From 0707a757251b779fa7c703e2c9443c9beba20f7e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Fri, 11 Aug 2017 17:53:04 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Koszul=20Komplex-To=20Isomorphie=20hinzugef?= =?UTF-8?q?=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapters/chapter3.tex | 60 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- custom_commands.tex | 7 ++++- 2 files changed, 64 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index 4e4d2f6..f3efd8a 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -221,12 +221,68 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \end{align*} \end{defn} +\begin{defn}[Reguläre Folge] + \label{defn:regulaere-folge} + Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt $M$\textbf{-reguläre} Folge, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist. +\end{defn} + \begin{prop} \label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} - Wenn zusätzlich zu den Voraussetzunen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$. + Wenn zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$. \begin{proof} Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler in $M$ ist. Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$. + Es gilt + \begin{align*} + H_p(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= 0 \qquad \text{für } p \ne 0, \\ + H_0(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M, + \end{align*} + also ist $K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)$ ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$. + Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler in $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist + \begin{equation*} + K(\bmx, M) = K(x_r) \otimes_A K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) + \end{equation*} + nach \cref{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex} ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_r)M$ und damit folgt die Behauptung. \end{proof} -\end{prop} \ No newline at end of file +\end{prop} + +\begin{bem} + \label{bem:koszul-komplex-funktorialität} + Ist $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$, dann ist + \begin{equation*} + K(\bmx, \bullet)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A) + \end{equation*} + ein Funktor. + Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesodere flach. + Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$. + Desweiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus + \begin{equation*} + \psi_0 \colon H_0(\bmx, \bullet) \to (A/\bmx) \otimes_A \bullet + \end{equation*} + und weil ${(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}$ ein universeller $\delta$-Funktor von von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$ ist, setzt sich $\psi_0$ eindeutig zu einem Morphismus von $\delta$-Funktoren + \begin{equation*} + \psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N} + \end{equation*} + fort. +\end{bem} + +\begin{kor} + \label{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor} + Sei $\bmx$ eine $A$-reguläre Folge. + Dann ist + \begin{equation*} + \psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N} + \end{equation*} + ein Isomorphismus von $\delta$-Funktoren. + \begin{proof} + Nach \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} ist $H_p(\bmx, A) = 0$ für $p > 0$ und es gilt $H_0(\bmx, A) = A / \bmx$. + Also ist $K(\bmx) = K(\bmx, A)$ ein azyklischer Komplex auf $A / \bmx$, also ist + \begin{equation*} + \cdots \to K_1(\bmx) \to K_0(\bmx) \to A / \bmx \to 0 + \end{equation*} + eine Auflösung. + Da $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ ist, ist diese Auflösung frei. + Insbesondere ist sie projektiv und damit folgt die Behauptung. + \end{proof} +\end{kor} \ No newline at end of file diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index c13aad3..24b6876 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -15,10 +15,15 @@ \newcommand{\bmx}{\bm{x}} \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} +\DeclareMathOperator{\Ch}{Ch} +\DeclareMathOperator{\coker}{coker} +\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \DeclareMathOperator{\gr}{gr} \DeclareMathOperator{\map}{map} +\DeclareMathOperator{\Mod}{Mod} \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp} -\DeclareMathOperator{\coker}{coker} +\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} + \DeclareMathOperator{\pplus}{\phantom{+}} \DeclareMathOperator{\poplus}{\phantom{\oplus}} \DeclareMathOperator{\peq}{\phantom{=}}