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index f663642..0f41438 100644
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@@ -10,7 +10,7 @@ Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
 
 \begin{defn}[Gruppe der Zykel eines Rings]
     \label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings}
-    Sei $A$ ein nötherscher Ring.
+    Sei $A$ ein noetherscher Ring.
     Die freie abelsche Gruppe $Z(A) = \bigoplus_{\Spec(A)} \Z$ heißt \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$.
     Ihre Elemente werden \textbf{Zykel} genannt.
     Wir nennen einen Zykel $Z$ \textbf{positiv}, falls er von der Form
@@ -22,16 +22,16 @@ Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
 
 \begin{defn}
     \label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings-der-dimension}
-    Sei $A$ ein nötherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
     Für alle $p \in \N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) =~p$ erzeugt wird.
-    Wir nennen $\Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ \textbf{der Dimension} $p$.
+    Wir nennen $\Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ der Dimension $p$.
     Offensichtlich gilt $Z(A) = \bigoplus_{p = 0}^n Z_p(A)$.
 \end{defn}
 
-Ist $A$ ein nötherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln mit $K(A)$ und die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln von Dimension $\le p$ mit $K_p(A)$.
+Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln mit $K(A)$ und die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln von Dimension $\le p$ mit $K_p(A)$.
 
 \begin{lem}
-    Sei $A$ ein nötherscher Ring und $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine kurze exakte Sequenz in $K(A)$.
+    Sei $A$ ein noetherscher Ring und $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine kurze exakte Sequenz in $K(A)$.
     Sind $M$ und $P$ in $K_p(A)$, so auch $N$.
     \begin{proof}
         Lokalisieren liefert sofort $\Supp(N) = \Supp(M) \cup \Supp(P)$, also
@@ -43,12 +43,14 @@ Ist $A$ ein nötherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
     \end{proof}
 \end{lem}
 
+
 \begin{lem}
-    Sei $A$ ein nötherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$.
+    \label{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$.
     Sei weiter $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$.
     Dann ist $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
 
-    Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine Kompositionsreihe von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
+    Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
     \begin{proof}
         Ist $\mfq \notin \Supp(M)$, so gilt $M_\mfq = 0$ und damit $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = 0 < \infty$.
         Ist $\mfp \in \Supp(M)$, so gilt wegen $\dim_A(M) \le p$:
@@ -65,9 +67,118 @@ Ist $A$ ein nötherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
         \end{align*}
         also enthält $\Supp(M_\mfq)$ nur das eindeutige Maximalideal von $A_\mfq$.
         Mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
+
+        Aus der aufsteigenden Folge von Untermoduln von $M$ erhalten wir durch Lokalisieren an $\mfq$:
+        \begin{equation*}
+            0 = {M_0}_{\mfq} \subset \ldots \subset {M_s}_{\mfq} = M_\mfq
+        \end{equation*}
+        Dabei gilt
+        \begin{equation*}
+            {M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \cong {(M_i / M_{i - 1})}_\mfq \cong {(A / \mfr_i)}_\mfq,
+        \end{equation*}
+        also ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq$ genau dann $0$, wenn $(A \setminus \mfq) \cap \mfr_i \neq \emptyset$, also wenn $\mfr_i \not\subset \mfq$.
+        Wir wollen nun $\mfr_i \in \Supp(M)$ zeigen.
+        Dazu betrachten wir die kurzen exakten Sequenzen
+        \begin{equation*}
+            0 \to {M_{j - 1}}_{\mfr_i} \to {M_{j}}_{\mfr_i} \to {(M_j / M_{j - 1})}_{\mfr_i} \to 0.
+        \end{equation*}
+        Diese zeigen, dass ${M_j}_{\mfr_i} = 0$ genau dann gilt, wenn ${M_{j - 1}}_{\mfr_i} = 0$ und ${(M_j / M_{j - 1})}_{\mfr_i} = 0$.
+        Wir wissen aber
+        \begin{equation*}
+            {(M_i / M_{i - 1})}_{\mfr_i} = {(A / \mfr_i)}_{\mfr_i}  = \Quot(A / \mfr_i) \neq 0,
+        \end{equation*}
+        also folgt für alle $j \ge i$ induktiv ${M_j}_{\mfr_i} \neq 0$ und insbesondere $M_{\mfr_i} \neq 0$, also $\mfr_i \in \Supp(M)$.
+        Ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$, so haben wir oben bereits gesehen, dass $\mfr_i \subset \mfq$ gilt.
+        Aber wegen $\mfr_i \in \Supp(M)$ und weil $\mfq$ das einzige Primideal in $\Supp(M)$ ist, das in $\mfq$ enthalten ist, folgt bereits $\mfr_i = \mfq$.
+        Folglich gilt für alle ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$ bereits ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq = \Quot(A / \mfq)$ und insbesondere sind sie einfache $A_\mfq$-Moduln.
+        Durch Weglassen von gleichen Untermoduln erhalten wir also eine Kompositionsreihe von $M_\mfq$ über $A_\mfq$, deren Länge die Anzahl $k$ der Indizes $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfq$ ist.
+        Demnach gilt auch $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = k$.
     \end{proof}
 \end{lem}
 
+\begin{defn}
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring.
+    Dann definieren wir folgende Funktion:
+    \begin{align*}
+        z_p \colon K_p(A) &\to Z_p(A) \\
+        M & \mapsto \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) \mfq
+    \end{align*}
+    Wir nennen $z_p(M)$ den zu $M$ gehörigen \textbf{Zykel} der Dimension $p$.
+    Da die Länge von $A$-Moduln additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist, ist es auch die Funktion $z_p$.
+    Ist $M \in K_{p - 1}(A)$ und $\mfq \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfq) = p$, so gilt $\mfq \notin \Supp(M)$, da $\dim(M) < p$.
+    Also folgt $z_p(M) = 0$ das heißt die funktion $z_p$ ist null auf ganz $K_{p - 1}(A)$.
+\end{defn}
+
+\begin{bem}
+    Ist $A$ ein noetherscher lokaler Integritätsring der Dimension $n$, so ist $\mfq = (0)$ das einzige Primideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = n$.
+    Folglich gilt $Z_n(A) \cong \Z$.
+    Ist $M \in K_n(A)$, so gilt
+    \begin{equation*}
+        z_n(M) = \length_{A_{(0)}}(M_{(0)}) = \dim_{\Quot(A)}(M \otimes_A \Quot(A)) = \rk(M).
+    \end{equation*}
+\end{bem}
+
+\begin{defn}[Multiplizität eines Moduls]
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
+    Sei $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$.
+    Ist $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul, dann gilt insbesondere $\length_A(M / \mfa M) < \infty$ und mit \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} folgt $\deg(P_\mfa(M)) = \dim(M)$.
+    Wir nennen dann $e_\mfa(M) \coloneqq e_\mfa(M, \dim(M))$ die \textbf{Multiplizität} von $M$ bezüglich $\mfa$.
+    Allgemeiner betrachten wir $e_\mfa(M, p)$ für $\dim(M) \le p$.
+    Dies liefert uns eine Funktion
+    \begin{align*}
+        e_\mfa(\bullet, p) \colon K_p(A) &\to \N \\
+        M & \mapsto e_\mfa(M, p),
+    \end{align*}
+    die nach \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
+    Per Definition ist sie null auf $K_{p - 1}(A)$.
+    Ist $\mfa = \mfm$, so nennen wir $e_\mfa(M) = e_\mfm(M)$ die \textbf{Multiplizität} von $M$.
+    Insbesondere heißt $e_\mfm(A)$ die \textbf{Multiplizität} des lokalen Rings $A$.
+\end{defn}
+
+\begin{lem}
+    Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \textbf{Additivitäts-Formel}:
+    \begin{equation*}
+        e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
+    \end{equation*}
+    \begin{proof}
+        Es gibt einen aufsteigende Folge $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$ (siehe {}\cite[Chapter~I, Corollary~2 nach Proposition~5]{serre2000local}).
+        Wir wollen nun durch Induktion über $s$ zeigen, dass
+        \begin{equation*}
+            e_\mfa(M_s, p) = \sum_{i = 1}^s e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p)
+        \end{equation*}
+        gilt.
+        Wegen $M_1 = M_1 / M_0$ haben wir im Fall $s = 1$
+        \begin{equation*}
+            e_\mfa(M_1, p) = e_\mfa(M_1 / M_0, p) = \sum_{i = 1}^1 e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p).
+        \end{equation*}
+        Sei nun also $s > 1$ und die Behauptung bereits für $s - 1$ gezeigt.
+        Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
+        \begin{equation*}
+            0 \to M_{s - 1} \to M_s \to M_s / M_{s - 1} \to 0.
+        \end{equation*}
+        Mit \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} und der Induktionsvoraussetzung folgt dann
+        \begin{align*}
+            e_\mfa(M_s, p) &= e_\mfa(M_{s - 1}, p) + e_\mfa(M_s / M_{s - 1}, p) \\
+            &= \sum_{i = 1}^{s - 1} e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p) + e_\mfa(M_s / M_{s - 1}, p) \\
+            &= \sum_{i = 1}^s e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p).
+        \end{align*}
+        Wie bereits im Beweis von \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge} gesehen, gilt $\mfr_i \in \Supp(M)$ und damit folgt $\dim(A / \mfr_i) \le p$.
+        Ist $\dim(A / \mfr_i) < p$, so ist $e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p) = 0$, also folgt mit \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
+        \begin{equation*}
+            e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
+        \end{equation*}
+    \end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{bem}
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$ mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\bmx = (x_1, \ldots, x_n) \subset \mfm$ mit $\length_A(A / \bmx A) < \infty$.
+    Ist $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul, dann gilt $\length_A(M / \bmx M) < \infty$ und nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} gilt
+    \begin{equation*}
+        e_{\bmx}(M, n) = \chi(\bmx, M) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i h_i(\bmx, M),
+    \end{equation*}
+    wobei $h_i(\bmx, M)$ die Länge der $i$-ten Homologiegruppe des Koszul-Komplexes $K(\bmx, M)$ ist.
+\end{bem}
+
 \section{Reduktion auf die Diagonale}
 \label{sec:reduktion-auf-die-diagonale}
 
diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex
index 9057e2c..ff8f675 100644
--- a/custom_commands.tex
+++ b/custom_commands.tex
@@ -32,7 +32,9 @@
 \DeclareMathOperator{\height}{ht}
 \DeclareMathOperator{\map}{map}
 \DeclareMathOperator{\Mod}{Mod}
+\DeclareMathOperator{\Quot}{Quot}
 \DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
+\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
 \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
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