diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex
index 01a22d3..beaa8fb 100644
--- a/chapters/chapter1.tex
+++ b/chapters/chapter1.tex
@@ -1,2 +1,4 @@
+% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
+
\chapter{Einleitung}
\label{cha:einleitung}
diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex
index 3623c8f..2494c7a 100644
--- a/chapters/chapter2.tex
+++ b/chapters/chapter2.tex
@@ -1,3 +1,5 @@
+% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
+
\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
@@ -328,7 +330,7 @@ wohldefiniert.
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
\begin{proof}
Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$.
- Nach dem Lemma von Artin-Rees (sieh {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
+ Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
\begin{equation*}
0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0.
\end{equation*}
@@ -455,7 +457,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen.
Sei nun also $d(M) = n \ge 1$ und die Behauptung bereits für $n - 1$ gezeigt.
Sei $\mfp_0 \in \Supp(M)$ minimal mit $\dim(M) = \dim(A/\mfp_0)$.
- Dann gibt es einen Untermodul $N$ von $M$ mit $N \cong A/\mfp_0$ (siehe {}\cite[Chapter~I 7. Theorem~1]{serre2000local}).
+ Dann gibt es einen Untermodul $N$ von $M$ mit $N \cong A/\mfp_0$ (siehe {}\cite[Chapter~I, Theorem~1]{serre2000local}).
Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}
gilt dann $d(N) \le d(M)$, wir können also $M = A / \mfp_0$ annehmen.
Angenommen es gilt $\dim(M) > d(M)$.
@@ -497,7 +499,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen.
Folglich gilt $s(M) = 0$.
Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt.
- Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Kapitel~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}).
+ Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}).
Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und wir können nach dem Lemma zur Vermeidung von Primidealen $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}).
Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$.
Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex
index fdde441..3e2a695 100644
--- a/chapters/chapter3.tex
+++ b/chapters/chapter3.tex
@@ -1,3 +1,5 @@
+% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
+
\chapter{Der Koszul-Komplex}
\label{cha:der-koszul-komplex}
Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
@@ -475,7 +477,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p},
\end{equation*}
wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet.
- Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II A: 5. Corrolary~4]{serre2000local}).
+ Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}).
Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$.
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen
\begin{equation*}
diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex
index 67097b7..cc9364c 100644
--- a/chapters/chapter4.tex
+++ b/chapters/chapter4.tex
@@ -1,3 +1,5 @@
+% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
+
\chapter{Multiplizitäten}
\label{cha:multiplizitaeten}
@@ -16,7 +18,7 @@ Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebrais
\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
\end{equation*}
Oder in algebraischer Sprache ausgedrückt:
- Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein Minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt
+ Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt
\begin{equation*}
\height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp'').
\end{equation*}
@@ -149,5 +151,51 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} beweisen:
\begin{proof}[Beweis von \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}]
-
-\end{proof}
\ No newline at end of file
+ Sei $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $C = A \otimes_k A$, $D = A / \mfp' \otimes_k A / \mfp''$ und $\mfr = \mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$.
+ Sei außerdem $\phi$ wie in \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} und $\mfd$ der Kern von $\phi$.
+ Wir haben folgende kurze exakte Sequenz:
+ \begin{equation*}
+ 0 \to \mfr \to C \to D \to 0
+ \end{equation*}
+ Das Primideal $\mfP = \phi^{-1}(\mfp)$ ein minimales Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, denn $(0) \subset \mfp$ und angenommen $\mfP'$ ein Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, das in $\mfP$ enthalten ist, so gilt
+ \begin{equation*}
+ \mfp = \phi(\mfP) \supset \phi(\mfP') \supset \mfp' + \mfp''.
+ \end{equation*}
+ Da $\phi(\mfP')$ wegen der Surjektivität von $\phi$ ein Primideal ist, und weil $\mfp$ ein minimales Primideal in $V(\mfp' + \mfp'')$ ist, folgt
+ \begin{equation*}
+ \mfP' = \phi^{-1}(\phi(\mfP')) + \ker(\phi) = \phi^{-1}(\mfp) + \ker(\phi) = \mfP.
+ \end{equation*}
+ Sei $\mfd'$ das Bild von $\mfd$ in $D$, dann entsprechen die Elemente aus $V(\mfd')$ wegen der obigen kurzen exakten Sequenz genau den Elementen in $V(\mfd + \mfr)$.
+ Das Bild $\mfQ$ von $\mfP$ in $D$ ist also ein minimales Primideal in $V(\mfd')$.
+ Nach \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} wird $\mfd$ von den $n$ Elementen $1 \otimes X_i - X_i \otimes 1$ erzeugt.
+ Die minimale Anzahl von Erzeugern von $\mfd'$ ist also $\le n$ und, da $\mfQ$ ein minimales Primideal über $\mfd'$ ist, folgt $\height(\mfQ) \le n$.
+ Sei $\mfQ_0$ ein minimales primideal von $D$, das in $\mfQ$ enthalten ist, dann gilt $\height(\mfQ / \mfQ_0) \le n$.
+ Nach \cref{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal} gilt
+ \begin{equation*}
+ \dim(D / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'').
+ \end{equation*}
+ Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist es auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfq_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer.
+ Für Primideale $\mfq$ von $D/\mfQ_0$ gilt also
+ \begin{equation*}
+ \height(\mfq) + \dim((D / \mfQ_0) / \mfq) = \dim(D / \mfQ_0)
+ \end{equation*}
+ (vergleiche {}\cite[Chapter~III, Part~D, Proposition~15]{serre2000local}).
+ Insbesondere gilt
+ \begin{equation*}
+ \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim((D / \mfQ_0)/(\mfQ / \mfQ_0)) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim(D / \mfQ).
+ \end{equation*}
+ Nach Konstruktion gilt $A / \mfp \cong D / \mfQ$ und wir erhalten insgemsamt
+ \begin{equation*}
+ n \ge \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'') - \dim(A / \mfp),
+ \end{equation*}
+ also
+ \begin{equation*}
+ n - \dim(A / \mfp) \le n - \dim(A / \mfp') + n - \dim(A / \mfp'').
+ \end{equation*}
+ Da $A$ eine integre endlich erzeugte $k$-Algebra ist, folgt
+ \begin{equation*}
+ \height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp'').
+ \end{equation*}
+\end{proof}
+
+Der obige Beweis basiert auf dem Ersetzen des Tripels $(A; \mfp', \mfp'')$ durch das Tripel $(A \otimes_k A; \mfd, \mfr)$. Dieses Verfahren wird \textbf{Reduktion auf die Diagonale} genannt. Es ist das algebraische Analogon zur Mengentheoretischen Formel $V \cap W = (V \times W) \cap \Delta$. Wir werden dieses Verfahren später auch noch in einem allgemeineren Kontext verwenden.
\ No newline at end of file
diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex
index 6a0004a..757c325 100644
--- a/custom_commands.tex
+++ b/custom_commands.tex
@@ -12,6 +12,9 @@
\newcommand{\mfn}{\mathfrak{n}}
\newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}}
\newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}}
+\newcommand{\mfr}{\mathfrak{r}}
+\newcommand{\mfP}{\mathfrak{P}}
+\newcommand{\mfQ}{\mathfrak{Q}}
\newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}}