From 17b33934307451996e1d0e0540b66983823188de Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Sun, 6 Aug 2017 19:43:04 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Grad=20vom=20Samuelpolynom=20im=20Theorem=20zum?= =?UTF-8?q?=20Samuelpolynom=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Ausarbeitung.tex | 31 ++++++++----------------------- 1 file changed, 8 insertions(+), 23 deletions(-) diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index c8ba15a..93d3e37 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -154,7 +154,7 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. \section{Das Samuel-Polynom} \label{sec:das-samuel-polynom} -Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Wir nehmen zusätlich Folgendes an: +Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an: \begin{equation} \label{eq:laenge-kleiner-unendlich} \length_{A}(M/\mfq M) < \infty. @@ -180,14 +180,15 @@ wohldefiniert. \begin{thm}[Samuel] \label{thm:samuel-polynomial} - Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig. + Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$. \begin{proof} Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$. - Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Sei \begin{equation*} + Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring + \begin{equation*} H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1} \end{equation*} - der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring. Dann ist + wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Weiter ist \begin{equation*} \gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1} \end{equation*} @@ -196,14 +197,14 @@ wohldefiniert. M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1} \end{equation*} erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul. - Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig. Es gilt + Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt \begin{align*} \Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\ &= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\ &= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\ &= \chi(\gr(M), n), \end{align*} - also ist $\Delta f_M$ polynomartig und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} auch $f_M$. + also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $f_M$ polynomartig vom Grad $\le r$. \end{proof} \end{thm} @@ -211,6 +212,7 @@ wohldefiniert. \label{bem:samuel-polynom} Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt \begin{equation} + \label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel} \Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)), \end{equation} wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist. @@ -237,23 +239,6 @@ wohldefiniert. \end{proof} \end{lem} -\begin{prop} - \label{prop:samuel-polynom-grad-abschaetzung} - Es sei $\mfa = \Ann(M)$, $B = A / \mfa$ und $\mfp$ das Ideal $(\mfa + \mfq) / \mfa$ in $B$. Wir nehmen weiter an, dass $\mfp$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt wird. Dann gilt: - \begin{enumerate}[(a)] - \item $\deg P_\mfq(M) \le r$ - \item $\Delta^r P_\mfq(M) \le \length_A(M/\mfq M)$ - \item Es gilt $\Delta^r P_\mfq(M) = \length_A(M/\mfq M)$ genau dann, wenn die natürliche Abbildung - \begin{equation*} - \Phi\colon (M/\mfq M)[X_1,\ldots,X_r] \to \gr(M) - \end{equation*} %TODO: Wie ist \Phi definiert? - ein Isomorphismus ist. - \end{enumerate} - \begin{proof} - Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} dürfen wir $\mfa = 0$ und damit $B = A$ und $\mfp = \mfq$ annehmen. Außerdem ist $\gr_\mfq(A)$ dann ein Quotient von $(A/\mfq)[X_1,\ldots,X_r]$. - \end{proof} -\end{prop} - \begin{prop} \label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q} Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.