From 49adaad4efc87fdc2c011090a2c576f7e41c721b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Thu, 17 Aug 2017 17:33:37 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Theorem=20Euler-Charakteristik=20=3D=20H=C3=B6c?= =?UTF-8?q?hster=20Koeffizient=20vom=20Samuel-Polynom?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapters/chapter3.tex | 128 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- custom_commands.tex | 1 + 2 files changed, 126 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index 14f2a34..cb2e45a 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -372,13 +372,27 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \section{Die Filtrierung eines Koszul-Komplexes} \label{sec:die-filtrierung-eines-koszu-komplexes} -Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sein im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$. +\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik] + \label{defn:euler-poincare-charakteristik} + Sei $A$ ein Ring und $K$ ein beschränkter Komplex von $A$-Moduln. + Ist $\length_A(K_p) < \infty$ für alle $p \in \Z$, so definieren wir die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} von $K$ durch + \begin{equation*} + \chi(K) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A(K_p). + \end{equation*} + Ist $\length_A(H_p(K)) < \infty$ für alle $p \in \Z$, so definieren wir sie durch + \begin{equation*} + \chi(K) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A(H_p(K)). + \end{equation*} + Sind beide Voraussetzungen gegeben, so stimmen die beiden Definitionen überein, da die Länge additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist. +\end{defn} + +Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$. Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$. Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$. Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$. -\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik] - \label{defn:euler-poincare-charakteristik} +\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik des Koszulkomplexes] + \label{defn:euler-poincare-charakteristik-des-koszul-komplexes} Wir definieren die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} zu $(\bmx, M)$ durch \begin{equation*} \chi(\bmx, M) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \length_A(H_p(\bmx, M)). @@ -396,4 +410,112 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M \begin{thm} \label{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} Es gilt $\chi(\bmx, M) = e_{\bmx}(M, r)$. + \begin{proof} + Wir gehen in mehreren Schritten vor: + \begin{enumerate} + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-1} Sei $K = K(\bmx, M)$. Wir definieren eine absteigende Filtrierung auf $K$ durch + \begin{equation*} + {(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p. + \end{equation*} + Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-gute Filtrierung von $K$. + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring. + Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$. + Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$. + Sei $\gr(M)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $M$ gehörige graduierte $\gr(A)$-Modul. + Dann gilt + \begin{equation*} + \gr(K) \coloneqq \bigoplus_{i \in \Z} F^i K / F^{i + 1} K \cong K(\bmy, \gr(M)), + \end{equation*} + denn + \begin{align*} + {\gr(K)}_p &= \bigoplus_{i \in \Z}{(F^i K)}_p / {(F^{i + 1} K)}_p \\ + &= \bigoplus_{i \in \Z} x^{i - p}K_p / x^{i + 1 - p}K_p \\ + &= \bigoplus_{i \in \Z} x^i K_p / x^{i + 1}K_p \\ + &\cong \bigoplus_{i \in \Z} x^i M^{\binom{r}{p}} / x^{i + 1} M^{\binom{r}{p}} \\ + &\cong {\left(\bigoplus_{i \in \Z} x^i M / x^{i + 1} M \right)}^{\binom{r}{p}} \\ + &= {\gr(M)}^{\binom{r}{p}} \\ + &\cong K_p(\bmy, \gr(M)) + \end{align*} + und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen der beiden Komplexe. + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Weil $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul ist, ist $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul. + Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln. + Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugte Moduln über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$. + Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar als endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln. + Nach dem gleichen Argument, das wir bereits für die Wohldefiniertheit der Euler-Poincaré-Charakteristik verwendet haben, folgt dann, dass die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ alle endliche Länge haben. + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} Da $H_p(\bmy, \gr(M)) = 0$ für $p \notin \lbrace 0, \ldots, r \rbrace$ und wegen + \begin{equation*} + H_p(\bmy, \gr(M)) = \bigoplus_{i \in \Z} H_p(F^i K / F^{i + 1}K) + \end{equation*} + gibt es also ein $m \ge 0$ mit der Eigenschaft, dass $H_p(F^i K / F^{i + 1}K) = 0$ für alle $i > m$ und alle $p \in \Z$. Ohne Einschränkung können wir $m \ge r$ annehmen. + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} Wir zeigen nun $H_p(F^i K / F^{i + j} K) = 0$ für alle $p \in \Z$, $i > m$ und $j \ge 0$ durch Induktion über $j$: + Im Fall $j = 0$ ist die Behauptung trivial. + Sei also nun $j \ge 1$ und die Behauptung für $j - 1$ bereits gezeigt. + Wir betrachten folgende kurze exakte Sequenz von Komplexen: + \begin{equation*} + 0 \to F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j - 1}K \to 0 + \end{equation*} + Dies liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz: + \begin{align*} + \cdots &\to H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K) \to \\ + & \to H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to \cdots + \end{align*} + Nach Voraussetzung ist $j \ge 1$, also ist $i + j - 1 > m$ und damit folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} $H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$. + Nach Induktionsvoraussetzung gilt $H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$, das heißt wir erhalten für alle $p \in \Z$ die kurze exakte Sequenz + \begin{equation*} + 0 \to 0 \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to 0 \to 0, + \end{equation*} + also muss auch $H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) = 0$ gelten. + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-6} Seien $Z^i_p$ und $B^i_p$ jeweils die Moduln der Zykel und Ränder in ${(F^i K)}_p$. + Nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} gilt $H_p(F^i K / \bmx^j {(F^i K)}_p) = 0$ für alle $j \ge 0$, also + \begin{equation*} + Z^i_p \subset B^i_p + \bmx^j {(F^i K)}_p. + \end{equation*} + Damit folgt + \begin{equation*} + Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p}, + \end{equation*} + wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet. + Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II A: 5. Corrolary~4]{chin2012local}). + Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$. + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen + \begin{equation*} + 0 \to F^i K \to K \to K / F^i K \to 0. + \end{equation*} + Diese liefert folgende lange exakte Homologiesequenz: + \begin{equation*} + \cdots \to H_p(F^i K) \to H_p(K) \to H_p(K / F^i K) \to H_{p - 1}(F^i K) \to \cdots + \end{equation*} + Ist $i > m$, so ist $H_p(F^i K) = 0$ für alle $p \in \Z$ und es folgt, dass der natürliche Morphismus + \begin{equation*} + H_p(\bmx, M) = H_p(K) \to H_p(K / F^i K) + \end{equation*} + für alle $p \in \Z$ ein Isomorphismus ist. + + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-8} Wegen $\length_A(M/\bmx M) < \infty$ sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente in $\Supp(M) \cap V(\bmx)$ maximale Ideale. + Wegen $V(\bmx^i) = V(\bmx)$ gilt also nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} auch $\length_A(M / \bmx^i M) < \infty$ und damit ist auch + \begin{equation*} + {(K / F^i K)}_p \cong {(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}} + \end{equation*} + von endlicher Länge. Für $i > m$ folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} also + \begin{align} + \label{eq:euler-poincare-charakteristik} + \begin{aligned} + \chi(\bmx, M) &= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p\length_A(H_p(K / F^i K)) \\ + &= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p\length_A({(K / F^i K)}_p) \\ + &=\sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A\left({(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}}\right) \\ + &= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \binom{r}{p}\length_A((M / \bmx^{i - p} M)) + \end{aligned} + \end{align} + + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-9} Wenn $i$ große genug ist, können wir \cref{eq:euler-poincare-charakteristik} zu folgender Gleichung umschreiben: + \begin{equation*} + \chi(\bmx, M) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \binom{r}{p} P_{\bmx}(M, i - p). + \end{equation*} + Nach \cref{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} ist die rechte Seite dieser Gleichung durch + \begin{equation*} + \Delta^r P_{\bmx}(M, i - r) = \Delta^r P_{\bmx}(M) = e_{\bmx}(M, r) + \end{equation*} + gegeben. + \end{enumerate} + \end{proof} \end{thm} \ No newline at end of file diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index ab0dfa0..ae3ae0c 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -22,6 +22,7 @@ \DeclareMathOperator{\gr}{gr} \DeclareMathOperator{\map}{map} \DeclareMathOperator{\Mod}{Mod} +\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad} \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp} \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}