From 2e588725aaab94433486d8538e6a5a69ae133a73 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Thu, 3 Aug 2017 17:56:46 +0200 Subject: [PATCH] added proof of lemma 2.8 --- Ausarbeitung.tex | 31 +++++++++++++++++++++++-------- 1 file changed, 23 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index 0370fb8..2b9b8bd 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -75,7 +75,7 @@ Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewiss \item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$. \end{enumerate} \begin{proof} - \cite[Chapter II. B 2. Lemma 2.]{chin2012local} %TODO: Vielleicht Beweis ausführen + {}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen \end{proof} \end{lem} @@ -83,7 +83,7 @@ Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewiss \label{sec:das-hilbert-polynom} Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften: -\begin{enumerate}[a)] +\begin{enumerate}[(a)] \item $H_0$ ist artinsch. \item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt. \end{enumerate} @@ -95,7 +95,7 @@ Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. \end{align*} also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren: \begin{align*} - \chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N\\ + \chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\ n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n) \end{align*} Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. @@ -118,7 +118,7 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. \begin{equation*} \Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n). \end{equation*} - Wegen $X_rR = X_rN = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. + Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. \end{proof} \end{thm} @@ -147,9 +147,9 @@ Sei $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt &M_i \supset \mfq M_{i-1},\\ &M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.} \end{align*} -Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^nM$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^nM$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung +Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung \begin{align*} - f_M \colon \N &\to \N\\ + f_M \colon \N &\to \N \\ n &\mapsto \length_{A}(M/M_n) \end{align*} wohldefiniert. @@ -188,7 +188,7 @@ wohldefiniert. \end{equation} wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist. - Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^iM))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall: + Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall: \end{bem} \begin{lem} @@ -198,9 +198,24 @@ wohldefiniert. \end{equation*} wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist. \begin{proof} - + Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann + \begin{equation*} + \mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n, + \end{equation*} + also gilt für große $n$: + \begin{equation*} + P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n) + \end{equation*} + Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein. \end{proof} \end{lem} + +Wir wenden uns nun hauptsächlich dem Polynom $P_\mfq(M)$ und seinem führendem Term zu. + +\begin{prop} + \label{} +\end{prop} + \printbibliography \chapter*{Eigenständigkeitserklärung}