From 126c65bf67be613e86750e9fa02f18132d40af19 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Johannes Loher <johannes.loher@fg4f.de>
Date: Tue, 8 Aug 2017 12:59:42 +0200
Subject: [PATCH] Split files into chapters
---
Ausarbeitung.tex | 255 +-----------------------------------------
chapters/chapter1.tex | 2 +
chapters/chapter2.tex | 229 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++
chapters/chapter3.tex | 62 ++++++++++
custom_commands.tex | 4 +-
title.tex | 18 +++
6 files changed, 319 insertions(+), 251 deletions(-)
create mode 100644 chapters/chapter1.tex
create mode 100644 chapters/chapter2.tex
create mode 100644 chapters/chapter3.tex
create mode 100644 title.tex
diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex
index 93d3e37..7f1a2da 100644
--- a/Ausarbeitung.tex
+++ b/Ausarbeitung.tex
@@ -14,6 +14,7 @@
\usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex}
\bibliography{bibliography}
\usepackage{cleveref}
+ \usepackage{bm}
\input{theorem_environments}
\input{custom_commands}
@@ -21,259 +22,13 @@
\allowdisplaybreaks{}
\begin{document}
-\begin{titlepage}
- \begin{center}
- \includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm]
- \textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm]
- \textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm]
- { \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm]
- {\LARGE Masterarbeit}\\[1cm]
- {\Large von}\\[0.2cm]
- {\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm]
- {\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm]
- \begin{tabular}{lr}
- \large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
- \large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz
- \end{tabular}
- \vfill
- {\large \today}
- \end{center}
-\end{titlepage}
+\include{title}
\tableofcontents
-\chapter{Einleitung}
-\label{cha:einleitung}
-
-\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
-\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
-
-\section{Polynomartige Funktionen}
-\label{sec:polynomartige-funktionen}
-
-Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$.
-
-\begin{defn}
- \label{defn:polynomartige-funktionen}
- Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
-\end{defn}
-
-\begin{defn}
- \label{defn:differenzenoperator}
- Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
- \begin{align*}
- \Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\
- f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
- \end{align*}
-\end{defn}
-
-\begin{lem}
- \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
-\end{lem}
- Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
- \begin{equation*}
- \Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
- \end{equation*}
- \begin{proof}
- Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
- \begin{equation*}
- \Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
- \end{equation*}
- Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
- \begin{align*}
- \Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
- &= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
- &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\
- &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
- &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
- &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
- &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
- &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
- \end{align*}
- \end{proof}
-\begin{lem}
- \label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
- Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- \begin{enumerate}[(i)]
- \item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$
- \item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$
- \item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
- \end{enumerate}
- \begin{proof}
- {}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen
- \end{proof}
-\end{lem}
-
-\section{Das Hilbert-Polynom}
-\label{sec:das-hilbert-polynom}
-
-Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
-\begin{enumerate}[(a)]
- \item $H_0$ ist artinsch.
- \item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
-\end{enumerate}
-Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
-
-Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt
-\begin{align*}
- H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0,
-\end{align*}
-also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
-\begin{align*}
- \chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
- n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
-\end{align*}
-Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
-
-\begin{thm}[Hilbert]
- \label{thm:hilbert-polynomial}
- Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
- \begin{proof}
- Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
-
- Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
-
- Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$.
-
- Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
- \begin{equation*}
- 0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
- \end{equation*}
- Es folgt
- \begin{equation*}
- \Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
- \end{equation*}
- Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
- \end{proof}
-\end{thm}
-
-\begin{nota}
- \label{nota:hilbert-polynomial}
- Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
-\end{nota}
-
-\section{Das Samuel-Polynom}
-\label{sec:das-samuel-polynom}
-Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
-\begin{equation}
- \label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
- \length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
-\end{equation}
-Dies ist äquivalent zu:
-\begin{equation}
- \label{eq:elemente-in-supp}
- \text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
-\end{equation}
-
-Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
-\begin{align*}
- &M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
- &M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
- &M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
-\end{align*}
-Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
-\begin{align*}
- f_M \colon \N &\to \N \\
- n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
-\end{align*}
-wohldefiniert.
-
-\begin{thm}[Samuel]
- \label{thm:samuel-polynomial}
- Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
- \begin{proof}
- Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
-
- Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
- \begin{equation*}
- H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
- \end{equation*}
- wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Weiter ist
- \begin{equation*}
- \gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
- \end{equation*}
- ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
- \begin{equation*}
- M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
- \end{equation*}
- erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul.
- Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt
- \begin{align*}
- \Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
- &= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
- &= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\
- &= \chi(\gr(M), n),
- \end{align*}
- also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $f_M$ polynomartig vom Grad $\le r$.
- \end{proof}
-\end{thm}
-
-\begin{bem}
- \label{bem:samuel-polynom}
- Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
- \begin{equation}
- \label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
- \Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
- \end{equation}
- wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
-
- Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
-\end{bem}
-
-\begin{lem}
- \label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch}
- Es gilt \begin{equation*}
- P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
- \end{equation*}
- wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist.
- \begin{proof}
- Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann
- \begin{equation*}
- \mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
- \end{equation*}
- also gilt für große $n$:
- \begin{equation*}
- P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
- \end{equation*}
- Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
- \end{proof}
-\end{lem}
-
-\begin{prop}
- \label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
- Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.
- \begin{proof}
- Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach
- \begin{equation*}
- P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
- \end{equation*}
- und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
- \end{proof}
-\end{prop}
-
-\begin{defn}
- \label{defn:ideal-von-definition}
- Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
- \begin{enumerate}[(a)]
- \item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$
- \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge
- \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch
- \end{enumerate}
-\end{defn}
-
-Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt.
-
-\begin{lem}
- \label{lem:}
-\end{lem}
-
-\begin{thm}
- \label{thm:samuel-polynom-dimension}
- Es gilt
- \begin{equation*}
- \dim M = d(M) = s(M).
- \end{equation*}
-\end{thm}
+\include{chapters/chapter1}
+\include{chapters/chapter2}
+\include{chapters/chapter3}
\printbibliography
diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex
new file mode 100644
index 0000000..01a22d3
--- /dev/null
+++ b/chapters/chapter1.tex
@@ -0,0 +1,2 @@
+\chapter{Einleitung}
+\label{cha:einleitung}
diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex
new file mode 100644
index 0000000..e4f2216
--- /dev/null
+++ b/chapters/chapter2.tex
@@ -0,0 +1,229 @@
+\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
+\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
+
+\section{Polynomartige Funktionen}
+\label{sec:polynomartige-funktionen}
+
+Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$.
+
+\begin{defn}
+ \label{defn:polynomartige-funktionen}
+ Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}
+ \label{defn:differenzenoperator}
+ Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
+ \begin{align*}
+ \Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\
+ f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
+ \end{align*}
+\end{defn}
+
+\begin{lem}
+ \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
+\end{lem}
+ Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
+ \begin{equation*}
+ \Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+ \end{equation*}
+ \begin{proof}
+ Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
+ \begin{equation*}
+ \Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+ \end{equation*}
+ Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
+ \begin{align*}
+ \Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
+ &= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
+ &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
+ \end{align*}
+ \end{proof}
+\begin{lem}
+ \label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
+ Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
+ \begin{enumerate}[(i)]
+ \item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$
+ \item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$
+ \item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
+ \end{enumerate}
+ \begin{proof}
+ {}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen
+ \end{proof}
+\end{lem}
+
+\section{Das Hilbert-Polynom}
+\label{sec:das-hilbert-polynom}
+
+Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
+\begin{enumerate}[(a)]
+ \item $H_0$ ist artinsch.
+ \item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
+\end{enumerate}
+Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
+
+Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt
+\begin{align*}
+ H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0,
+\end{align*}
+also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
+\begin{align*}
+ \chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
+ n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
+\end{align*}
+Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
+
+\begin{thm}[Hilbert]
+ \label{thm:hilbert-polynomial}
+ Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
+ \begin{proof}
+ Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
+
+ Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
+
+ Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$.
+
+ Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
+ \begin{equation*}
+ 0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
+ \end{equation*}
+ Es folgt
+ \begin{equation*}
+ \Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
+ \end{equation*}
+ Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
+ \end{proof}
+\end{thm}
+
+\begin{nota}
+ \label{nota:hilbert-polynomial}
+ Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
+\end{nota}
+
+\section{Das Samuel-Polynom}
+\label{sec:das-samuel-polynom}
+Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
+\begin{equation}
+ \label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
+ \length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
+\end{equation}
+Dies ist äquivalent zu:
+\begin{equation}
+ \label{eq:elemente-in-supp}
+ \text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
+\end{equation}
+
+Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
+\begin{align*}
+ &M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
+ &M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
+ &M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
+\end{align*}
+Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
+\begin{align*}
+ f_M \colon \N &\to \N \\
+ n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
+\end{align*}
+wohldefiniert.
+
+\begin{thm}[Samuel]
+ \label{thm:samuel-polynomial}
+ Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
+ \begin{proof}
+ Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
+
+ Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
+ \begin{equation*}
+ H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
+ \end{equation*}
+ wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Weiter ist
+ \begin{equation*}
+ \gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
+ \end{equation*}
+ ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
+ \begin{equation*}
+ M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
+ \end{equation*}
+ erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul.
+ Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt
+ \begin{align*}
+ \Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
+ &= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
+ &= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\
+ &= \chi(\gr(M), n),
+ \end{align*}
+ also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $f_M$ polynomartig vom Grad $\le r$.
+ \end{proof}
+\end{thm}
+
+\begin{bem}
+ \label{bem:samuel-polynom}
+ Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
+ \begin{equation}
+ \label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
+ \Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
+ \end{equation}
+ wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
+
+ Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
+\end{bem}
+
+\begin{lem}
+ \label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch}
+ Es gilt \begin{equation*}
+ P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
+ \end{equation*}
+ wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist.
+ \begin{proof}
+ Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann
+ \begin{equation*}
+ \mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
+ \end{equation*}
+ also gilt für große $n$:
+ \begin{equation*}
+ P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
+ \end{equation*}
+ Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
+ \end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{prop}
+ \label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
+ Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.
+ \begin{proof}
+ Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach
+ \begin{equation*}
+ P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
+ \end{equation*}
+ und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
+ \end{proof}
+\end{prop}
+
+\begin{defn}
+ \label{defn:ideal-von-definition}
+ Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
+ \begin{enumerate}[(a)]
+ \item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$
+ \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge
+ \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch
+ \end{enumerate}
+\end{defn}
+
+% Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt.
+
+% \begin{lem}
+% \label{lem:}
+% \end{lem}
+
+% \begin{thm}
+% \label{thm:samuel-polynom-dimension}
+% Es gilt
+% \begin{equation*}
+% \dim M = d(M) = s(M).
+% \end{equation*}
+% \end{thm}
diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex
new file mode 100644
index 0000000..5f01e9b
--- /dev/null
+++ b/chapters/chapter3.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+\chapter{Der Koszul Komplex}
+\label{cha:der-koszul-komplex}
+Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
+
+\begin{defn}
+ \label{defn:koszul-komplex-einfach}
+ Ist $x \in A$, so bezeichnen wir mit $K(x)$ folgenden Komplex:
+ \begin{align*}
+ K_i(x) &= 0 \qquad \text{für } i \ne 0,1 \\
+ K_1(x) &= A \\
+ K_0(x) &= A \\
+ \text{Die Abbildung} \qquad d\colon K_1(x) &\to K_0(x) \qquad \text{ist die Multiplikation mit } x
+ \end{align*}
+ Aus Notationsgründen bezeichnen wir $1\in K_1(x)$ euch mit $e_x$.
+
+ Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$. Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H^K_i(x, M)$ und, wenn klar ist um welchen Komplex es geht, auch mit $H_i(x, M)$.
+\end{defn}
+
+\begin{lem}
+ Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt:
+ \begin{align*}
+ {K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\
+ {K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M, \\
+ {K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M, \\
+ \end{align*}
+ und die Randabbildung
+ \begin{equation*}
+ d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0
+ \end{equation*}
+ ist durch die Formel
+ \begin{equation*}
+ d(e_x \otimes m) = xm \qquad m \in M
+ \end{equation*}
+ gegeben.
+
+ Die Homologie-Moduln von $K(x,M)$ sind
+ \begin{align*}
+ H_i(x,M) &= 0 \qquad \text{falls } i \ne 0,1, \\
+ H_0(x,M) &= M/xM, \\
+ H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M).
+ \end{align*}
+ \begin{proof}
+ Das ist klar nach der Definition von $K(x,M)$.
+ \end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{defn}
+ \label{defn:koszul-komplex}
+ Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. Mit $K(\bmx)$ oder auch mit $K(x_1,\ldots,x_r)$ bezeichnen wir folgenden Tensorprodukt -Komplex:
+ \begin{equation*}
+ K(\bmx) = K(x_1)\otimes_A K(x_2) \otimes_A \cdots \otimes_A K(x_r)
+ \end{equation*}
+ $K_p(\bmx)$ ist der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form
+ \begin{equation*}
+ e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = 1 \otimes \cdots \otimes 1 \otimes e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1 \qquad i_1 < i_2 < \cdots < i_p
+ \end{equation*}
+ erzeugt wird. Insbesondere gilt also
+ \begin{equation*}
+ K_p(\bmx) \cong \bigwedge\nolimits^p(A^r).
+ \end{equation*}
+ Ist $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$.
+\end{defn}
diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex
index b57dc50..afe82d0 100644
--- a/custom_commands.tex
+++ b/custom_commands.tex
@@ -11,8 +11,10 @@
\newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}}
\newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}}
+
+\newcommand{\bmx}{\bm{x}}
+
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
-%\DeclareMathOperator{\deg}{deg}
\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\map}{map}
\DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
diff --git a/title.tex b/title.tex
new file mode 100644
index 0000000..dfb4ecd
--- /dev/null
+++ b/title.tex
@@ -0,0 +1,18 @@
+\begin{titlepage}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm]
+ \textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm]
+ \textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm]
+ { \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm]
+ {\LARGE Masterarbeit}\\[1cm]
+ {\Large von}\\[0.2cm]
+ {\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm]
+ {\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm]
+ \begin{tabular}{lr}
+ \large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
+ \large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz
+ \end{tabular}
+ \vfill
+ {\large \today}
+ \end{center}
+\end{titlepage}