diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index 110e1c5..785a739 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -15,6 +15,7 @@ \bibliography{bibliography} \usepackage{cleveref} \usepackage{bm} + \usepackage{tikz-cd} \input{theorem_environments} \input{custom_commands} @@ -28,6 +29,7 @@ \include{chapters/chapter1} \include{chapters/chapter2} \include{chapters/chapter3} +\include{chapters/chapter4} \printbibliography diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index ba4da1a..fdde441 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -522,7 +522,11 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M \begin{kor} \label{kor:euler-poincare-charakteristik-koszul-komplex-dminesion} - Es gilt $\chi(\bmx, M) > 0$, falls $\dim(M) = r$ und $\chi(\bmx, M) = 0$, falls $\dim(M) < r$. + Es gilt $\dim(M) \le r$. Weiter gilt: + \begin{align*} + \chi(\bmx, M) &> 0, \qquad \text{falls } \dim(M) = r \\ + \chi(\bmx, M) &= 0, \qquad \text{falls } \dim(M) < r + \end{align*} \begin{proof} Dies folgt direkt aus \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}. \end{proof} diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex new file mode 100644 index 0000000..67097b7 --- /dev/null +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -0,0 +1,153 @@ +\chapter{Multiplizitäten} +\label{cha:multiplizitaeten} + +\section{Reduktion auf die Diagonale} +\label{sec:reduktion-auf-die-diagonale} + +Im Folgenden wollen wir das Verfahren der \emph{Reduktion auf die Diagonale} einführen. + +Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebraische Menge $V \cap W = V(I(V) + I(W))$ im allgemeinen nicht irreduzibel. Deswegen interessieren wir uns im Folgenden für eine irreduzible Komponente davon. + +\begin{prop} + \label{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} + Sei $k$ ein Körper. + Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$ und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, dann gilt + \begin{equation*} + \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W). + \end{equation*} + Oder in algebraischer Sprache ausgedrückt: + Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein Minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt + \begin{equation*} + \height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp''). + \end{equation*} +\end{prop} + +Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: + +\begin{lem} + \label{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} + Sei $A$ ein Ring und $\mfp$ ein minimales Primideal von $A$. + Dann sind alle Elemente von $\mfp$ Nullteiler in $A$. + \begin{proof} + Ist $R = 0$, so ist die Aussage trivial, sei also im Folgenden $R \neq 0$. + Ist $B \subset A$, so bezeichnen wir das Komplement von $B$ in $A$ mit $\overline{B}$. + Sei $\mcZ(A)$ die Menge der Nullteiler von $A$ und sei $S$ die multiplikative Menge $\overline{\mfp} \cdot \overline{\mcZ(A)}$. + Es gilt $0 \notin S$, denn sonst wäre $0 = ab$ mit $a \in \overline{\mfp}$ und $b \in \overline{\mcZ(A)}$. + Dann gilt aber $b \in \mcZ(A)$ im Widerspruch zu $b \in \overline{\mcZ(A)}$. + Demnach gilt $R_S \neq 0$ und es gibt ein Primideal $\mfq'$ von $R_S$. + Dieses entspricht einem Primideal $\mfq$ von $R$ mit $\mfq \cap S = \emptyset$, also $\mfq \subset \overline{S}$. + Wegen $R \neq 0$ gilt $1 \notin \mcZ(A)$ und da $\mfp$ prim ist, gilt $1 \notin \mfp$. + Es folgt $S \supset \overline{\mfp} \cup \overline{\mcZ(A)}$ und damit $\overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A)$. + Insgemsamt erhalten wir also + \begin{equation*} + \mfq \subset \overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A). + \end{equation*} + Da $\mfp$ aber ein minimales Primideal ist, gilt bereits + \begin{equation*} + \mfp = \mfq \subset \mcZ(A). + \end{equation*} + \end{proof} +\end{lem} + +\begin{lem} + \label{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal} + Seien $A'$ und $A''$ integre endlich erzeugte $k$-Algebren. + Für jedes minimale Primideal $\mfp$ von $A' \otimes_k A''$ gilt dann + \begin{equation*} + \dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) = \dim(A' \otimes_k A'') = \dim(A') + \dim(A''). + \end{equation*} + \begin{proof} + Nach dem noetherschen Normalisierungssatz gibt es $B' = k[X_1, \ldots, X_n]$ und $B'' = k[Y_1, \ldots, Y_m]$ mit der Eigenschaft, $A'$ ganz über $B'$ und $A''$ ganz über $B''$ sind. + Nach dem Going Up Theorem gilt dann $\dim(A') = \dim(B')$ und $\dim(A'') = \dim(B'')$. Weiter gilt + \begin{equation*} + B' \otimes_k B'' = k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_m] \cong k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m], + \end{equation*} + \begin{equation*} + \dim(B' \otimes_k B'') = n + m = \dim(B') + \dim(B''). + \end{equation*} + Ist $a \in A'$, so gibt es eine Ganzheitsgleichung + \begin{equation*} + a^r + \alpha_{r - 1} a^{r - 1} + \cdots + \alpha_1 a + \alpha_0 = 0 + \end{equation*} + mit gewissen $\alpha_i \in B'$. + Ist nun $b \in A''$, dann gilt + \begin{align*} + & {(a \otimes b)}^r + {(\alpha_{r - 1} \otimes b)(a \otimes b)}^{r - 1} + \cdots + (\alpha_1 \otimes b^{r - 1})(a \otimes b) + \alpha_0 \otimes b^r \\ + =& (a^r + \alpha_{r - 1} a^{r - 1} + \cdots + \alpha_1 a + \alpha_0) \otimes b^r = 0. + \end{align*} + Also ist $a \otimes b$ ganz über $B' \otimes_k A''$. + Da alle Elemente aus $A' \otimes_k A''$ Summen von Elementen der Form $a \otimes b$ sind, ist folglich $A' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k A''$. + Das gleiche Argument zeigt nun, dass $B' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k B''$ ist und wegen der Transitivität der Ganzheit folgt, dass $A' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k B''$ ist. + + Seien nun $K', K'', L', L''$ jeweils die Quotientenkörper von $A', A'', B', B''$. + Dann haben wir folgendes kommutative Diagramm von Injektionen: + \begin{center} + \begin{tikzcd} + 0 \ar[r] & L' \otimes_k L'' \ar[r] &K' \otimes_k K'' \\ + 0 \ar[r] & B' \otimes_k B'' \ar[u] \ar[r] & A' \otimes_k A'' \ar[u] \\ + & 0 \ar[u] & 0 \ar[u] + \end{tikzcd} + \end{center} + Da $K'$ ist als $L'$-Vektorraum frei über $L'$ und $K''$ ist als $L''$-Vektorraum frei über $L''$. + Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, ist also $K' \otimes_k K''$ frei über $L' \otimes_k L''$. + Insbesondere ist $K' \otimes_k K''$ ein torsionsfreier $B' \otimes_k B''$-Modul. + Betrachte nun $x \in \mfp \cap B' \otimes_k B''$. + Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$, also gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$. + Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei. + Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$. + Das Going Up Theorem liefert uns nun + \begin{align*} + \dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) &= \dim(B' \otimes_k B'') \\ + &= \dim(B') + \dim(B'')\\ + &= \dim(A') + \dim(A''). + \end{align*} + \end{proof} +\end{lem} + +\begin{lem} + \label{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} + Sei $k$ ein Körper und $A$ eine $k$-Algebra. + Sei außerdem $C = A \otimes_k A$ und sei $\phi \colon C \to A$ der durch $\phi(a \otimes b) = ab$ definierte Homomorphismus. Dann gilt: + \begin{enumerate}[(a)] + \item Der Kern $\mfd$ von $\phi$ ist das Ideal von $C$, das von den Elementen der Form + \begin{equation*} + 1 \otimes a - a \otimes 1, \qquad a \in A + \end{equation*} + erzeugt wird. + \item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$. + \end{enumerate} + \begin{proof} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist. + Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$. + Dann gilt: + \begin{align*} + - \sum_{i = 1}^n (1 \otimes a_i - a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1 - 1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\ + &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) - (1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\ + &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i - 1 \otimes a_i b_i \\ + &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i + \end{align*} + Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $a_i \otimes b_i$ erzeugten Ideal enthalten. + \item Sind $a' \in \mfp'$ und $a'' \in \mfp''$, so gilt \begin{equation*} + \phi(a' \otimes 1 + 1 \otimes a'') = \phi(a' \otimes 1) + \phi(1 \otimes a'') = a' + a''. + \end{equation*} + Es folgt also + \begin{equation*} + \phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \supset \mfp' + \mfp''. + \end{equation*} + Sind umgekehrt $a' = \sum_{i = 1}^n a_i' \otimes b_i' \in \mfp' \otimes_k A$ und $a'' = \sum_{i = 1}^m b_i'' \otimes a_i'' \in A \otimes_k \mfp''$, so gilt + \begin{equation*} + \phi(a' + a'') = \phi\left(\sum_{i = 1}^n a_i' \otimes b_i' + \sum_{i = 1}^m b_i'' \otimes a_i''\right) = \underbrace{\sum_{i = 1}^n a_i' b_i'}_{\in \mfp'} + \underbrace{\sum_{i = 1}^m b_i'' a_i'}_{\in \mfp''} \in \mfp' + \mfp''. + \end{equation*} + Es folgt also auch + \begin{equation*} + \phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \subset \mfp' + \mfp''. + \end{equation*} + \end{enumerate} + \end{proof} +\end{lem} + +Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} beweisen: +\begin{proof}[Beweis von \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}] + +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index ae3ae0c..6a0004a 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -1,3 +1,4 @@ +\newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} @@ -6,23 +7,29 @@ \newcommand{\mfa}{\mathfrak{a}} \newcommand{\mfb}{\mathfrak{b}} +\newcommand{\mfd}{\mathfrak{d}} \newcommand{\mfm}{\mathfrak{m}} \newcommand{\mfn}{\mathfrak{n}} \newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}} \newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}} +\newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}} + \newcommand{\bmi}{\bm{i}} \newcommand{\bmx}{\bm{x}} \newcommand{\bmy}{\bm{y}} \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} \DeclareMathOperator{\Ch}{Ch} +\DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \DeclareMathOperator{\gr}{gr} +\DeclareMathOperator{\height}{ht} \DeclareMathOperator{\map}{map} \DeclareMathOperator{\Mod}{Mod} \DeclareMathOperator{\Rad}{Rad} +\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp} \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}