diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib
index 9341c18..0b5611b 100644
--- a/bibliography.bib
+++ b/bibliography.bib
@@ -41,9 +41,9 @@
 }
 
 @book{bourbaki2006algebre,
-  title={Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4},
+  title={Algèbre commutative},
+  subtitle={Chapitres 1 à 4},
   author={Bourbaki, Nicolas},
-  series={Algèbre commutative},
   year={2006},
   publisher={Springer Berlin Heidelberg}
 }
@@ -56,3 +56,13 @@
 23, and IV, 1), 24 (IV, 2–7), 28 (IV, 8–15), 32 ((IV, 16–21)},
   journal={Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques}
 }
+
+@article{bardavid11aneffective,
+  title={An Effective Description of {$k[[X]] \otimes_k k[[Y]]$}},
+  author={Bardavid, Colas},
+  year={2011},
+  volume={5},
+  number={18},
+  pages={873 - 882},
+  journal={International Journal of Algebra},
+}
diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex
index cec61fc..34e0607 100644
--- a/chapters/chapter4.tex
+++ b/chapters/chapter4.tex
@@ -257,25 +257,28 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukt
     \label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt}
     Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
     Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
-     Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
-     Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind.
-     Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
-     Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
+    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
+    Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind.
+    Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
+    Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
 
-     Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch
-     \begin{equation}
-         \widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
-     \end{equation}
-     Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt}
-     \begin{equation}
-         M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
-     \end{equation}
+    Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch
+    \begin{equation}
+        \widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
+    \end{equation}
+    Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt}
+    \begin{equation}
+        M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
+    \end{equation}
 \end{defn}
 
 Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
 
 \begin{prop}
     \label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}
+    Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
+    Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
+    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
     \begin{enumerate}[(a)]
         \item Es gilt
         \begin{equation}
@@ -312,7 +315,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
         \end{equation*}
         Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
         Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
-        \item Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
+        \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
         \begin{align*}
             \cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
             &\to \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N) \\
@@ -322,6 +325,11 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
         \begin{equation*}
             \cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots.
         \end{equation*}
+        \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-requläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$.
+        Dann gilt für alle $i > n - r$:
+        \begin{equation*}
+            \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0
+        \end{equation*}
     \end{enumerate}
     \begin{proof}
         \begin{enumerate}[(a)]
@@ -445,6 +453,91 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
                 \Tor^k_{n}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N)
             \end{gather*}
             Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und mit {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA} folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist.
+            \item Wegen
+            \begin{equation*}
+                \widehat{\Tor}^k_i(M, N) = \varprojlim_{n}\widehat{\Tor}^k_i(M, N / \mfq^n N)
+            \end{equation*}
+            genügt es die Behuptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen.
+            Ist $i > n$, so gilt für alle $p,q \in \N$, dass $\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) = 0$, also auch $\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = 0$.
+            Dann liefert uns die kurze exakte Sequenz
+            \begin{equation*}
+                \label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1}\tag{$\ast$}
+                0 \longrightarrow M \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} M \to M / a_1 M \to 0
+            \end{equation*}
+            wegen \cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} die exakte Sequenz
+            \begin{equation*}
+                0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_n(M, N).
+            \end{equation*}
+            Da $\length_k(N) < \infty$ wird die Kette
+            \begin{equation*}
+                N \supset a_1 N \supset a_1^2 N \supset \cdots
+            \end{equation*}
+            stationär, das heißt es gibt ein $n_0 \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n \ge n_0$ gilt:
+            \begin{equation*}
+                a_1^n N = a_1^{n+1} N
+            \end{equation*}
+            Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, folgt mit dem Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
+            Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft.
+            Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein $0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)$ mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$, also ist $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$.
+            Dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$.
+
+            Im Fall $r > 1$ ist $\lbrace a_2, \ldots, a_r \rbrace$ eine $(M / a_1)$-Folge der Länge $r - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung angewendet auf $M / a_1$ folgt $\widehat{\Tor}^k_i(M / a_1, N)$ = 0 für alle $i > n - (r - 1)$.
+            Wir erhalten also aus \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1} die exakte Sequenz
+            \begin{equation*}
+                0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N)
+            \end{equation*}
+            und mit dem gleichen Argument wie oben folgt $\widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) = 0$.
         \end{enumerate}
     \end{proof}
+\end{prop}
+
+\begin{bem}
+    \label{bem:}
+    Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ bestehn.
+    Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
+\end{bem}
+
+Wir untersuchen nun den für uns wichtigsten Fall, nämlich dass $k$ ein Körper ist,$A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
+In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) = 0$ für $i > 0$, denn denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
+Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$ ist, wobei
+\begin{equation*}
+    \mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
+\end{equation*}
+Sei nun $C = k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ der formale Potenzreihenring in $2n$ Variablen.
+Dann haben wir eine Einbettung
+\begin{align*}
+    \phi \colon A \otimes_k B &\to C\\
+    f \otimes g & \mapsto fg
+\end{align*}
+(siehe {}\cite[Proposition~3.1]{bardavid11aneffective}) und das Bild von $\mfr$ unter dieser Einbettung ist offensichtlich $(X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$.
+Desweiteren gilt $k[X_1, \ldots, X_n] \subset A$ und $k[Y_1, \ldots, Y_n] \subset B$ und da Polynomringe und formale Potenzreihenringe flach sind, haben wir eine Injektion
+\begin{equation*}
+    k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] \hookrightarrow A \otimes_k B \hookrightarrow C,
+\end{equation*}
+der offenbar dem Morphismus
+\begin{align*}
+    k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] &\to C \\
+    f \otimes g & \mapsto fg
+\end{align*}
+entspricht.
+Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$.
+Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, also folgt bereits
+\begin{equation*}
+    A \widehat{\otimes}_k B \cong C.
+\end{equation*}
+
+\begin{prop}
+    \label{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring}
+    Sei $k$ ein Körper und sei $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$, und sei $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. Sei $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
+    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
+    Dann gilt 
+    \begin{equation*}
+        \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A).
+    \end{equation*}
+    \begin{proof}
+        Sei $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
+        Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
+        Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
+        
+    \end{proof}
 \end{prop}
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index 757c325..9057e2c 100644
--- a/custom_commands.tex
+++ b/custom_commands.tex
@@ -13,6 +13,7 @@
 \newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}}
 \newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}}
 \newcommand{\mfr}{\mathfrak{r}}
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