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@@ -395,7 +395,7 @@ wohldefiniert.
\begin{prop}
\label{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
- Sind $\mfq, \mfq'$ Ideale von $A$ mit $\length_A(M/\mfq M) < \infty$ und $\length_A(M/\mfq' M) <~\infty$ und gilt zusätzlich
+ Sind $\mfq, \mfq'$ Ideale von $A$ mit $\length_A(M/\mfq M) < \infty$ und $\length_A(M/\mfq' M) <\nobreak\infty$ und gilt zusätzlich
\begin{equation*}
\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M) \cap V(\mfq'),
\end{equation*}
@@ -461,7 +461,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di
\begin{equation*}
0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0
\end{equation*}
- Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, folgt also $\length_A(\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M) =~0$ und damit $\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M = 0$, also $\mfq^n M \cong \mfq^{n + 1} M$.
+ Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, folgt also $\length_A(\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M) =\nobreak0$ und damit $\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M = 0$, also $\mfq^n M \cong \mfq^{n + 1} M$.
Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt wegen des Nakayama-Lemmas $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$.
Sei nun $\mfp \in \Supp(M)$, dann gilt $\mfp \supset \Ann_A(M) \supset \mfq^k$.
Da $\mfp$ prim ist, folgt $\mfp \supset \mfq$ und damit $\mfp \in \Supp(M / \mfq M)$.
@@ -513,7 +513,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di
Folglich sind alle $\mfp \in \Supp(M)$ maximale Ideale und damit ist $M$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} von endlicher Länge. Wir erhalten also $s(M) = 0$.
Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt.
- Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. Theorem~1]{serre2000local}).
+ Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II, Theorem~1]{serre2000local}).
Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und nach dem \emph{Lemma zur Vermeidung von Primidealen} können wir $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}).
Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$.
Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
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@@ -7,7 +7,7 @@ Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion
\section{Die Multiplizität eines Moduls}
\label{sec:die-multiplizitaet-eines-moduls}
Im Folgenden wollen wir den Begriff der \emph{Multiplizität} eines Moduls einführen.
-Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
+Dazu führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
\begin{defn}[Gruppe der Zykel eines Rings]
\label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings}
@@ -24,7 +24,7 @@ Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
\begin{defn}
\label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings-der-dimension}
Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
- Für alle $p \in\nobreak\N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) =~p$ erzeugt wird.
+ Für alle $p \in\nobreak\N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) = p$ erzeugt wird.
Wir nennen $Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ der Dimension $p$.
Offensichtlich gilt $Z(A) = \bigoplus_{p = 0}^n Z_p(A)$.
\end{defn}
@@ -60,7 +60,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
Insbesondere gibt es kein $\mfp \in \Supp(M)$ mit $\mfp \subsetneq \mfq$.
Nun folgt
\begin{align*}
- \Supp(M_\mfq) &= \Spec(A_\mfq / (\Ann_{A_\mfq}(M_\mfq))) \\
+ \Supp(M_\mfq) &= \Spec(A_\mfq / \Ann_{A_\mfq}(M_\mfq)) \\
&= \Spec({(A / \Ann_A(M))}_\mfq) \\
&= \lbrace \mfp A_\mfq \mid \mfp \in \Supp(M) \wedge \mfp \subset \mfq \rbrace \\
&= \lbrace \mfq A_\mfq \rbrace,
@@ -714,7 +714,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
\end{bem}
Wir wollen nun den für uns wichtigsten Fall untersuchen, nämlich dass $k$ ein Körper ist, $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
-In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) =~0$ für $i > 0$, denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
+In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) =\nobreak0$ für $i > 0$, denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \hatotimes_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$, wobei
\begin{equation*}
\mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
@@ -752,7 +752,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A).
\end{equation}
\begin{proof}
- Es sei nun $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
+ Es sei nun $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <\nobreak\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$ und $M \hatotimes_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \hatotimes_k N)$.
Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \hatotimes_k N$ induziert einen Morphismus