \item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$. - \item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein. + \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$. + \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein. \end{enumerate} -\end{thm} \ No newline at end of file +\end{thm} + +Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} zeigen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \enquote{Schnittmultiplizität} erfüllt. + +\section{Zykel auf einer nicht singulären affinen Varietät} +\label{sec:zykel-auf-einer-nicht-singulaeren-affinen-varietaet} + +Sei im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring. +Ist $a \in \N$ und $M \in K_a(A)$, so ist $z_a(M)$ ein positiver Zykel der Dimension $a$, der genau dann null ist, wenn $\dim(M) < a$. + +Sei nun auch $b \in \N$. +Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$, so sagen wir, dass sich $\alpha$ und $\beta$ \textbf{eigentlich schneiden}, falls sich die zu $\mfp_i$ und $\mfq_j$ gehörenden irreduziblen Untervarietäten von $X$ für alle $i, j$ eigentlich schneiden. + +\begin{defn}[Schnittprodukt von Zykeln] + \label{defn:schnittprodukt-von-zykeln} + Seien $a, b \in \N$, $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$ zwei Zykel die sich eigentlich schneiden, das heißt für jedes minimale Primideal $\mfr$ in $\Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)$ gilt $\dim(A/\mfr) = c = a + b - \dim(X)$. + Dann definieren wir das \textbf{Schnittprodukt} von $\alpha$ und $\beta$ durch + \begin{equation*} + \alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr \in Z_c(A). + \end{equation*} +\end{defn} + +\begin{prop} + \label{prop:schnitt-zykel} + Seien $a, b, c \in \N$ mit $a + b = n + c$. Seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln mit $\dim(M) \le a$, $\dim(N) \le b$ und $\dim(M \otimes_A N) \le c$. + Die Zykel $z_a(M)$ und $z_b(N)$ schneiden sich eigentlich und der Schnittzykel + \begin{equation*} + z_a(M) \cdot z_b(N) = \sum_{\substack{\dim(A / \mfp) = a \\ \dim(A / \mfq) = b}} \length_{A_\mfp}(M_\mfp) \length_{A_\mfq}(N_\mfq) \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp \otimes_A A / \mfq)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_\mfr, {(A / \mfq)}_\mfr) \mfr + \end{equation*} + stimmt mit dem Zykel + \begin{equation*} + z_c(\Tor^A(M, N)) \coloneqq \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^{i} z_c(\Tor^A_i(M, N)) + \end{equation*} + überein. + \begin{proof} + Sei $W$ eine irreduzible Komponente von $X$ der Dimension $c$, die zu dem Primideal $\mfr$ von $A$ korrespondiert. + Nach Definition ist der Koeffizient des Primideals $\mfr$ im Zykel $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch + \begin{equation*} + \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_{A_\mfr}({\Tor^A_i(M, N)}_\mfr) = \chi^{A_\mfr}(M_\mfr, N_\mfr) + \end{equation*} + gegeben. + Dieser Koeffizient ist also \enquote{biadditiv} in $M$ und $N$ und nach \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} in \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} ist er null, falls $\dim(M) < a$ oder $\dim(N) < b$. + Das gleiche gilt offensichtlich auch für den Koeffizienten von $\mfr$ in $z_a(M) \cdot z_b(N)$. + Wir können uns also auf den Fall $M = A / \mfp$ und $N = A / \mfq$ beschränken, wobei $\mfp$ und $\mfq$ Primideale von $A$ sind, die irreduziblen Untervarietäten $U$ und $V$ von $X$ der Dimensionen $a$ und $b$ entsprechen. + In diesem Fall ist der Koeffizient von $\mfr$ in $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch $\chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_{\mfr}, {(A / \mfq)}_{\mfr})$ gegeben. + \end{proof} +\end{prop} + +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item \cref{prop:schnitt-zykel} Liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen: + Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$). + Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}. + \item Wir können den Begriff der Zykel und \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} auf algebraische Varietäten erweitern, die nicht notwendigerweise affin sind. + In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ mit $\codim(Y, X) = p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist. + Ist $\mcM$ solch eine Modulgarbe mit $\dim(\Supp(\mcM)) \le a$ (was wir manchmal auch als $\dim(\mcM) \le a$ schreiben), so definieren wir auf offensichtliche Weise den Zykel $z_a(\mcM) \in Z_a(X)$. + Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzet werden. + \end{enumerate} +\end{bem} + +\section{Eigenschaften des Schnittprodukts} +\label{sec:eigenschaften-des-schnittprodukts} + +In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass das Schnittprodukt aus \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} die Fundamentalen Eigenschaften der Schnitttheorie erfüllt. +Da diese Eigenschaften alle lokal sind, können wir annehmen, dass die Varietäten affin und nicht singulär sind. +Dies ermöglicht es uns \cref{prop:schnitt-zykel} anzuwenden. + +Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring. + +\begin{description} + \item[Kommutativität] + Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(\bullet, \bullet)$ sind symmetrisch. + + \item[Assoziativität] + Seien $z$, $z'$ und $z''$ drei positive Zykel der Dimensionen $a$, $a'$ und $a''$. + Wir nehmen an, dass die Schnittprodukte $z \cdot z'$, $(z \cdot z') \cdot z''$, $z' \cdot z''$ und $z \cdot (z' \cdot z'')$ definiert sind. + Dann müssen wir + \begin{equation*} + (z \cdot z') \cdot z'' = z \cdot (z' \cdot z'') + \end{equation*} + zeigen. + + Sei dazu $M$, $M'$ und $M''$ $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$. + + Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für Tor-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen: + \begin{align} + \Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\ + \Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz} + \end{align} + Sei $c = a + a' + a'' - 2n$ und $b = a' + a'' - n$. + Da die Schnitte eigentlich sind, gilt $\dim(M' \otimes_A M'') \le b$ und $\dim(M \otimes_A M' \otimes_A M'') \le c$. + Demnach sind die folgenden Zykel wohldefiniert: + \begin{align*} + y_q &= z_b(\Tor^A_q(M', M'')) \\ + x_{p,q} &= z_c(\Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M''))) \\ + x_i &= z_c(\Tor^A_i(M, M', M'')) + \end{align*} + Da Euler-Poincaré-Charakteristiken unter Spektralsequenzen invariant sind, erhalten wir aus \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz}: + \begin{equation*} + \sum_{i} {(-1)}^i x_i = \sum_{p,q} {(-1)}^{p+q} x_{p, q} + \end{equation*} + Aber \cref{prop:schnitt-zykel} zeigt + \begin{equation*} + \sum_{p} {(-1)}^p x_{p, q} = z \cdot y_q \quad \text{und} \quad \sum_{q} {(-1)}^q y_q = z' \cdot z''. + \end{equation*} + Folglich gilt + \begin{equation*} + \sum_{i} {(-1)}^i x_i = z \cdot (z' \cdot z''). + \end{equation*} + Wenden wir das gleiche Argument mit \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz} an, so erhalten wir + \begin{equation*} + \sum_{i} {(-1)}^i x_i = (z \cdot z') \cdot z'', + \end{equation*} + und damit die gewünschte Assoziativitätsformel. + \item[Produktformel] + Sei $X'$ eine weitere nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n'$ und $A'$ ihr Koordinatenring. + Seien $z_1$ und $z_2$ (beziehungsweise $z_1'$ und $z_2'$) zwei Zykel auf $X$ (beziehungsweise $X'$) und wir nehmen an, dass $z_1 \cdot z_2$ und $z_1' \cdot z_2'$ definiert sind. Dann schneiden sich $z_1 \times z_1'$ und $z_2 \times z_2'$ eigentlich auf $X \times_{\Spec(k)} X'$ und es gilt + \begin{equation} + (z_1 \times z_1') \cdot (z_2 \times z_2') = (z_1 \cdot z_2) \times (z_1' \cdot z_2'). + \end{equation} + Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind. + Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren. + Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assozierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden). + Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth Formel}: + \begin{equation*} + \Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2'). + \end{equation*} + \item[Reduktion auf die Diagonale] + Sei $\Delta$ die Diagonale in $X \times_{\Spec(k)} X$. + Sind $z_1$ und $z_2$ zwei Zykel auf $X$, die sich eigentlich schneiden, so müssen wir die Formel + \begin{equation} + z_1 \cdot z_2 = (z_1 \times z_2) \cdot \Delta \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt} + \end{equation} + zeigen. + Wir können wieder annehmen, dass $z_1$ und $z_2$ positiv sind. + Sei $B = A \otimes_k A$ der Koordinatenring von $X \times_{\Spec(k)} X$ und seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren. + Dann gilt nach \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall} + \begin{equation*} + \Tor^A_i(M_1, M_2) = \Tor^B_i(M_1 \otimes_k M_2, A). + \end{equation*} + \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt} folgt dann durch Bilden der alternierenden Summe der Zykel auf beiden seiten der obigen Gleichung. +\end{description} + +Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zeigen. + +\begin{proof}[Beweis des zweiten Teils von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}~\cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b}] + Wir müssen also zeigen, dass die Funktionen $I$ und $i$ übereinstimmen. + Dazu betrachten wir zunächst den Fall, dass $U$ ein vollständiger Durchschnitt in $W$ ist, das heißt das Ideal $\mfp_U$ wird von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$. + $\bmx = (x_1, \ldots, x_h)$ ist also eine $A$-reguläre Folge. + Nach \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor} gilt also + \begin{equation*} + \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)}{(-1)}^i \length_A(H_i(\bmx, A / \mfp_V)) + \end{equation*} + und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} liefert uns + \begin{equation*} + \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = e_{\bmx}(A / \mfp_V). + \end{equation*} + Nach {}\cite[s. 83]{samuel1967methodes} gilt aber $e_{\bmx}(A / \mfp_V) = i(X, U \cdot V, W)$ und das zeigt $I = i$ in diesem Fall. + + Der allgemeine Fall reduziert sich auf diesen, indem wir die \emph{Reduktion auf die Diagonale} verwenden, denn sie ist sowohl für $i$, also auch für $I$ gültig. + Da die Diagonale $\Delta$ nicht singulär ist, is sie lokal ein vollständiger Durchschnitt und die Voraussetzungen des vorherigen Falls sind erfüllt. +\end{proof} + +\section{Ausblick} +\label{sec:Ausblick} + +Wir haben im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich darauf hingearbeitet, \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zu beweisen. +Als wesentlichen Schritt dazu, haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt. +Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} auf reguläre Ringe gleicher Charakteristik wirkt allerdings etwas speziell und es ist deswegen natürlich zu vermuten, dass die Aussage dieses Theorems auch für beliebige reguläre Ringe gilt. + +Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~2]{serre2000local}). + +Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~3]{serre2000local}). + +Die erste Aussage des Theorems, die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$, wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}). +Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten. + +Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich +\begin{equation*} + \dim(M) + \dim(N) < \dim(A) \Longrightarrow \chi(M, N) = 0, +\end{equation*} +wurde für den Fall beliebiger regulärer Ringe 1985 von Paul C. Roberts gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998multiplicities}). +Die Frage, ob die umgekehrte Implikation ebenfalls gilt, ist bis heute ein offenes Problem. \ No newline at end of file diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index 1479ea0..2adbfea 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -24,6 +24,11 @@ \newcommand{\bmy}{\bm{y}} \newcommand{\bmX}{\bm{X}} +\newcommand{\mcM}{\mathcal{M}} +\newcommand{\mcN}{\mathcal{N}} +\newcommand{\mcO}{\mathcal{O}} +\DeclareMathOperator{\mcTor}{\mathcal{T}\!\mathit{or}} + \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} \DeclareMathOperator{\Ch}{Ch} \DeclareMathOperator{\codim}{codim}