From 5ae2f56b6ff179ca3d431eaeeb073949485ad85c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Thu, 7 Sep 2017 19:51:57 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Weiter=20mit=20vervollst=C3=A4ndigten=20Tensorp?= =?UTF-8?q?rodukten?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- bibliography.bib | 14 ++++- chapters/chapter4.tex | 119 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- custom_commands.tex | 1 + 3 files changed, 119 insertions(+), 15 deletions(-) diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib index 9341c18..0b5611b 100644 --- a/bibliography.bib +++ b/bibliography.bib @@ -41,9 +41,9 @@ } @book{bourbaki2006algebre, - title={Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4}, + title={Algèbre commutative}, + subtitle={Chapitres 1 à 4}, author={Bourbaki, Nicolas}, - series={Algèbre commutative}, year={2006}, publisher={Springer Berlin Heidelberg} } @@ -56,3 +56,13 @@ 23, and IV, 1), 24 (IV, 2–7), 28 (IV, 8–15), 32 ((IV, 16–21)}, journal={Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques} } + +@article{bardavid11aneffective, + title={An Effective Description of {$k[[X]] \otimes_k k[[Y]]$}}, + author={Bardavid, Colas}, + year={2011}, + volume={5}, + number={18}, + pages={873 - 882}, + journal={International Journal of Algebra}, +} diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex index cec61fc..34e0607 100644 --- a/chapters/chapter4.tex +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -257,25 +257,28 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukt \label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren. Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind. - Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). - Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind. - Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul. - Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$. + Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). + Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind. + Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul. + Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$. - Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch - \begin{equation} - \widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q). - \end{equation} - Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt} - \begin{equation} - M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q). - \end{equation} + Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch + \begin{equation} + \widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q). + \end{equation} + Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt} + \begin{equation} + M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q). + \end{equation} \end{defn} Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \begin{prop} \label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften} + Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren. + Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind. + Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). \begin{enumerate}[(a)] \item Es gilt \begin{equation} @@ -312,7 +315,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \end{equation*} Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul. Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$. - \item Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen + \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen \begin{align*} \cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\ &\to \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N) \\ @@ -322,6 +325,11 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \begin{equation*} \cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots. \end{equation*} + \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-requläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$. + Dann gilt für alle $i > n - r$: + \begin{equation*} + \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0 + \end{equation*} \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(a)] @@ -445,6 +453,91 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \Tor^k_{n}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N) \end{gather*} Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und mit {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA} folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist. + \item Wegen + \begin{equation*} + \widehat{\Tor}^k_i(M, N) = \varprojlim_{n}\widehat{\Tor}^k_i(M, N / \mfq^n N) + \end{equation*} + genügt es die Behuptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen. + Ist $i > n$, so gilt für alle $p,q \in \N$, dass $\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) = 0$, also auch $\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = 0$. + Dann liefert uns die kurze exakte Sequenz + \begin{equation*} + \label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1}\tag{$\ast$} + 0 \longrightarrow M \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} M \to M / a_1 M \to 0 + \end{equation*} + wegen \cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} die exakte Sequenz + \begin{equation*} + 0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_n(M, N). + \end{equation*} + Da $\length_k(N) < \infty$ wird die Kette + \begin{equation*} + N \supset a_1 N \supset a_1^2 N \supset \cdots + \end{equation*} + stationär, das heißt es gibt ein $n_0 \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n \ge n_0$ gilt: + \begin{equation*} + a_1^n N = a_1^{n+1} N + \end{equation*} + Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, folgt mit dem Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$. + Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft. + Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein $0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)$ mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$, also ist $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$. + Dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$. + + Im Fall $r > 1$ ist $\lbrace a_2, \ldots, a_r \rbrace$ eine $(M / a_1)$-Folge der Länge $r - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung angewendet auf $M / a_1$ folgt $\widehat{\Tor}^k_i(M / a_1, N)$ = 0 für alle $i > n - (r - 1)$. + Wir erhalten also aus \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1} die exakte Sequenz + \begin{equation*} + 0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) + \end{equation*} + und mit dem gleichen Argument wie oben folgt $\widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) = 0$. \end{enumerate} \end{proof} +\end{prop} + +\begin{bem} + \label{bem:} + Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ bestehn. + Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch. +\end{bem} + +Wir untersuchen nun den für uns wichtigsten Fall, nämlich dass $k$ ein Körper ist,$A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. +In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) = 0$ für $i > 0$, denn denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$. +Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$ ist, wobei +\begin{equation*} + \mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n). +\end{equation*} +Sei nun $C = k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ der formale Potenzreihenring in $2n$ Variablen. +Dann haben wir eine Einbettung +\begin{align*} + \phi \colon A \otimes_k B &\to C\\ + f \otimes g & \mapsto fg +\end{align*} +(siehe {}\cite[Proposition~3.1]{bardavid11aneffective}) und das Bild von $\mfr$ unter dieser Einbettung ist offensichtlich $(X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$. +Desweiteren gilt $k[X_1, \ldots, X_n] \subset A$ und $k[Y_1, \ldots, Y_n] \subset B$ und da Polynomringe und formale Potenzreihenringe flach sind, haben wir eine Injektion +\begin{equation*} + k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] \hookrightarrow A \otimes_k B \hookrightarrow C, +\end{equation*} +der offenbar dem Morphismus +\begin{align*} + k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] &\to C \\ + f \otimes g & \mapsto fg +\end{align*} +entspricht. +Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$. +Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, also folgt bereits +\begin{equation*} + A \widehat{\otimes}_k B \cong C. +\end{equation*} + +\begin{prop} + \label{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring} + Sei $k$ ein Körper und sei $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$, und sei $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. Sei $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen. + Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). + Dann gilt + \begin{equation*} + \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A). + \end{equation*} + \begin{proof} + Sei $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$). + Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus. + Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$. + + \end{proof} \end{prop} \ No newline at end of file diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index 757c325..9057e2c 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -13,6 +13,7 @@ \newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}} \newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}} \newcommand{\mfr}{\mathfrak{r}} +\newcommand{\mfs}{\mathfrak{s}} \newcommand{\mfP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\mfQ}{\mathfrak{Q}}