From 126c65bf67be613e86750e9fa02f18132d40af19 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Tue, 8 Aug 2017 12:59:42 +0200 Subject: [PATCH] Split files into chapters --- Ausarbeitung.tex | 255 +----------------------------------------- chapters/chapter1.tex | 2 + chapters/chapter2.tex | 229 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ chapters/chapter3.tex | 62 ++++++++++ custom_commands.tex | 4 +- title.tex | 18 +++ 6 files changed, 319 insertions(+), 251 deletions(-) create mode 100644 chapters/chapter1.tex create mode 100644 chapters/chapter2.tex create mode 100644 chapters/chapter3.tex create mode 100644 title.tex diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index 93d3e37..7f1a2da 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -14,6 +14,7 @@ \usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex} \bibliography{bibliography} \usepackage{cleveref} + \usepackage{bm} \input{theorem_environments} \input{custom_commands} @@ -21,259 +22,13 @@ \allowdisplaybreaks{} \begin{document} -\begin{titlepage} - \begin{center} - \includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm] - \textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm] - \textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm] - { \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm] - {\LARGE Masterarbeit}\\[1cm] - {\Large von}\\[0.2cm] - {\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm] - {\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm] - \begin{tabular}{lr} - \large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\ - \large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz - \end{tabular} - \vfill - {\large \today} - \end{center} -\end{titlepage} +\include{title} \tableofcontents -\chapter{Einleitung} -\label{cha:einleitung} - -\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome} -\label{cha:hilbert-samuel-polynome} - -\section{Polynomartige Funktionen} -\label{sec:polynomartige-funktionen} - -Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$. - -\begin{defn} - \label{defn:polynomartige-funktionen} - Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$. -\end{defn} - -\begin{defn} - \label{defn:differenzenoperator} - Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch: - \begin{align*} - \Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\ - f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n)) - \end{align*} -\end{defn} - -\begin{lem} - \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} -\end{lem} - Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt - \begin{equation*} - \Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). - \end{equation*} - \begin{proof} - Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt - \begin{equation*} - \Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). - \end{equation*} - Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt: - \begin{align*} - \Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\ - &= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\ - &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\ - &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\ - &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\ - &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\ - &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\ - &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p) - \end{align*} - \end{proof} -\begin{lem} - \label{lem:kritreium-fuer-polynomartig} - Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent: - \begin{enumerate}[(i)] - \item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$ - \item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$ - \item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$. - \end{enumerate} - \begin{proof} - {}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen - \end{proof} -\end{lem} - -\section{Das Hilbert-Polynom} -\label{sec:das-hilbert-polynom} - -Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften: -\begin{enumerate}[(a)] - \item $H_0$ ist artinsch. - \item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt. -\end{enumerate} -Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$. - -Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt -\begin{align*} - H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0, -\end{align*} -also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren: -\begin{align*} - \chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\ - n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n) -\end{align*} -Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. - -\begin{thm}[Hilbert] - \label{thm:hilbert-polynomial} - Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$. - \begin{proof} - Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen. - - Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$. - - Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$. - - Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen: - \begin{equation*} - 0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0 - \end{equation*} - Es folgt - \begin{equation*} - \Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n). - \end{equation*} - Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. - \end{proof} -\end{thm} - -\begin{nota} - \label{nota:hilbert-polynomial} - Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$. -\end{nota} - -\section{Das Samuel-Polynom} -\label{sec:das-samuel-polynom} -Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an: -\begin{equation} - \label{eq:laenge-kleiner-unendlich} - \length_{A}(M/\mfq M) < \infty. -\end{equation} -Dies ist äquivalent zu: -\begin{equation} - \label{eq:elemente-in-supp} - \text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.} -\end{equation} - -Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt -\begin{align*} - &M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\ - &M_i \supset \mfq M_{i-1},\\ - &M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.} -\end{align*} -Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung -\begin{align*} - f_M \colon \N &\to \N \\ - n &\mapsto \length_{A}(M/M_n) -\end{align*} -wohldefiniert. - -\begin{thm}[Samuel] - \label{thm:samuel-polynomial} - Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$. - \begin{proof} - Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$. - - Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring - \begin{equation*} - H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1} - \end{equation*} - wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Weiter ist - \begin{equation*} - \gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1} - \end{equation*} - ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von - \begin{equation*} - M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1} - \end{equation*} - erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul. - Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt - \begin{align*} - \Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\ - &= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\ - &= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\ - &= \chi(\gr(M), n), - \end{align*} - also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $f_M$ polynomartig vom Grad $\le r$. - \end{proof} -\end{thm} - -\begin{bem} - \label{bem:samuel-polynom} - Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt - \begin{equation} - \label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel} - \Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)), - \end{equation} - wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist. - - Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall: -\end{bem} - -\begin{lem} - \label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch} - Es gilt \begin{equation*} - P_\mfq(M) = P((M_i)) + R, - \end{equation*} - wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist. - \begin{proof} - Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann - \begin{equation*} - \mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n, - \end{equation*} - also gilt für große $n$: - \begin{equation*} - P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n) - \end{equation*} - Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein. - \end{proof} -\end{lem} - -\begin{prop} - \label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q} - Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig. - \begin{proof} - Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach - \begin{equation*} - P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n) - \end{equation*} - und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$. - \end{proof} -\end{prop} - -\begin{defn} - \label{defn:ideal-von-definition} - Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten: - \begin{enumerate}[(a)] - \item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$ - \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge - \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch - \end{enumerate} -\end{defn} - -Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt. - -\begin{lem} - \label{lem:} -\end{lem} - -\begin{thm} - \label{thm:samuel-polynom-dimension} - Es gilt - \begin{equation*} - \dim M = d(M) = s(M). - \end{equation*} -\end{thm} +\include{chapters/chapter1} +\include{chapters/chapter2} +\include{chapters/chapter3} \printbibliography diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex new file mode 100644 index 0000000..01a22d3 --- /dev/null +++ b/chapters/chapter1.tex @@ -0,0 +1,2 @@ +\chapter{Einleitung} +\label{cha:einleitung} diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex new file mode 100644 index 0000000..e4f2216 --- /dev/null +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -0,0 +1,229 @@ +\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome} +\label{cha:hilbert-samuel-polynome} + +\section{Polynomartige Funktionen} +\label{sec:polynomartige-funktionen} + +Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$. + +\begin{defn} + \label{defn:polynomartige-funktionen} + Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$. +\end{defn} + +\begin{defn} + \label{defn:differenzenoperator} + Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch: + \begin{align*} + \Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\ + f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n)) + \end{align*} +\end{defn} + +\begin{lem} + \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} +\end{lem} + Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt + \begin{equation*} + \Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). + \end{equation*} + \begin{proof} + Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt + \begin{equation*} + \Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). + \end{equation*} + Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt: + \begin{align*} + \Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\ + &= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\ + &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p) + \end{align*} + \end{proof} +\begin{lem} + \label{lem:kritreium-fuer-polynomartig} + Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent: + \begin{enumerate}[(i)] + \item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$ + \item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$ + \item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$. + \end{enumerate} + \begin{proof} + {}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen + \end{proof} +\end{lem} + +\section{Das Hilbert-Polynom} +\label{sec:das-hilbert-polynom} + +Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften: +\begin{enumerate}[(a)] + \item $H_0$ ist artinsch. + \item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt. +\end{enumerate} +Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$. + +Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt +\begin{align*} + H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0, +\end{align*} +also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren: +\begin{align*} + \chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\ + n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n) +\end{align*} +Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. + +\begin{thm}[Hilbert] + \label{thm:hilbert-polynomial} + Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$. + \begin{proof} + Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen. + + Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$. + + Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$. + + Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen: + \begin{equation*} + 0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0 + \end{equation*} + Es folgt + \begin{equation*} + \Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n). + \end{equation*} + Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. + \end{proof} +\end{thm} + +\begin{nota} + \label{nota:hilbert-polynomial} + Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$. +\end{nota} + +\section{Das Samuel-Polynom} +\label{sec:das-samuel-polynom} +Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an: +\begin{equation} + \label{eq:laenge-kleiner-unendlich} + \length_{A}(M/\mfq M) < \infty. +\end{equation} +Dies ist äquivalent zu: +\begin{equation} + \label{eq:elemente-in-supp} + \text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.} +\end{equation} + +Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt +\begin{align*} + &M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\ + &M_i \supset \mfq M_{i-1},\\ + &M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.} +\end{align*} +Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung +\begin{align*} + f_M \colon \N &\to \N \\ + n &\mapsto \length_{A}(M/M_n) +\end{align*} +wohldefiniert. + +\begin{thm}[Samuel] + \label{thm:samuel-polynomial} + Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$. + \begin{proof} + Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$. + + Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring + \begin{equation*} + H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1} + \end{equation*} + wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Weiter ist + \begin{equation*} + \gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1} + \end{equation*} + ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von + \begin{equation*} + M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1} + \end{equation*} + erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul. + Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt + \begin{align*} + \Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\ + &= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\ + &= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\ + &= \chi(\gr(M), n), + \end{align*} + also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $f_M$ polynomartig vom Grad $\le r$. + \end{proof} +\end{thm} + +\begin{bem} + \label{bem:samuel-polynom} + Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt + \begin{equation} + \label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel} + \Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)), + \end{equation} + wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist. + + Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall: +\end{bem} + +\begin{lem} + \label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch} + Es gilt \begin{equation*} + P_\mfq(M) = P((M_i)) + R, + \end{equation*} + wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist. + \begin{proof} + Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann + \begin{equation*} + \mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n, + \end{equation*} + also gilt für große $n$: + \begin{equation*} + P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n) + \end{equation*} + Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein. + \end{proof} +\end{lem} + +\begin{prop} + \label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q} + Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig. + \begin{proof} + Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach + \begin{equation*} + P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n) + \end{equation*} + und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$. + \end{proof} +\end{prop} + +\begin{defn} + \label{defn:ideal-von-definition} + Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten: + \begin{enumerate}[(a)] + \item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$ + \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge + \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch + \end{enumerate} +\end{defn} + +% Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt. + +% \begin{lem} +% \label{lem:} +% \end{lem} + +% \begin{thm} +% \label{thm:samuel-polynom-dimension} +% Es gilt +% \begin{equation*} +% \dim M = d(M) = s(M). +% \end{equation*} +% \end{thm} diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex new file mode 100644 index 0000000..5f01e9b --- /dev/null +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -0,0 +1,62 @@ +\chapter{Der Koszul Komplex} +\label{cha:der-koszul-komplex} +Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. + +\begin{defn} + \label{defn:koszul-komplex-einfach} + Ist $x \in A$, so bezeichnen wir mit $K(x)$ folgenden Komplex: + \begin{align*} + K_i(x) &= 0 \qquad \text{für } i \ne 0,1 \\ + K_1(x) &= A \\ + K_0(x) &= A \\ + \text{Die Abbildung} \qquad d\colon K_1(x) &\to K_0(x) \qquad \text{ist die Multiplikation mit } x + \end{align*} + Aus Notationsgründen bezeichnen wir $1\in K_1(x)$ euch mit $e_x$. + + Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$. Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H^K_i(x, M)$ und, wenn klar ist um welchen Komplex es geht, auch mit $H_i(x, M)$. +\end{defn} + +\begin{lem} + Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt: + \begin{align*} + {K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\ + {K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M, \\ + {K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M, \\ + \end{align*} + und die Randabbildung + \begin{equation*} + d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0 + \end{equation*} + ist durch die Formel + \begin{equation*} + d(e_x \otimes m) = xm \qquad m \in M + \end{equation*} + gegeben. + + Die Homologie-Moduln von $K(x,M)$ sind + \begin{align*} + H_i(x,M) &= 0 \qquad \text{falls } i \ne 0,1, \\ + H_0(x,M) &= M/xM, \\ + H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M). + \end{align*} + \begin{proof} + Das ist klar nach der Definition von $K(x,M)$. + \end{proof} +\end{lem} + +\begin{defn} + \label{defn:koszul-komplex} + Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. Mit $K(\bmx)$ oder auch mit $K(x_1,\ldots,x_r)$ bezeichnen wir folgenden Tensorprodukt -Komplex: + \begin{equation*} + K(\bmx) = K(x_1)\otimes_A K(x_2) \otimes_A \cdots \otimes_A K(x_r) + \end{equation*} + $K_p(\bmx)$ ist der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form + \begin{equation*} + e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = 1 \otimes \cdots \otimes 1 \otimes e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1 \qquad i_1 < i_2 < \cdots < i_p + \end{equation*} + erzeugt wird. Insbesondere gilt also + \begin{equation*} + K_p(\bmx) \cong \bigwedge\nolimits^p(A^r). + \end{equation*} + Ist $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$. +\end{defn} diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index b57dc50..afe82d0 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -11,8 +11,10 @@ \newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}} \newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}} + +\newcommand{\bmx}{\bm{x}} + \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} -%\DeclareMathOperator{\deg}{deg} \DeclareMathOperator{\gr}{gr} \DeclareMathOperator{\map}{map} \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp} diff --git a/title.tex b/title.tex new file mode 100644 index 0000000..dfb4ecd --- /dev/null +++ b/title.tex @@ -0,0 +1,18 @@ +\begin{titlepage} + \begin{center} + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm] + \textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm] + \textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm] + { \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm] + {\LARGE Masterarbeit}\\[1cm] + {\Large von}\\[0.2cm] + {\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm] + {\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm] + \begin{tabular}{lr} + \large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\ + \large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz + \end{tabular} + \vfill + {\large \today} + \end{center} +\end{titlepage}