From 3dc0ab8341bdf45cf6ba4b44055daf3ffb03ebd9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Sun, 10 Sep 2017 20:39:25 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?regul=C3=A4re=20Ringe=20gleicher=20Charakterist?= =?UTF-8?q?ik=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- bibliography.bib | 26 ++++++++++++ chapters/chapter4.tex | 99 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- custom_commands.tex | 2 + 3 files changed, 123 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib index 0b5611b..f5812a6 100644 --- a/bibliography.bib +++ b/bibliography.bib @@ -66,3 +66,29 @@ pages={873 - 882}, journal={International Journal of Algebra}, } + +@article{auslander59unique, + title={Unique factorization in regular local rings}, + author={Auslander, Maurice and Buchsbaum, David Alvin}, + year={1959}, + volume={45}, + pages={733 – 734}, + journal={Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America}, +} + +@book{kaplansky1974commutative, + title={Commutative Rings}, + author={Kaplansky, Irving}, + series={Chicago Lectures in Mathematics}, + year={1974}, + publisher={University of Chicago Press} +} + +@article{cohen46onthestructure, + title={On the structure and ideal theory of complete local rings}, + author={Cohen, Irvin Sol}, + year={1946}, + volume={59}, + pages={54 - 106}, + journal={Transactions of the American Mathematical Society}, +} diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex index 0f41438..db42c31 100644 --- a/chapters/chapter4.tex +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -707,13 +707,104 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän Sei $k$ ein Körper und sei $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$, und sei $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. Sei $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen. Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). Dann gilt - \begin{equation*} + \begin{equation} + \label{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A). - \end{equation*} + \end{equation} \begin{proof} Sei $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$). Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus. Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$. - + Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus + \begin{equation*} + \gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \widehat{\otimes}_k N). + \end{equation*} + Dieser ist bijektiv, %TODO: Beweis? + also gilt %TODO: Wie folgt das? + \begin{equation*} + \dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N) + \end{equation*} + und + \begin{equation*} + e_\mfs(M \widehat{\otimes}_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)). + \end{equation*} + Sind + \begin{equation*} + \cdots \to K_1 \to K_0 \to M \to 0 + \end{equation*} + und + \begin{equation*} + \cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0 + \end{equation*} + jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist $(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$. %TODO: Warum? + Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$. + Dann gilt %TODO: Warum? + \begin{equation*} + K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A + \end{equation*} + und wir erhalten die Formel für der Reduktion auf die Diagonale: + \begin{equation*} + \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A) + \end{equation*} \end{proof} -\end{prop} \ No newline at end of file +\end{prop} + +\section{Reguläre Ringe gleicher Charakteristik} +\label{regulaere-ringe-gleicher-charakteristik} + +Sei nun wieder $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \widehat{\otimes}_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$. +Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln. +Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} und \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}: +\begin{equation*} + \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \widehat{\otimes}_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \widehat{\otimes}_k N) +\end{equation*} + +Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so auch $\Tor^A_i(M, N)$. +Außerdem ist auch +\begin{equation*} + (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfd (M \widehat{\otimes}_k N) \cong M \widehat{\otimes}_k N \otimes C / \mfd \cong M \otimes_k N +\end{equation*} +von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} ist dann die Euler-Poincaré-Charakteristik +\begin{equation*} + \chi(M, N) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N)) +\end{equation*} +gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$ bezüglich $\mfd$. +Folglich gilt +\begin{enumerate} + \item $\chi(M, N) \ge 0$, + \item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$, + \item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$. +\end{enumerate} + +Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgemeinern. + +\begin{defn}[Regulärer Ring gleicher Charakteristik] + \label{defn:regulaere-ringe-gleicher-charakteristik} + Ist $A$ ein Integritätsring, so nennen wir $A$ von \textbf{gleicher Charakteristik}, wenn für alle $\mfp \in \Spec(A)$ die Ringe $A$ und $A / \mfp$ die gleiche Charakteristik haben. + + Ist $A$ ein regulärer Ring und $\mfp \in \Spec(A)$, so ist $A_\mfp$ ein regulärer lokaler Ring und damit ein Integritätsring (siehe {}\cite[Theorem~164]{kaplansky1974commutative}). + Wir nennen $A$ von gleicher Charakteristik, falls für alle $\mfp \in \Spec(A)$ der Ring $A_\mfp$ von gleicher Charakteristik ist. +\end{defn} + +\begin{thm} + \label{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} + Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik und seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln. + Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$. + Dann gilt + \begin{enumerate} + \item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N)_\mfq)$, + \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$, + \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$. + \end{enumerate} + \begin{proof} + Durch Vervollständigung erhalten wir %TODO: Wieso? + \begin{equation*} + \Tor^A_i(M, N)_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq), + \end{equation*} + Also können wir annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist. %TODO: Warum ist \dim(A) = \dim(A_\mfq)? + Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$ und dann folgt die Behauptung, wie wir weiter oben gesehen haben. + \end{proof} +\end{thm} + +\section{Die $\BTor$-Formel} +\label{sec:die-tor-formel} \ No newline at end of file diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index ff8f675..4b4d429 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -39,6 +39,8 @@ \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp} \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} +\DeclareMathOperator{\BTor}{\mathbf{Tor}} + \DeclareMathOperator{\pplus}{\phantom{+}} \DeclareMathOperator{\poplus}{\phantom{\oplus}} \DeclareMathOperator{\peq}{\phantom{=}}