diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex index 01a22d3..beaa8fb 100644 --- a/chapters/chapter1.tex +++ b/chapters/chapter1.tex @@ -1,2 +1,4 @@ +% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*- + \chapter{Einleitung} \label{cha:einleitung} diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 3623c8f..2494c7a 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -1,3 +1,5 @@ +% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*- + \chapter{Hilbert-Samuel-Polynome} \label{cha:hilbert-samuel-polynome} @@ -328,7 +330,7 @@ wohldefiniert. wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist. \begin{proof} Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$. - Nach dem Lemma von Artin-Rees (sieh {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz + Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} 0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0. \end{equation*} @@ -455,7 +457,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Sei nun also $d(M) = n \ge 1$ und die Behauptung bereits für $n - 1$ gezeigt. Sei $\mfp_0 \in \Supp(M)$ minimal mit $\dim(M) = \dim(A/\mfp_0)$. - Dann gibt es einen Untermodul $N$ von $M$ mit $N \cong A/\mfp_0$ (siehe {}\cite[Chapter~I 7. Theorem~1]{serre2000local}). + Dann gibt es einen Untermodul $N$ von $M$ mit $N \cong A/\mfp_0$ (siehe {}\cite[Chapter~I, Theorem~1]{serre2000local}). Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} gilt dann $d(N) \le d(M)$, wir können also $M = A / \mfp_0$ annehmen. Angenommen es gilt $\dim(M) > d(M)$. @@ -497,7 +499,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Folglich gilt $s(M) = 0$. Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt. - Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Kapitel~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}). + Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}). Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und wir können nach dem Lemma zur Vermeidung von Primidealen $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}). Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$. Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index fdde441..3e2a695 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -1,3 +1,5 @@ +% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*- + \chapter{Der Koszul-Komplex} \label{cha:der-koszul-komplex} Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. @@ -475,7 +477,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p}, \end{equation*} wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet. - Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II A: 5. Corrolary~4]{serre2000local}). + Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}). Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen \begin{equation*} diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex index 67097b7..cc9364c 100644 --- a/chapters/chapter4.tex +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -1,3 +1,5 @@ +% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*- + \chapter{Multiplizitäten} \label{cha:multiplizitaeten} @@ -16,7 +18,7 @@ Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebrais \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W). \end{equation*} Oder in algebraischer Sprache ausgedrückt: - Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein Minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt + Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt \begin{equation*} \height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp''). \end{equation*} @@ -149,5 +151,51 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} beweisen: \begin{proof}[Beweis von \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}] - -\end{proof} \ No newline at end of file + Sei $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $C = A \otimes_k A$, $D = A / \mfp' \otimes_k A / \mfp''$ und $\mfr = \mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$. + Sei außerdem $\phi$ wie in \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} und $\mfd$ der Kern von $\phi$. + Wir haben folgende kurze exakte Sequenz: + \begin{equation*} + 0 \to \mfr \to C \to D \to 0 + \end{equation*} + Das Primideal $\mfP = \phi^{-1}(\mfp)$ ein minimales Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, denn $(0) \subset \mfp$ und angenommen $\mfP'$ ein Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, das in $\mfP$ enthalten ist, so gilt + \begin{equation*} + \mfp = \phi(\mfP) \supset \phi(\mfP') \supset \mfp' + \mfp''. + \end{equation*} + Da $\phi(\mfP')$ wegen der Surjektivität von $\phi$ ein Primideal ist, und weil $\mfp$ ein minimales Primideal in $V(\mfp' + \mfp'')$ ist, folgt + \begin{equation*} + \mfP' = \phi^{-1}(\phi(\mfP')) + \ker(\phi) = \phi^{-1}(\mfp) + \ker(\phi) = \mfP. + \end{equation*} + Sei $\mfd'$ das Bild von $\mfd$ in $D$, dann entsprechen die Elemente aus $V(\mfd')$ wegen der obigen kurzen exakten Sequenz genau den Elementen in $V(\mfd + \mfr)$. + Das Bild $\mfQ$ von $\mfP$ in $D$ ist also ein minimales Primideal in $V(\mfd')$. + Nach \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} wird $\mfd$ von den $n$ Elementen $1 \otimes X_i - X_i \otimes 1$ erzeugt. + Die minimale Anzahl von Erzeugern von $\mfd'$ ist also $\le n$ und, da $\mfQ$ ein minimales Primideal über $\mfd'$ ist, folgt $\height(\mfQ) \le n$. + Sei $\mfQ_0$ ein minimales primideal von $D$, das in $\mfQ$ enthalten ist, dann gilt $\height(\mfQ / \mfQ_0) \le n$. + Nach \cref{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal} gilt + \begin{equation*} + \dim(D / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp''). + \end{equation*} + Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist es auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfq_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer. + Für Primideale $\mfq$ von $D/\mfQ_0$ gilt also + \begin{equation*} + \height(\mfq) + \dim((D / \mfQ_0) / \mfq) = \dim(D / \mfQ_0) + \end{equation*} + (vergleiche {}\cite[Chapter~III, Part~D, Proposition~15]{serre2000local}). + Insbesondere gilt + \begin{equation*} + \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim((D / \mfQ_0)/(\mfQ / \mfQ_0)) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim(D / \mfQ). + \end{equation*} + Nach Konstruktion gilt $A / \mfp \cong D / \mfQ$ und wir erhalten insgemsamt + \begin{equation*} + n \ge \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'') - \dim(A / \mfp), + \end{equation*} + also + \begin{equation*} + n - \dim(A / \mfp) \le n - \dim(A / \mfp') + n - \dim(A / \mfp''). + \end{equation*} + Da $A$ eine integre endlich erzeugte $k$-Algebra ist, folgt + \begin{equation*} + \height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp''). + \end{equation*} +\end{proof} + +Der obige Beweis basiert auf dem Ersetzen des Tripels $(A; \mfp', \mfp'')$ durch das Tripel $(A \otimes_k A; \mfd, \mfr)$. Dieses Verfahren wird \textbf{Reduktion auf die Diagonale} genannt. Es ist das algebraische Analogon zur Mengentheoretischen Formel $V \cap W = (V \times W) \cap \Delta$. Wir werden dieses Verfahren später auch noch in einem allgemeineren Kontext verwenden. \ No newline at end of file diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index 6a0004a..757c325 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -12,6 +12,9 @@ \newcommand{\mfn}{\mathfrak{n}} \newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}} \newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}} +\newcommand{\mfr}{\mathfrak{r}} +\newcommand{\mfP}{\mathfrak{P}} +\newcommand{\mfQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}}