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-\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc, draft=true]{scrreprt}
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 \begin{document}
-
+\frontmatter
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+
+\mainmatter
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-\chapter{Einleitung}
-\label{cha:einleitung}
+\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
+\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
 
-Die Schnitmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
-Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Besipiel {}\cite{fulton1998intersection}).
+In diesem Kapitel wollen Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen.
+Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen.
 
-Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
-Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
+\section{Ganzzahlige Polynome}
+\label{sec:ganzzahlige-polynome}
 
-\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Pierre Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt bezüglich eines endlich erzeugten Moduls, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
-Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet.
-Als Ergebnis erhalten wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht.
+\begin{defn}[Binomialpolynom]
+	\label{defn:binomialpolynom}
+	Für $k \in \N$ definieren wir das \textbf{$\bm{k}$-te Binomialpolynom} durch
+	\begin{equation*}
+		Q_k(X) = \binom{X}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i = 1}^k (X - k + i) \in \Q[X].
+	\end{equation*}
+	Offensichtlich bilden die Binomialpolynome eine $\Q$-Basis von $\Q[X]$.
+\end{defn}
 
-Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein.
-Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann.
-Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls $M$. Dabei muss $\mfq$ im Maximalideal von $A$ enthalten sein und die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen.
-In diesem Fall gilt dann
+\begin{defn}[Differenzenoperator]
+	\label{defn:differenzenoperator}
+	Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ mit der Eigenschaft 
+	\begin{equation*}
+		n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
+	\end{equation*}
+	Dann definieren wir den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
+	\begin{align*}
+		\Delta\colon \map(A,Z) &\to \map(A,Z)\\
+		f &\mapsto (\Delta f \colon A \to Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
+	\end{align*}
+	Offensichtlich ist $\Delta$ ein Homomorphismus abelscher Gruppen.
+\end{defn}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
+	Sei $Z$ eine abelsche Gruppe, $A\subset \Q$ mit der Eigenschaft
+	\begin{equation*}
+		n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A
+	\end{equation*}
+	und $f\colon A \to Z$ eine Abbildung.
+	Sind $n \in \Q$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
+	\begin{equation*}
+		\Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+	\end{equation*}
+	\begin{proof}
+		Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
+		\begin{equation*}
+			\Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+		\end{equation*}
+		Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
+		\begin{align*}
+			\Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
+			&= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r - 1))\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1)  - p)\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
+			&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
+		\end{align*}
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:differenzenoperator-binomialpolynom}
+	Für $k \in \N$ mit $k > 0$ gilt
+	\begin{equation*}
+		\Delta Q_k = Q_{k - 1}.
+	\end{equation*}
+	\begin{proof}
+		Es gilt
+		\begin{equation*}
+			\Delta Q_k(n) = Q_k(n + 1) - Q_k(n) = \binom{n + 1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k - 1} = Q_{k - 1}(n).
+		\end{equation*}
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{deflem}[Ganzzahliges Polynom]
+	\label{deflem:ganzzahliges-polynom}
+	Ein Polynom $f \in \Q[X]$ heißt \textbf{ganzzahlig}, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
+	\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+		\item $f$ ist eine $\Z$-Linearkombination von Binomialpolynomen $Q_k$.
+		\item Für alle $z \in \Z$ gilt $f(z) \in \Z$.
+		\item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \ge z_0$.
+		\item $\Delta f$ besitzt die Eigenschaft aus (a) und es gibt mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$.
+	\end{enumerate}
+	Ist $f$ solch ein Polynom, dann bezeichnen wir mit $e_k(f)$ den Koeffizienten von $Q_k$ in der Darstellung $f = \sum_{n \in \N} e_k Q_k$.
+	\begin{proof}[Beweis der Äquivalenz]
+		Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar.
+
+		Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$.
+		Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und $\Delta f$ (a) erfüllt, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$.
+		Da es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$.
+		Also sind (a) und (d) äquivalent.
+		
+		Um die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) zu zeigen, nutzen wir Induktion über den Grad von $f$.
+		Ist $f$ vom Grad $0$, so ist $f$ konstant und wegen (c) gilt dann $f \in \Z$ und damit (a).
+		Sei also nun $f$ vom Grad $d > 0$ und die Behauptung wahr für Polynome vom Grad $< d$.
+		Offensichtlich gilt $\deg \Delta f < \deg f$ und auch $\Delta f$ erfüllt (c).
+		Also erfüllt $\Delta f$ (a) und damit erfüllt $f$ (d).
+	\end{proof}
+\end{deflem}
+
+Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt für $k > 0$ offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$.
+Insbesondere ist $e_k(f)$ für $\deg(f) \le k$ das konstante Polynom $\Delta^k f$ und es gilt
 \begin{equation*}
-    \tag{$\ast$}\label{eq:einleitung-samuel-koszul}
-    e_\mfq(M, r) = \sum_{i = 0}^r \length_A(H_i(\bmx, M)),
+	f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(x),
 \end{equation*}
-wobei die $H_i(\bmx, M)$ die Homologiemoduln des zu $M$ und $\bmx$ gehörigem Koszul-Komplexes sind.
-
-In \cref{cha:multiplizitaeten} soll nun die $\Tor$-Formel untersucht werden.
-Dazu werden zunächst die \emph{Gruppe der Zykel} eines Rings und die Multiplizität eines Moduls eingeführt.
-
-Die \emph{Reduktion auf die Diagonale} stellt für fast alle folgenden Ergebnisse ein sehr wichtiges Prinzip dar, deswegen wird sie beispielhaft im Fall affiner irreduzibler Varietäten erläutert.
-Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \enquote{Dimensionsformel} der algebraischen Geometrie gezeigt: Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten eines affinen Raums und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, so gilt
+wobei $g(x) \in \Q[X]$ mit $\deg(g) < k$.
+Ist $\deg(f) = k$, so gilt
 \begin{equation*}
-    \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
+	f(n) \sim e_k(f) \frac{n^k}{k!}	\qquad \text{für } n \to \infty.
+\end{equation*}
+Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sodass $f(z) > 0$ für alle $z \ge z_0$ gilt.
+
+\section{Polynomartige Funktionen}
+\label{sec:polynomartige-funktionen}
+
+Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
+\begin{equation*}
+	n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
 \end{equation*}
 
-Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\widehat{\otimes}$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt: 
-\begin{equation*}
-    \tag{$\ast\ast$}\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen}
-    \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A),
-\end{equation*}
-wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
+\begin{defn}[Polynomartige Funktion]
+	\label{defn:polynomartige-funktionen}
+	Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
+	Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
+	Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig.
+	Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$.
+\end{defn}
 
-Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
+	Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
+	\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+		\item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
+		\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
+		\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
+	\end{enumerate}
+	\begin{proof}
+		Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) sind klar.
+
+		Sei also nun (b) wahr.
+		Sei $R = \sum_{k \in \N} e_k(P_{\Delta f}) Q_{k+1}$, dann ist $R$ vom Grad $\le r$ und es gilt $\Delta R = P_{\Delta f}$.
+		Betrachte die Abbildung $g \colon A \to \Z,\, z \mapsto f(z) - R(z)$.
+		Für $z$ groß genug gilt dann:
+		\begin{equation*}
+			\Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0
+		\end{equation*}
+		Das bedeutet, für $z$ groß genug ist $g(z) = e_0 \in \Z$ und es folgt $f(z) = R(n) + e_0$ für $z$ groß genug.
+		Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$.
+
+		Die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) folgt durch Induktion über $r$ und Verwendung der Implikation (b) $\Rightarrow$ (a).
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+\section{Das Hilbert-Polynom}
+\label{sec:das-hilbert-polynom}
+
+Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
 \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-    \item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
-    \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
-    \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
+	\item $H_0$ ist artinsch.
+	\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.  
 \end{enumerate}
-Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lokale Ringe gleicher Charakteristik kann man dieses Theorem nun auch auf den Fall verallgemeinern, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist.
-Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist.
-\cref{sec:Ausblick} gibt einen kurzen Überblick darüber, welche Resultate in diesem Zusammenhang bereits beweisen wurden.
+Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist.
+Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
 
-Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen geometrie, denn is $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik.
-
-Seien $U$ und $V$ irreduzible Untervarietäten von $X$ und $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$, in der sich $U$ ind $V$ eigentlich schneiden, das heißt
+Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
+$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
+Nun gilt aber $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul.
+Es gilt $\bigoplus_{n \ge 1} H_n \subset \Ann(M_{\ge n}/M_{\ge_{n+1}})$, also haben wir folgende Surjektion:
 \begin{equation*}
-    \dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W).
+	H_0 \cong H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \twoheadrightarrow H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) \cong H/\Ann(M_n).
 \end{equation*}
-Seien außerdem $A$, $A_U$ und $A_V$ die lokalen Ringe von $X$, $U$ und $V$ bei $W$.
-Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, dann gilt
-\begin{equation*}
-    \tag{$\ast\ast\ast$}\label{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet}
-    i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W).
-\end{equation*}
-Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen.
-Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnittheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
+Folglich ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch.
+Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
+\begin{align*}
+	\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
+	n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
+\end{align*}
+Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
 
-Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren.
-So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.
+\begin{thm}[Hilbert]
+	\label{thm:hilbert-polynomial}
+	Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
+	\begin{proof}
+		Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
+		
+		Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
+		
+		Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge.
+		Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-\infty < -1$.
+		
+		Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde.
+		Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$.
+		Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die folgenden exakten Sequenzen:
+		\begin{equation*}
+			0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
+		\end{equation*}
+		Es folgt
+		\begin{equation*}
+			\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
+		\end{equation*}
+		Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten.
+		Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$.
+		Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
+	\end{proof}
+\end{thm}
+
+\begin{nota}
+	\label{nota:hilbert-polynomial}
+	Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet.
+	Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$.
+	Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
+\end{nota}
+
+\section{Das Samuel-Polynom}
+\label{sec:das-samuel-polynom}
+Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul.
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
+	Es gilt $\length_A(M) < \infty$ genau dann, wenn alle Elemente in $\Supp(M)$ maximale Ideale sind.
+	\begin{proof}
+		{}\cite[Corollary~2.17]{eisenbud2004commutative}.
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+Sei nun $\mfq$ ein Ideal von $A$.
+Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
+Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
+\begin{equation}
+	\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
+	\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
+\end{equation}
+Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} äquivalent zu:
+\begin{equation}
+	\label{eq:elemente-in-supp}
+	\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
+\end{equation}
+
+
+Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $M$, das heißt
+\begin{align*}
+	&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
+	&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
+	&M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
+\end{align*}
+Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$.
+Demnach ist die Abbildung
+\begin{align*}
+	f_M \colon \N &\to \N \\
+	n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
+\end{align*}
+wohldefiniert.
+
+\begin{thm}[Samuel]
+	\label{thm:samuel-polynom}
+	Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
+	\begin{proof}
+		Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen:
+		Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $\mfq$ in $A'$.
+		Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung auf $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
+		
+		Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch.
+		Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
+		\begin{equation*}
+			H = \gr(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
+		\end{equation*}
+		wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
+		Weiter ist
+		\begin{equation*}
+			\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
+		\end{equation*}
+		ein graduierte $H$-Modul.
+		Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
+		\begin{equation*}
+			M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
+		\end{equation*}
+		erzeugt.
+		Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch.
+		Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul.
+		Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul.
+		Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
+		Es gilt
+		\begin{align*}
+			\Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
+			 &= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
+			 &= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\
+			 &= \chi(\gr(M), n),
+		\end{align*}
+		also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist $f_M$ dann polynomartig vom Grad $\le r$.
+	\end{proof}
+\end{thm}
+
+\begin{bem}
+	\label{bem:samuel-polynom}
+	Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wird im Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet.
+	Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$.
+	Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} zeigt
+	\begin{equation}
+		\label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
+		\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
+	\end{equation}
+	wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
+	
+	Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$.
+	Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
+\end{bem}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch}
+	Es gilt \begin{equation*}
+		P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
+	\end{equation*}
+	wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
+	\begin{proof}
+		Sei  $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$.
+		Für alle $n \ge 0$ gilt dann 
+		\begin{equation*}
+			\mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
+		\end{equation*}
+		also gilt für große $n$:
+		\begin{equation*}
+			P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
+		\end{equation*}
+		Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben.
+		Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{prop}
+	\label{prop:samuel-polynom-additivitaet}
+	Ist
+	\begin{equation*}
+		0 \to N \to M \to P \to 0
+	\end{equation*}
+	eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt
+	\begin{equation*}
+		P_\mfq(M) = P_\mfq(N) + P_\mfq(P) - R,
+	\end{equation*}
+	wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ ist, dessen führender Koeffizient $\ge 0$ ist.
+	\begin{proof}
+		Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$.
+		Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
+		\begin{equation*}
+			0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0.
+		\end{equation*}
+		Demnach gilt für alle $n \ge 0$
+		\begin{equation*}
+			\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(N / N_n) + \length_A(P / \mfq^n P),
+		\end{equation*}
+		also
+		\begin{equation*}
+			P_\mfq(M) = P_\mfq((N_i)) + P_\mfq(P).
+		\end{equation*}
+		Nach \cref{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch} gilt
+		\begin{equation*}
+			P((N_i)) = P_\mfq(N) + R,
+		\end{equation*}
+		wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ ist, dessen führender Koeffizient $\ge 0$ ist.
+		Dies zeigt die Behauptung.
+	\end{proof} 
+\end{prop}
+
+\begin{nota}
+	\label{nota:samuel-polynom-koeffizient}
+	Ist $d$ eine ganze Zahl $\ge \deg(P_\mfq(M))$, dann bezeichnen wir mit $e_\mfq(M, d)$ die ganze Zahl $\Delta^d P_\mfq(M)$.
+	Es gilt:
+	\begin{align*}
+		e_\mfq(M, d) &= 0 \qquad \text{falls } d > \deg(P_\mfq(M)) \\
+		e_\mfq(M, d) &\ge 1 \qquad \text{falls } d = \deg(P_\mfq(M))
+	\end{align*}
+	Ist $d = \deg(P_\mfq(M))$, so gilt außerdem
+	\begin{equation}
+		P_\mfq(M, n) \sim e_\mfq(M, d) \frac{n^d}{d!}	\qquad \text{für } n \to \infty.
+	\end{equation}
+\end{nota}
+
+\begin{kor}
+	\label{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet}
+	Ist
+	\begin{equation*}
+		0 \to N \to M \to P \to 0
+	\end{equation*}
+	eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt für $d \ge \deg(P_\mfq(M))$:
+	\begin{equation*}
+		e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + e_\mfq(P, d)
+	\end{equation*}
+	\begin{proof}
+		Dies folgt unmittelbar aus \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}.
+	\end{proof}
+\end{kor}
+
+\begin{prop}
+	\label{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
+	Sind $\mfq, \mfq'$ Ideale von $A$ mit $\length_A(M/\mfq M) < \infty$ und $\length_A(M/\mfq' M) <~\infty$ und gilt zusätzlich
+	\begin{equation*}
+		\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M) \cap V(\mfq'),
+	\end{equation*}
+	dann gilt
+	\begin{equation*}
+		\deg(P_\mfq(M)) = \deg(P_{\mfq'}(M)).
+	\end{equation*}
+	\begin{proof}
+		Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} können wir $\Ann(M) = 0$ annehmen, also gilt
+		\begin{equation*}
+			V(\mfq) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\} = V(\mfq'),
+		\end{equation*}
+		wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind.
+		Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$.
+		Für große $n$ gilt demnach
+		\begin{equation*}
+			P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
+		\end{equation*}
+		und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$.
+		Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
+	\end{proof}
+\end{prop}
+
+\section{Dimensionstheorie noetherscher lokaler Ringe}
+\label{sec:dimensionstheorie-noetherscher-lokaler-ringe}
+
+Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
+Sei außerdem $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq \subset \mfm$ ein Ideal in $A$ mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
+
+Wir bezeichnen mit $d(M)$ den Grad von $P_\mfq(M)$.
+Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigenschaften, denn ist $\mfq'$ ein weiteres solches Polynom, dann gilt nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
+\begin{equation*}
+	\Supp(M) \cap V(\mfq') = \Supp(M / \mfq' M) = \lbrace \mfm \rbrace = \Supp(M / \mfq M) = \Supp(M) \cap V(\mfq).
+\end{equation*}
+Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
+
+Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist.
+
+Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen.
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:d-kleinergleich-s}
+	Es gilt $d(M) \le s(M)$.
+	\begin{proof}
+		Nach der Definition von $s(M)$ gibt es ein Ideal $\mfa \subset \mfm$ von $A$, das von $s(M)$ Elementen erzeugt wird, mit $\length_A(M / \mfa M) < \infty$.
+		Demnach gilt
+		\begin{equation*}
+			d(M) = \deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfa}(M)	
+		\end{equation*}
+		und nach \cref{thm:samuel-polynom} folgt $d(M) \le s(M)$.
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:dim-kleinergleich-d}
+	Es gilt $\dim(M) \le d(M)$.
+	\begin{proof}
+		Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über $d(M)$.
+
+		Im Fall $d(M) = 0$ ist $P_\mfq(M)$ konstant.
+		Es gibt ein $k \in \N$, mit der Eingeschaft, dass $P_\mfq(M, n) = \length_A(M / \mfq^n M)$ für alle $n \ge k $ gilt, also gilt $\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(M / \mfq^{n + 1} M)$ für alle $n \ge k$.
+		Betrachte nun folgende kurze exakte Sequenz:
+		\begin{equation*}
+			0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0
+		\end{equation*}
+		Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, folgt also $\length_A(\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M) =~0$ und damit $\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M = 0$, also $\mfq^n M \cong \mfq^{n + 1} M$.
+		Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt nach dem Nakayama Lemma $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$.
+		Sei nun $\mfp \in \Supp(M)$, dann gilt $\mfp \supset \Ann_A(M) \supset \mfq^k$.
+		Da $\mfp$ prim ist, folgt $\mfp \supset \mfq$ und damit $\mfp \in \Supp(M / \mfq M)$.
+		Nach Voraussetzung ist aber $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also, dass $\mfp$ maximal ist.
+		Demnach sind alle Primideale von $A/\Ann_A(M)$ maximal und folglich gilt
+		\begin{equation*}
+			\dim(M) = \dim(A/\Ann_A(M)) = 0.
+		\end{equation*}
+		
+		Sei nun also $d(M) = n \ge 1$ und die Behauptung bereits für $n - 1$ gezeigt.
+		Sei nun $\mfp_0 \in \Supp(M)$ minimal mit $\dim(M) = \dim(A/\mfp_0)$.
+		Dann gibt es einen Untermodul $N$ von $M$ mit $N \cong A/\mfp_0$ (siehe {}\cite[Chapter~I, Theorem~1]{serre2000local}).
+		Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}
+		gilt dann $d(N) \le d(M)$, wir können also $M = A / \mfp_0$ annehmen.
+		Angenommen es gilt $\dim(M) > d(M)$.
+		Dann gibt es eine echt aufsteigende Kette von Primidealen
+		\begin{equation*}
+			\mfp_0 \subsetneq \mfp_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mfp_k
+		\end{equation*}
+		mit $k > d(M)$.
+		Sei $x \in \mfp_1 \setminus \mfp_0$, dann gilt
+		\begin{equation*}
+			\dim(M / xM) \ge k - 1 > d(M) - 1.
+		\end{equation*}
+		Betrachte nun den Homomorphismus
+		\begin{equation*}
+			\cdot x \colon M \to M,\, m \mapsto xm.
+		\end{equation*}
+		Da $\mfp_0$ prim ist, ist $M = A / \mfp_0$ ein Integritätsring und damit ist $\cdot x$ injektiv.
+		Somit erhalten wir folgende kurze exakte Sequenz:
+		\begin{equation*}
+			0 \to M \overset{\cdot x} \to M \to M / xM \to 0 
+		\end{equation*}
+		Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
+		\begin{equation*}
+			d(M) - 1 < \dim(M / xM) \le d(M / xM) \le d(M) - 1.
+		\end{equation*}
+		Dies ist ein Widerspruch, also muss bereits $\dim(M) \le d(M)$ gelten.
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:s-kleinergleich-dim}
+	Es gilt $s(M) \le \dim(M)$.
+	\begin{proof}
+		Wir benutzen Induktion über $ n = \dim(M)$ (nach \cref{lem:dim-kleinergleich-d} wissen wir, dass $\dim(M) < \infty$ gilt).
+
+		Im Fall $n = 0$ gilt $\dim(A / \mfp) = 0$ für alle $\mfp \in \Supp(M)$.
+		Folglich sind alle $\mfp \in \Supp(M)$ maximale Ideale und damit ist $M$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} von endlicher Länge. Wir erhalten also $s(M) = 0$.
+
+		Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt.
+		Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}).
+		Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und nach dem \emph{Lemma zur Vermeidung von Primidealen} können wir $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}).
+		Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$.
+		Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
+		\begin{equation*}
+			s(M) - 1 \le s(M / xM) \le \dim(M / xM) \le \dim(M) - 1.  
+		\end{equation*}
+		Folglich gilt $s(M) \le \dim(M)$.
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{thm}
+	\label{thm:dim-gleich-d-gleich-s}
+	Es gilt $\dim(M) = d(M) = s(M)$.
+	\begin{proof}
+		Dies folgt aus {}\cref{lem:d-kleinergleich-s,lem:dim-kleinergleich-d,lem:s-kleinergleich-dim}.
+	\end{proof}
+\end{thm}
diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex
index 8ee6943..cabf6ba 100644
--- a/chapters/chapter2.tex
+++ b/chapters/chapter2.tex
@@ -1,527 +1,553 @@
 % -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
 
-\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
-\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
+\chapter{Der Koszul-Komplex}
+\label{cha:der-koszul-komplex}
 
-In diesem Kapitel wollen Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Moduls bezüglich eines Ideal einführen.
-Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen.
+Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe.
+Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglich Samuel’s Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Chaakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
 
-\section{Ganzzahlige Polynome}
-\label{sec:ganzzahlige-polynome}
+Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 
-\begin{defn}[Binomialpolynom]
-	\label{defn:binomialpolynom}
-	Für $k \in \N$ definieren wir das \textbf{$\bm{k}$-te Binomialpolynom} durch
-	\begin{equation*}
-		Q_k(X) = \binom{X}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i = 1}^k (X - k + i) \in \Q[X].
-	\end{equation*}
-	Offensichtlich bilden die Binomialpolynome eine $\Q$-Basis von $\Q[X]$.
-\end{defn}
+\section{Der einfache Fall}
+\label{sec:der-einfache-fall}
 
-\begin{defn}[Differenzenoperator]
-	\label{defn:differenzenoperator}
-	Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ mit der Eigenschaft 
-	\begin{equation*}
-		n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
-	\end{equation*}
-	Dann definieren wir den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
+\begin{defn}
+	\label{defn:koszul-komplex-einfach}
+	Ist $x \in A$, so bezeichnen wir mit $K(x)$ folgenden Komplex:
 	\begin{align*}
-		\Delta\colon \map(A,Z) &\to \map(A,Z)\\
-		f &\mapsto (\Delta f \colon A \to Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
+		K_i(x) &= 0 \qquad \text{für } i \ne 0,1 \\
+		K_1(x) &= A \\
+		K_0(x) &= A \\
+		\text{Die Abbildung} \qquad d\colon K_1(x) &\to K_0(x) \qquad \text{ist die Multiplikation mit } x
+    \end{align*}
+    Aus Notationsgründen bezeichnen wir $1\in K_1(x)$ euch mit $e_x$.
+
+	Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$.
+	Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H_i(x, M)$.
+	Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt:
+	\begin{align*}
+		{K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\
+		{K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M, \\
+		{K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M, \\
+	\end{align*}
+	und die Randabbildung
+	\begin{equation*}
+		d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0
+	\end{equation*}
+	ist durch die folgende Formel gegeben:
+	\begin{equation*}
+		d(e_x \otimes m) = xm \qquad m \in M
+	\end{equation*}
+	Die Homologie-Moduln von $K(x,M)$ sind
+	\begin{align*}
+		H_i(x,M) &= 0 \qquad \text{falls } i \ne 0,1, \\
+		H_0(x,M) &= M/xM, \\
+		H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M).
 	\end{align*}
-	Offensichtlich ist $\Delta$ ein Homomorphismus abelscher Gruppen.
 \end{defn}
 
-\begin{lem}
-	\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
-	Sei $Z$ eine abelsche Gruppe, $A\subset \Q$ induktiv und $f\colon A \to Z$ eine Abbildung.
-	Sind $n \in \Q$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
+\begin{prop}[Künneth-Formel für Koszul-Komplexe]
+	\label{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe}
+	Sei $x \in A$ und $L$ ein Komplex von $A$-Moduln.
+	Dann ist für jedes $p \ge 0$ die Sequenz
 	\begin{equation*}
-		\Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+		0 \to H_0(x,H_p(L)) \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to H_1(x, H_{p - 1}(L)) \to 0
 	\end{equation*}
+	exakt.
 	\begin{proof}
-		Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
+		Die natürliche Einbettung $A \to K(x)$ liefert eine Einbettung von Komplexen
 		\begin{equation*}
-			\Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+			L = A \otimes_A L \to K(x) \otimes_A L.
+		\end{equation*}
+		Außerdem erhalten wir durch die natürliche Projektion $K(x) \to K_1(x) = A$ einen Epimorphismus von Komplexen
+		\begin{equation*}
+			K(x) \otimes_A L \to L[-1],
+		\end{equation*}
+		der uns insgesamt die kurze exakte Sequenz
+		\begin{equation*}
+			0 \to L \overset{i}{\to} K(x) \otimes_A L \overset{p}{\to} L[-1] \to 0
+		\end{equation*}
+		liefert.
+		Also erhalten wir folgende lange exakte Homologiesequenz:
+		\begin{equation*}
+			\cdots \overset{\partial}{\to} H_p(L) \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to H_p(L[-1]) \overset{\partial}{\to} H_{p - 1}(L) \to \cdots
 		\end{equation*}
-		Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
-		\begin{align*}
-			\Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
-			&= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
-			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1)  - p)\\
-			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
-			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
-			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
-			&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
-			&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
-		\end{align*}
-	\end{proof}
-\end{lem}
-
-\begin{lem}
-	\label{lem:differenzenoperator-binomialpolynom}
-	Für $k \in \N$ mit $k > 0$ gilt
-	\begin{equation*}
-		\Delta Q_k = Q_{k - 1}.
-	\end{equation*}
-	\begin{proof}
 		Es gilt
+		\begin{align*}
+			{(K(x) \otimes_A L)}_p &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(x) \otimes_A L_j \\
+			&= K_0(x) \otimes_A L_p \oplus K_1(x) \otimes_A L_{p -1}
+		\end{align*}
+		und die Randabbildung $d\colon {(K(x) \otimes_A L)}_p \to {(K(x) \otimes_A L)}_{p - 1}$ ist durch
+		\begin{align*}
+			d(x_0 \otimes y_p + x_1 \otimes y_{p - 1}) &= d(x_0) \otimes y_p + x_0 \otimes d(y_p) + d(x_1) \otimes y_{p - 1} - x_1 \otimes d(y_{p - 1})\\
+			&= x_0 \otimes d(y_p) + x \cdot x_0 \otimes y_{p - 1} - x_1 \otimes d(y_{p - 1})
+		\end{align*}
+		gegeben.
+		Ist $[c] \in H_p(L[-1])$, so gilt $\partial([c]) = [d(\hat{c})] \in H_{p - 1}(L)$, wobei $\hat{c}$ ein Element aus ${(K(x) \otimes_A L)}_p$ mit $p(\hat{c}) = c$ ist.
+		Ohne Einschränkung sei $\hat{c} = 0 + e_x \otimes c$.
+		Wegen $c \in Z_p(L[-1])$ folgt dann
+		\begin{align*}
+			\partial([c]) = [d(\hat{c})] = [d(0 + e_x \otimes c)] = [x \cdot e_x \otimes c - e_x \otimes d(c)] = x[e_x \otimes c],
+		\end{align*}
+		also ist $\partial \colon (H_{p - 1}(L) = H_p(L[-1])) \to H_{p - 1}(L)$ durch die Multiplikation mit $x$ gegeben.
+		Demnach erhalten wir aus der langen exakten Homologiesequenz die folgenden kurzen exakten Sequenzen:
 		\begin{equation*}
-			\Delta Q_k(n) = Q_k(n + 1) - Q_k(n) = \binom{n + 1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k - 1} = Q_{k - 1}(n).
+			0 \to X_p \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to Y_{p - 1} \to 0
 		\end{equation*}
+		Dabei sind $X_p$ und $Y_p$ durch
+		\begin{alignat*}{3}
+			X_p &= \coker(\cdot x\colon H_p(L) \to H_p(L)) &= H_0(x, H_p(L)) \\
+			Y_p &= \ker(\cdot x\colon H_p(L) \to H_p(L)) &= H_1(x, H_p(L)) 
+		\end{alignat*}
+		gegeben.
 	\end{proof}
-\end{lem}
+\end{prop}
 
-\begin{deflem}[Ganzzahliges Polynom]
-	\label{deflem:ganzzahliges-polynom}
-	Ein Polynom $f \in \Q[X]$ heißt \textbf{ganzzahlig}, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
-	\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-		\item $f$ ist eine $\Z$-Linearkombination von Binomialpolynomen $Q_k$.
-		\item Für alle $z \in \Z$ gilt $f(z) \in \Z$.
-		\item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \ge z_0$.
-		\item $\Delta f$ besitzt die Eigenschaft aus (a) und es gibt mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$.
-	\end{enumerate}
-	Ist $f$ solch ein Polynom, dann bezeichnen wir mit $e_k(f)$ den Koeffizienten von $Q_k$ in der Darstellung $f = \sum_{n \in \N} e_k Q_k$.
-	\begin{proof}[Beweis der Äquivalenz]
-		Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar.
+\begin{defn}[azyklischer Komplex]
+	\label{defn:azyklischer-komplex}
+	Sei $M$ ein $A$-Modul und $L$ ein Komplex von $A$-Moduln mit $L_p = 0$ für $p < 0$.
+	Dann heißt $L$ \textbf{azyklischer Komplex} auf $M$, falls $H_p(L) = 0$ für $p > 0$ und $H_0(L) = M$, also falls
+	\begin{equation*}
+		\cdots \to L_1 \to L_0 \to M \to 0
+	\end{equation*}
+	eine Auflösung von $M$ ist.
+\end{defn}
 
-		Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$.
-		Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und $\Delta f$ (a) erfüllt, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$.
-		Das es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$.
-		Also sind (a) und (d) äquivalent.
-		
-		Um die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) zu zeigen, nutzen wir Induktion über den Grad von $f$.
-		Ist $f$ vom Grad $0$, so ist $f$ konstant und wegen (c) gilt dann $f \in \Z$ und damit (a).
-		Sei also nun $f$ vom Grad $d > 0$ und die Behauptung wahr für Polynome vom Grad $< d$.
-		Offensichtlich gilt $\deg \Delta f < \deg f$ und auch $\Delta f$ erfüllt (c).
-		Also erfüllt $\Delta f$ (a) und damit erfüllt $f$ (d).
+\begin{kor}
+	\label{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex}
+	Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler auf $M$, also $\Ann_M(x) = 0$.
+	Dann ist $K(x) \otimes_A L$ ein azyklischer Komplex auf $M/xM$.
+	\begin{proof}
+		Aus \cref{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe} folgt:
+		\begin{align*}
+			H_p(K(x) \otimes_A L) &= 0 \qquad \text{für } p > 1 \\
+			H_1(K(x) \otimes_A L) &= H_1(x,M) = \Ann_M(x) = 0 \\
+			H_0(K(x) \otimes_A L) &= H_0(x,M) = M/xM
+		\end{align*}	
 	\end{proof}
-\end{deflem}
+\end{kor}
 
-Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt für $k > 0$ offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$.
-Insbesondere ist $e_k(f)$ für $\deg(f) \le k$ das konstante Polynom $\Delta^k f$ und es gilt
-\begin{equation*}
-	f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(x),
-\end{equation*}
-wobei $g(x) \in \Q[X]$ mit $\deg(g) < k$.
-Ist $\deg(f) = k$, so gilt
-\begin{equation*}
-	f(n) \sim e_k(f) \frac{n^k}{k!}	\qquad \text{für } n \to \infty.
-\end{equation*}
-Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sodass $f(z) > 0$ für alle $z \ge z_0$ gilt.
+\section{Der allgemeine Koszul-Komplex}
+\label{sec:der-allgemeine-koszul-komplex}
 
-\section{Polynomartige Funktionen}
-\label{sec:polynomartige-funktionen}
-
-Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
-\begin{equation*}
-	n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
-\end{equation*}
-
-\begin{defn}[Polynomartige Funktion]
-	\label{defn:polynomartige-funktionen}
-	Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
-	Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
-	Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig.
-	Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$.
+\begin{defn}
+	\label{defn:koszul-komplex}
+	Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
+	Mit $K(\bmx)$ oder auch mit $K(x_1,\ldots,x_r)$ bezeichnen wir folgenden Tensorprodukt-Komplex:
+    \begin{equation*}
+        K(\bmx) = K(x_1)\otimes_A K(x_2) \otimes_A \cdots \otimes_A K(x_r)
+	\end{equation*}
 \end{defn}
 
 
 \begin{lem}
-	\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
-	Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
-	\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-		\item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$
-		\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$
-		\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
-	\end{enumerate}
+	\label{lem:koszul-komplex-berechnung}
+	Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
+	Dann ist $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form
+    \begin{equation*}
+        e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \qquad 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le r
+    \end{equation*}
+	erzeugt wird.
+	Insbesondere gilt also
+    \begin{equation*}
+        K_p(\bmx) \cong \bigwedge\nolimits^p(A^r).
+	\end{equation*}
+	Die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$ ist durch folgende Formel gegeben:
+	\begin{equation}
+		\label{eq:koszul-komplex-randabbildung}
+		d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) = \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
+	\end{equation}
+	Dabei verwenden wir die Konvention, dass das Symbol unter \enquote{$\widehat{\;}$} weggelassen wird.
 	\begin{proof}
-		Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) sind klar.
-
-		Sei also nun (b) wahr.
-		Sei $R = \sum_{k \in \N} e_k(P_{\Delta f}) Q_{k+1}$, dann ist $R$ vom Grad $\le r$ und es gilt $\Delta R = P_{\Delta f}$.
-		Betrachte die Abbildung $g \colon A \to \Z,\, z \mapsto f(z) - R(z)$, dann gilt für $z$ groß genug:
+		Für $p\in \Z$ sei $I_p^r = \lbrace\bmi \subset \lbrace1,\ldots,r\rbrace \mid \#\bmi = p\rbrace$. Wir haben folgendes zu zeigen:
 		\begin{equation*}
-			\Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0
+			K_p(\bmx) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
 		\end{equation*}
-		Das bedeutet, für $z$ groß genug ist $g(z) = e_0 \in \Z$ und es folgt $f(z) = R(n) + e_0$ für $z$ groß genug.
-		Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$.
-
-		Die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) folgt durch Induktion über $r$ und Verwendung der Implikation (b) $\Rightarrow$ (a).
-	\end{proof}
-\end{lem}
-
-\section{Das Hilbert-Polynom}
-\label{sec:das-hilbert-polynom}
-
-Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
-\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-	\item $H_0$ ist artinsch.
-	\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.  
-\end{enumerate}
-Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist.
-Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
-
-Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
-$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
-Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul.
-Es gilt
-\begin{align*}
-	H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0,
-\end{align*}
-also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch.
-Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
-\begin{align*}
-	\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
-	n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
-\end{align*}
-Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
-
-\begin{thm}[Hilbert]
-	\label{thm:hilbert-polynomial}
-	Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
-	\begin{proof}
-		Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
-		
-		Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
-		
-		Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge.
-		Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$.
-		
-		Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde.
-		Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$.
-		Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
-		\begin{equation*}
-			0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
-		\end{equation*}
-		Es folgt
-		\begin{equation*}
-			\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
-		\end{equation*}
-		Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten.
-		Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$.
-		Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
-	\end{proof}
-\end{thm}
-
-\begin{nota}
-	\label{nota:hilbert-polynomial}
-	Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet.
-	Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$.
-	Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
-\end{nota}
-
-\section{Das Samuel-Polynom}
-\label{sec:das-samuel-polynom}
-Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul.
-
-\begin{lem}
-	\label{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
-	Es gilt $\length_A(M) < \infty$ genau dann, wenn alle Elemente in $\Supp(M)$ maximale Ideale sind.
-	\begin{proof}
-		{}\cite[Corollary~2.17]{eisenbud2004commutative}.
-	\end{proof}
-\end{lem}
-
-Sei nun $\mfq$ ein Ideal von $A$.
-Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
-Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
-\begin{equation}
-	\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
-	\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
-\end{equation}
-Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} äquivalent zu:
-\begin{equation}
-	\label{eq:elemente-in-supp}
-	\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
-\end{equation}
-
-
-Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $M$, das heißt
-\begin{align*}
-	&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
-	&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
-	&M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
-\end{align*}
-Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$.
-Demnach ist die Abbildung
-\begin{align*}
-	f_M \colon \N &\to \N \\
-	n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
-\end{align*}
-wohldefiniert.
-
-\begin{thm}[Samuel]
-	\label{thm:samuel-polynom}
-	Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
-	\begin{proof}
-		Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen:
-		Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$.
-		Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung auf $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
-		
-		Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch.
-		Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
-		\begin{equation*}
-			H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
-		\end{equation*}
-		wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
-		Weiter ist
-		\begin{equation*}
-			\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
-		\end{equation*}
-		ein graduierte $H$-Modul.
-		Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
-		\begin{equation*}
-			M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
-		\end{equation*}
-		erzeugt.
-		Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch.
-		Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul.
-		Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul.
-		Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
-		Es gilt
+		Dies beweisen wir durch Induktion über $r$.
+		Im Fall $r = 1$ gilt $I_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $I_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $I_p^1 = \emptyset$.
+		Damit folgt:
 		\begin{align*}
-			\Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
-			 &= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
-			 &= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\
-			 &= \chi(\gr(M), n),
+			K_0(\bmx) &= K_0(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_0^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			K_1(\bmx) &= K_1(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_1^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			K_p(\bmx) &= K_p(x_1) = 0 = \bigoplus_{\bmi \in I_p^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) && \text{für }p \notin \lbrace0, 1\rbrace
+		\end{align*}
+		Für die Randabbildung $d\colon K_1(x_1) \to K_0(x_1)$ im Grad $1$ gilt
+		\begin{align*}
+			d(e_{x_{i_1}}) &= x_1 \cdot 1 \\
+			&= {(-1)}^{1 + 1} x_1 \widehat{e_{x_{i_1}}}\otimes 1 \\
+			&= \sum_{k=1}^1 {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(1 - 1 + 1)\text{-mal}}.
+		\end{align*}
+		In den anderen Graden ist die Randabbildung nach \cref{defn:koszul-komplex-einfach} immer $0$ und auch die Formel aus \cref{eq:koszul-komplex-randabbildung} ergibt $0$.
+
+		Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung für alle $s\in \N$ mit $0 \le s < r$ bereits bewiesen.
+		Sei außerdem $\bmx' = (x_1,\ldots,x_{r-1})$.
+		Dann gilt:
+		\begin{align*}
+			K_p(\bmx) &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
+			&= \bigoplus_{j \in \lbrace0,1\rbrace} K_{p - j}(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
+			&= \poplus\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_0(x_r)\\
+			&\peq \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_1(x_r)\\
+			&= \poplus\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&\peq \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi \cup \lbrace r \rbrace}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus (\bmi \cup \lbrace r \rbrace)}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&=  \poplus \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \notin \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&\peq \oplus \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&= \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&= \bigoplus_{\bmi \in I_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
+		\end{align*}
+		Nun betrachten wir die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$.
+		Dabei unterscheiden wir die zwei Fälle $r \in \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$ und $r \notin \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$. Im ersten Fall gilt:
+		\begin{align*}
+			& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{1}_{\in K_0(x_r)}) \\
+			=& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}})  \otimes 1 + {(-1)}^p e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\
+			=& \left(\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}\right) \otimes 1 \\
+			=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
+		\end{align*}
+		Im zweiten Fall können wir ohne Einschränkung $r = i_p$ annehmen.
+		Dann gilt:
+		\begin{align*}
+			& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r -  p)\text{-mal}}) \\
+			=&\pplus d(e_y{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{((r - 1) - (p - 1))\text{-mal}}) \otimes e_{x_{i_p}} \\
+			&+ {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes d(e_{x_{i_p}}) \\
+			=& \pplus \left( \sum_{k=1}^{p - 1} {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\right) \otimes e_{x_{i_p}} \\
+			& + {(-1)}^{p+1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes (x_{i_p} \cdot 1) \\
+			=& \pplus \sum_{\substack{k=1\\k\ne p}}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
+			& + {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
+			=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
 		\end{align*}
-		also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $f_M$ polynomartig vom Grad $\le r$.
 	\end{proof}
-\end{thm}
+\end{lem}
+\begin{defn}[Koszul-Komplex]
+	\label{defn:koszul-komplex-modul}
+	Ist $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$. Wegen \cref{lem:koszul-komplex-berechnung} gilt
+	\begin{equation*}
+			K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right)
+	\end{equation*}
+	und die Randabbildung $K_p(\bmx, M) \to K_{p - 1}(\bmx, M)$ ist durch folgende Formel gegeben:
+	\begin{equation}
+		\label{eq:koszul-komplex-modul-randabbildung}
+		\begin{aligned}
+			&d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes m) \\
+			=&\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes m
+		\end{aligned}
+	\end{equation}
+	Wir bezeichnen den $p$-ten Homologiemodul von $K(\bmx, M)$ mit $H_p(\bmx, M)$.
+	Wir bezeichnen mit $\bmx$ auch das Ideal $(x_1, \ldots,x_r)$.
+	Offensichtlich gilt:
+	\begin{align*}
+		H_0(\bmx, M) &= M/\left(\bigoplus_{i = 1}^r x_i M \right)  = M/\bmx M \\
+		H_r(\bmx, M) &= \lbrace m \in M \mid x_i m = 0 \text{ für alle } i \rbrace
+	\end{align*}
+\end{defn}
 
 \begin{bem}
-	\label{bem:samuel-polynom}
-	Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wird im Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet.
-	Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$.
-	Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} zeigt
-	\begin{equation}
-		\label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
-		\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
-	\end{equation}
-	wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
-	
-	Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$.
-	Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
+	\label{bem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring}
+	Wenn wir den zu Grunde liegenden Ring $A$ nennen wollen, dann schreiben wir $K^A(\bmx)$, $H^A_p(\bmx)$, $K^A(\bmx, M)$ und $H^A_p(\bmx, M)$. Tatsächlich ist $K(\bmx, M)$ und damit auch $H_p(\bmx, M)$ aber nicht vom Grundring $A$ abhängig, sondern nur von der abelschen Gruppe $M$ und den Gruppenhomomorphismen $x_i\colon M \to M$, wie das folgende Lemma zeigt.
 \end{bem}
 
 \begin{lem}
-	\label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch}
-	Es gilt \begin{equation*}
-		P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
+	\label{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring}
+	Seien $A$ und $B$ kommutative Ringe und sei $M$ sowohl ein $A$-Modul, als auch ein $B$-Modul.
+	Weiter seien $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$ eine Familie von Elementen aus $B$ mit der Eingeschaft, dass die Multiplikation mit $x_i$ und $y_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ jeweils den gleichen Gruppenhomomorphismus $\psi_i$ auf $M$ liefert.
+	Dann gibt es einen Isomorphismus vom Komplexen von abelschen Gruppen
+	\begin{equation*}
+		K^A(\bmx, M) \cong K^B(\bmy, M),
 	\end{equation*}
-	wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
+	der natürlich in $M$ ist.
 	\begin{proof}
-		Sei  $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$.
-		Für alle $n \ge 0$ gilt dann 
-		\begin{equation*}
-			\mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
+		Es gilt:
+		\begin{align*}
+			K^A_p(\bmx, M) &= K^A_p(\bmx) \otimes_A M \\
+			&\cong A^{\binom{r}{p}} \otimes_A M \\
+			&\cong M^{\binom{r}{p}} \\
+			&\cong B^{\binom{r}{p}} \otimes_B M  \\
+			&\cong K^B_p(\bmy) \otimes_B M \\
+			&= K^B_p(\bmy, M)
+		\end{align*}
+		Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Ismorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*}
+			\phi_p \colon I_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
 		\end{equation*}
-		also gilt für große $n$:
-		\begin{equation*}
-			P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
-		\end{equation*}
-		Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben.
-		Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
+		Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ liefern dann jeweils beide die Abbildung:
+		\begin{align*}
+			d\colon M^{\binom{r}{p}} &\to M^{\binom{r}{p - 1}} \\
+			(0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, i_{j - 1}, \widehat{i_{j}}, i_{j + 1}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0)
+		\end{align*}
+		Die Natürlichkeit ist klar.
 	\end{proof}
 \end{lem}
 
+\begin{defn}[Reguläre Folge]
+	\label{defn:regulaere-folge}
+	Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt \textbf{$\bm{M}$-reguläre Folge}, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler auf $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist.
+\end{defn}
+
 \begin{prop}
-	\label{prop:samuel-polynom-additivitaet}
-	Ist
-	\begin{equation*}
-		0 \to N \to M \to P \to 0
-	\end{equation*}
-	eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt
-	\begin{equation*}
-		P_\mfq(M) = P_\mfq(N) + P_\mfq(P) - R,
-	\end{equation*}
-	wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
+	\label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun}
+	Wenn zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
 	\begin{proof}
-		Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$.
-		Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
+		Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist.
+
+		Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$.
+		Es gilt
+		\begin{align*}
+			H_p(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= 0 \qquad \text{für } p \ne 0, \\
+			H_0(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M,
+		\end{align*}
+		also ist $K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)$ ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$.
+		Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist
 		\begin{equation*}
-			0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0.
+			K(\bmx, M) = K(x_r) \otimes_A K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)
 		\end{equation*}
-		Demnach gilt für alle $n \ge 0$
-		\begin{equation*}
-			\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(N / N_n) + \length_A(P / \mfq^n P),
-		\end{equation*}
-		also
-		\begin{equation*}
-			P_\mfq(M) = P_\mfq((N_i)) + P_\mfq(P).
-		\end{equation*}
-		Nach \cref{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch} gilt
-		\begin{equation*}
-			P((N_i)) = P_\mfq(N) + R,
-		\end{equation*}
-		wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
-		Dies zeigt die Behauptung.
-	\end{proof} 
+		nach \cref{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex} ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_r)M$ und damit folgt die Behauptung.
+	\end{proof}
 \end{prop}
 
-\begin{nota}
-	\label{nota:samuel-polynom-koeffizient}
-	Ist $d$ eine ganze Zahl $\ge \deg(P_\mfq(M))$, dann bezeichnen wir mit $e_\mfq(M, d)$ die ganze Zahl $\Delta^d P_\mfq(M)$.
-	Es gilt:
-	\begin{align*}
-		e_\mfq(M, d) &= 0 \qquad \text{falls } d > \deg(P_\mfq(M)) \\
-		e_\mfq(M, d) &\ge 1 \qquad \text{falls } d = \deg(P_\mfq(M))
-	\end{align*}
-	Ist $d = \deg(P_\mfq(M))$, so gilt außerdem
-	\begin{equation}
-		P_\mfq(M, n) \sim e_\mfq(M, d) \frac{n^d}{d!}	\qquad \text{für } n \to \infty.
-	\end{equation}
-\end{nota}
+\begin{bem}
+	\label{bem:koszul-komplex-funktorialität}
+	Ist $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$, dann ist
+	\begin{equation*}
+		K(\bmx, \bullet)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A)
+	\end{equation*}
+	ein Funktor.
+	Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesodere flach.
+	Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$.
+	Desweiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus
+	\begin{equation*}
+		\psi_0 \colon H_0(\bmx, \bullet) \to (A/\bmx) \otimes_A \bullet
+	\end{equation*}
+	und weil ${(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}$ ein universeller $\delta$-Funktor von von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$ ist, setzt sich $\psi_0$ eindeutig zu einem Morphismus von $\delta$-Funktoren
+	\begin{equation*}
+		\psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}
+	\end{equation*}
+	fort.
+\end{bem}
 
 \begin{kor}
-	\label{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet}
-	Ist
+	\label{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}
+	Sei $\bmx$ eine $A$-reguläre Folge.
+	Dann ist
 	\begin{equation*}
-		0 \to N \to M \to P \to 0
-	\end{equation*}
-	eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt für $d \ge \deg(P_\mfq(M))$:
-	\begin{equation*}
-		e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + e_\mfq(P, d)
+		\psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}
 	\end{equation*}
+	ein Isomorphismus von $\delta$-Funktoren.
 	\begin{proof}
-		Dies folgt unmittelbar aus \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}.
+		Nach \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} ist $H_p(\bmx, A) = 0$ für $p > 0$ und es gilt $H_0(\bmx, A) = A / \bmx$.
+		Also ist $K(\bmx) = K(\bmx, A)$ ein azyklischer Komplex auf $A / \bmx$, also ist
+		\begin{equation*}
+			\cdots \to K_1(\bmx) \to K_0(\bmx) \to A / \bmx \to 0
+		\end{equation*}
+		eine Auflösung.
+		Da $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ ist, ist diese Auflösung frei.
+		Insbesondere ist sie projektiv und damit folgt die Behauptung.
 	\end{proof}
 \end{kor}
 
 \begin{prop}
-	\label{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
-	Sind $\mfq, \mfq'$ Ideale von $A$ mit $\length_A(M/\mfq M) < \infty$ und $\length_A(M/\mfq' M) < \infty$ und gilt zusätzlich
+	\label{prop:koszul-homologie-annihilator}
+	Sei $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul.
+	Für alle $p \in \Z$ gilt dann
 	\begin{equation*}
-		\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M) \cap V(\mfq'),
+		\bmx \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M))
 	\end{equation*}
-	dann gilt
+	und
 	\begin{equation*}
-		\deg(P_\mfq(M)) = \deg(P_{\mfq'}(M)).
+		\Ann_A(M) \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M)).
 	\end{equation*}
 	\begin{proof}
-		Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} können wir $\Ann(M) = 0$ annehmen, also gilt
+		Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$.
+		Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind außerdem $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph.
+		Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine reguläre Folge auf $M$ ist, folgt also
 		\begin{equation*}
-			V(\mfq) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\} = V(\mfq'),
+			H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M).
 		\end{equation*}
-		wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind.
-		Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$.
-		Für große $n$ gilt demnach
-		\begin{equation*}
-			P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
-		\end{equation*}
-		und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$.
-		Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
+		Durch den Ringhomomorphismus $A \hookrightarrow B$ wird auf $\Tor^B_p(A, M)$ eine $A$-Modulstruktur definiert, die offensichtlich mit der $A$-Modulstruktur von $H_p(\bmx, M)$ übereinstimmt.
+		Also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Ismomorphismus von $A$-Moduln.
+		Insbesondere gilt für alle $a \in A$ mit $a \in \Ann_B(\Tor^B_p(A, M))$ auch $a \in \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
+		Nun gilt
+		\begin{align*}
+			\Ann_{B}(\Tor^B_p(A,M)) &\supset \Ann_B(A) + \Ann_B(M) \\
+			&= (X_1, \ldots, X_r) + \Ann_B(M) \\
+			&\supset (X_1, \ldots, X_r) + \Ann_A(M) + (X_1 - x_1, \ldots, X_r - x_r)
+		\end{align*}
+		und es folgt die Behauptung.
 	\end{proof}
 \end{prop}
 
-\section{Dimensionstheorie noetherscher lokaler Ringe}
-\label{sec:dimensionstheorie-noetherscher-lokaler-ringe}
+\begin{bem}
+	\label{koszul-komplex-lokalisierung-und-vervollstaendigung}
+	Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
+	
+	Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) = {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph.
 
-Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
-Sei außerdem $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq \subset \mfm$ ein Ideal in $A$ mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
+	Statten wir die $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, so gilt $K(\bmx, \widehat{M}) = \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
+	\begin{equation*}
+		K_p(\bmx, \widehat{M}) \cong \bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
+		= \prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
+		\cong \widehat{\prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} M}
+		\cong \widehat{\bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} M}
+		\cong \widehat{K_p(\bmx, M)}
+	\end{equation*}
+	und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen.
+\end{bem}
 
-Wir bezeichnen mit $d(M)$ den Grad von $P_\mfq(M)$.
-Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigenschaften, denn ist $\mfq'$ ein weiteres solches Polynom, dann gilt nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
+\section{Die Filtrierung eines Koszul-Komplexes}
+\label{sec:die-filtrierung-eines-koszu-komplexes}
+
+\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik]
+	\label{defn:euler-poincare-charakteristik}
+	Sei $A$ ein Ring und $K$ ein beschränkter Komplex von $A$-Moduln.
+	Ist $\length_A(K_p) < \infty$ für alle $p \in \Z$, so definieren wir die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} von $K$ durch
+	\begin{equation*}
+		\chi(K) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A(K_p).
+	\end{equation*}
+	Ist $\length_A(H_p(K)) < \infty$ für alle $p \in \Z$, so definieren wir sie durch
+	\begin{equation*}
+		\chi(K) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A(H_p(K)).
+	\end{equation*}
+	Sind beide Voraussetzungen gegeben, so stimmen die beiden Definitionen überein, da die Länge additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
+\end{defn}
+
+Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
+Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
+Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$.
+Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$.
+
+\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik des Koszulkomplexes]
+	\label{defn:euler-poincare-charakteristik-des-koszul-komplexes}
+	Wir definieren die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} zu $(\bmx, M)$ durch
+	\begin{equation*}
+		\chi(\bmx, M) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \length_A(H_p(\bmx, M)).
+	\end{equation*}
+\end{defn}
+
+Das Samuel-Polynom $P_{\bmx}(M)$ ist nach \cref{thm:samuel-polynom} vom Grad $\le r$ und es gilt
 \begin{equation*}
-	\Supp(M) \cap V(\mfq') = \Supp(M / \mfq' M) = \lbrace \mfm \rbrace = \Supp(M / \mfq M) = \Supp(M) \cap V(\mfq).
+	P_{\bmx}(M, r) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n),
 \end{equation*}
-Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
+wobei $Q$ ein Polynom in $\in \Q[X]$ vom Grad $< r$ ist und wir mit $e_{\bmx}(M, r)$ das konstante Polynom $\Delta^r P_{\bmx}(M)$ bezeichnen.
 
-Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist.
-
-Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen.
-
-\begin{prop}
-	\label{prop:d-kleinergleich-s}
-	Es gilt $d(M) \le s(M)$.
-	\begin{proof}
-		Nach der Definition von $s(M)$ gibt es ein Ideal $\mfa \subset \mfm$ von $A$, das von $s(M)$ Elementen erzeugt wird, mit $\length_A(M / \mfa M) < \infty$.
-		Demnach gilt
-		\begin{equation*}
-			d(M) = \deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfa}(M)	
-		\end{equation*}
-		und nach \cref{thm:samuel-polynom} folgt $d(M) \le s(M)$.
-	\end{proof}
-\end{prop}
-
-\begin{prop}
-	\label{prop:dim-kleinergleich-d}
-	Es gilt $\dim(M) \le d(M)$.
-	\begin{proof}
-		Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über $d(M)$.
-
-		Im Fall $d(M) = 0$ ist $P_\mfq(M)$ konstant.
-		Es gibt ein $k \in \N$, mit der Eingeschaft, dass $P_\mfq(M, n) = \length_A(M / \mfq^n M)$ für alle $n \ge k $ gilt, also gilt $\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(M / \mfq^{n + 1} M)$ für alle $n \ge k$.
-		Betrachte nun folgende kurze exakte Sequenz:
-		\begin{equation*}
-			0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0
-		\end{equation*}
-		Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, folgt also $\length_A(\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M) = 0$ und damit $\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M$, also $\mfq^n M \cong \mfq^{n + 1} M$.
-		Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt nach dem Nakayama Lemma $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$.
-		Sei nun $\mfp \in \Supp(M)$, dann gilt $\mfp \supset \Ann_A(M) \supset \mfq^k$.
-		Da $\mfp$ prim ist, folgt $\mfp \supset \mfp$ und damit $\mfp \in \Supp(M / \mfq M)$.
-		Nach Voraussetzung ist aber $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also, dass $\mfp$ maximal ist.
-		Demnach sind alle Primideale von $A/\Ann_A(M)$ maximal und folglich gilt $\dim(M) = \dim(A/\Ann_A(M)) = 0$.
-		
-		Sei nun also $d(M) = n \ge 1$ und die Behauptung bereits für $n - 1$ gezeigt.
-		Sei $\mfp_0 \in \Supp(M)$ minimal mit $\dim(M) = \dim(A/\mfp_0)$.
-		Dann gibt es einen Untermodul $N$ von $M$ mit $N \cong A/\mfp_0$ (siehe {}\cite[Chapter~I, Theorem~1]{serre2000local}).
-		Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}
-		gilt dann $d(N) \le d(M)$, wir können also $M = A / \mfp_0$ annehmen.
-		Angenommen es gilt $\dim(M) > d(M)$.
-		Dann gibt es eine echt aufsteigende Kette von Primidealen
-		\begin{equation*}
-			\mfp_0 \subsetneq \mfp_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mfp_k
-		\end{equation*}
-		mit $k > d(M)$.
-		Sei $x \in \mfp_1 \setminus \mfp_0$, dann gilt
-		\begin{equation*}
-			\dim(M / xM) \ge k - 1 > d(M) - 1.
-		\end{equation*}
-		Betrachte nun den Homomorphismus
-		\begin{equation*}
-			\cdot x \colon M \to M,\, m \mapsto xm.
-		\end{equation*}
-		Da $\mfp_0$ prim ist, ist $M = A / \mfp_0$ ein Integritätsring und damit ist $\cdot x$ injektiv.
-		Somit erhalten wir folgende kurze exakte Sequenz:
-		\begin{equation*}
-			0 \to M \overset{\cdot x} \to M \to M / xM \to 0 
-		\end{equation*}
-		Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
-		\begin{equation*}
-			d(M) - 1 < \dim(M / xM) \le d(M / xM) \le d(M) - 1.
-		\end{equation*}
-		Dies ist ein Widerspruch, also muss bereits $\dim(M) \le d(M)$ gelten.
-	\end{proof}
-\end{prop}
-
-\begin{prop}
-	\label{prop:s-kleinergleich-dim}
-	Es gilt $s(M) \le \dim(M)$.
-	\begin{proof}
-		Wir benutzen Induktion über $ n = \dim(M)$ (nach \cref{prop:dim-kleinergleich-d} wissen wir, dass $\dim(M) < \infty$ gilt).
-
-		Im Fall $n = 0$ ist gilt $\dim(A / \mfp) = 0$ für alle $\mfp \in \Supp(M)$.
-		Demnach sind alle $\mfp \in \Supp(M)$ maximale Ideale und damit ist nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} $\length_A(M) < \infty$.
-		Folglich gilt $s(M) = 0$.
-
-		Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt.
-		Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}).
-		Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und wir können nach dem Lemma zur Vermeidung von Primidealen $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}).
-		Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$.
-		Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
-		\begin{equation*}
-			s(M) - 1 \le s(M / xM) \le \dim(M / xM) \le \dim(M) - 1.  
-		\end{equation*}
-		Folglich gilt $s(M) \le \dim(M)$.
-	\end{proof}
-\end{prop}
+Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M, r)$ miteinander vergleichen.
 
 \begin{thm}
-	\label{thm:dim-gleich-d-gleich-s}
-	Es gilt $\dim(M) = d(M) = s(M)$.
+	\label{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}
+	Es gilt $\chi(\bmx, M) = e_{\bmx}(M, r)$.
 	\begin{proof}
-		Dies folgt aus {}\cref{prop:d-kleinergleich-s,prop:dim-kleinergleich-d,prop:s-kleinergleich-dim}.
+		Wir gehen in mehreren Schritten vor:
+		\begin{enumerate}
+			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-1} Sei $K = K(\bmx, M)$. Wir definieren eine absteigende Filtrierung auf $K$ durch
+			\begin{equation*}
+				{(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p.
+			\end{equation*}
+			Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung auf $K$.
+			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring.
+			Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$.
+			Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$.
+			Sei $\gr(M)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $M$ gehörige graduierte $\gr(A)$-Modul.
+			Dann gilt
+			\begin{equation*}
+				\gr(K) \coloneqq \bigoplus_{i \in \Z} F^i K / F^{i + 1} K \cong K(\bmy, \gr(M)),
+			\end{equation*}
+			denn
+			\begin{align*}
+				{\gr(K)}_p &= \bigoplus_{i \in \Z}{(F^i K)}_p / {(F^{i + 1} K)}_p \\
+				&= \bigoplus_{i \in \Z} x^{i - p}K_p / x^{i + 1 - p}K_p \\
+				&= \bigoplus_{i \in \Z} x^i K_p / x^{i + 1}K_p \\
+				&\cong \bigoplus_{i \in \Z} x^i M^{\binom{r}{p}} / x^{i + 1} M^{\binom{r}{p}} \\
+				&\cong {\left(\bigoplus_{i \in \Z} x^i M / x^{i + 1} M \right)}^{\binom{r}{p}} \\
+				&= {\gr(M)}^{\binom{r}{p}} \\
+				&\cong K_p(\bmy, \gr(M))
+			\end{align*}
+			und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen der beiden Komplexe.
+			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Weil $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul ist, ist $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul. 
+			Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln.
+			Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugte Moduln über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$.
+			Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar als endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
+			Nach dem gleichen Argument, das wir bereits für die Wohldefiniertheit der Euler-Poincaré-Charakteristik verwendet haben, folgt dann, dass die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ alle endliche Länge haben.
+			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} Da $H_p(\bmy, \gr(M)) = 0$ für $p \notin \lbrace 0, \ldots, r \rbrace$ und wegen
+			\begin{equation*}
+				H_p(\bmy, \gr(M)) = \bigoplus_{i \in \Z} H_p(F^i K / F^{i + 1}K)
+			\end{equation*}
+			gibt es also ein $m \ge 0$ mit der Eigenschaft, dass $H_p(F^i K / F^{i + 1}K) = 0$ für alle $i > m$ und alle $p \in \Z$. Ohne Einschränkung können wir $m \ge r$ annehmen.
+			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} Wir zeigen nun $H_p(F^i K / F^{i + j} K) = 0$ für alle $p \in \Z$, $i > m$ und $j \ge 0$ durch Induktion über $j$:
+			Im Fall $j = 0$ ist die Behauptung trivial.
+			Sei also nun $j \ge 1$ und die Behauptung für $j - 1$ bereits gezeigt.
+			Wir betrachten folgende kurze exakte Sequenz von Komplexen:
+			\begin{equation*}
+				0 \to F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j - 1}K \to 0
+			\end{equation*}
+			Dies liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz:
+			\begin{align*}
+				\cdots &\to H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K) \to \\
+				& \to H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to \cdots
+			\end{align*}
+			Nach Voraussetzung ist $j \ge 1$, also ist $i + j - 1 > m$ und damit folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} $H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$.
+			Nach Induktionsvoraussetzung gilt $H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$, das heißt wir erhalten für alle $p \in \Z$ die kurze exakte Sequenz
+			\begin{equation*}
+				0 \to 0 \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to 0 \to 0,
+			\end{equation*}
+			also muss auch $H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) = 0$ gelten.
+			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-6} Seien $Z^i_p$ und $B^i_p$ jeweils die Moduln der Zykel und Ränder in ${(F^i K)}_p$.
+			Nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} gilt $H_p(F^i K / \bmx^j {(F^i K)}_p) = 0$ für alle $j \ge 0$, also
+			\begin{equation*}
+				Z^i_p \subset B^i_p + \bmx^j {(F^i K)}_p.
+			\end{equation*}
+			Damit folgt
+			\begin{equation*}
+				Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p},
+			\end{equation*}
+			wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet.
+			Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}).
+			Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$.
+			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen
+			\begin{equation*}
+				0 \to F^i K \to K \to K / F^i K \to 0.
+			\end{equation*}
+			Diese liefert folgende lange exakte Homologiesequenz:
+			\begin{equation*}
+				\cdots \to H_p(F^i K) \to H_p(K) \to H_p(K / F^i K) \to H_{p - 1}(F^i K) \to \cdots
+			\end{equation*}
+			Ist $i > m$, so ist $H_p(F^i K) = 0$ für alle $p \in \Z$ und es folgt, dass der natürliche Morphismus
+			\begin{equation*}
+				H_p(\bmx, M) = H_p(K) \to H_p(K / F^i K)
+			\end{equation*}
+			für alle $p \in \Z$ ein Isomorphismus ist.
+
+			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-8} Wegen $\length_A(M/\bmx M) < \infty$ sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente in $\Supp(M) \cap V(\bmx)$ maximale Ideale.
+			Wegen $V(\bmx^i) = V(\bmx)$ gilt also nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} auch $\length_A(M / \bmx^i M) < \infty$ und damit ist auch
+			\begin{equation*}
+				{(K / F^i K)}_p \cong {(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}}
+			\end{equation*}
+			von endlicher Länge. Für $i > m$ folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} also
+			\begin{align}
+				\label{eq:euler-poincare-charakteristik}
+				\begin{aligned}
+					\chi(\bmx, M) &= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p\length_A(H_p(K / F^i K)) \\
+					&= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p\length_A({(K / F^i K)}_p) \\
+					&=\sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A\left({(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}}\right) \\
+					&= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \binom{r}{p}\length_A((M / \bmx^{i - p} M))
+				\end{aligned}	
+			\end{align}
+
+			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-9} Wenn $i$ große genug ist, können wir \cref{eq:euler-poincare-charakteristik} zu folgender Gleichung umschreiben:
+			\begin{equation*}
+				\chi(\bmx, M) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \binom{r}{p} P_{\bmx}(M, i - p).
+			\end{equation*}
+			Nach \cref{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} ist die rechte Seite dieser Gleichung durch
+			\begin{equation*}
+				\Delta^r P_{\bmx}(M, i - r) = \Delta^r P_{\bmx}(M) = e_{\bmx}(M, r)
+			\end{equation*}
+			gegeben.
+		\end{enumerate}
 	\end{proof}
 \end{thm}
+
+\begin{kor}
+	\label{kor:euler-poincare-charakteristik-koszul-komplex-dminesion}
+	Es gilt $\dim(M) \le r$. Weiter gilt:
+	\begin{align*}
+		\chi(\bmx, M) &> 0, \qquad \text{falls } \dim(M) = r \\
+		\chi(\bmx, M) &= 0, \qquad \text{falls } \dim(M) < r
+	\end{align*}
+	\begin{proof}
+		Dies folgt direkt aus \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}.
+	\end{proof}
+\end{kor}
diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex
index cabf6ba..636f5c8 100644
--- a/chapters/chapter3.tex
+++ b/chapters/chapter3.tex
@@ -1,553 +1,1071 @@
 % -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
 
-\chapter{Der Koszul-Komplex}
-\label{cha:der-koszul-komplex}
+\chapter{Multiplizitäten}
+\label{cha:multiplizitaeten}
 
-Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe.
-Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglich Samuel’s Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Chaakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
+In diesem Kapitel wollen wir die Serre’s Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
+Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion auf die Diagonale} vorstellen.
 
-Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
+\section{Die Multiplizität eines Moduls}
+\label{sec:die-multiplizitaet-eines-moduls}
+Im Folgenden wollen wir den Begriff der \emph{Multiplizität} eines Moduls einführen.
+Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
 
-\section{Der einfache Fall}
-\label{sec:der-einfache-fall}
-
-\begin{defn}
-	\label{defn:koszul-komplex-einfach}
-	Ist $x \in A$, so bezeichnen wir mit $K(x)$ folgenden Komplex:
-	\begin{align*}
-		K_i(x) &= 0 \qquad \text{für } i \ne 0,1 \\
-		K_1(x) &= A \\
-		K_0(x) &= A \\
-		\text{Die Abbildung} \qquad d\colon K_1(x) &\to K_0(x) \qquad \text{ist die Multiplikation mit } x
-    \end{align*}
-    Aus Notationsgründen bezeichnen wir $1\in K_1(x)$ euch mit $e_x$.
-
-	Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$.
-	Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H_i(x, M)$.
-	Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt:
-	\begin{align*}
-		{K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\
-		{K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M, \\
-		{K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M, \\
-	\end{align*}
-	und die Randabbildung
-	\begin{equation*}
-		d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0
-	\end{equation*}
-	ist durch die folgende Formel gegeben:
-	\begin{equation*}
-		d(e_x \otimes m) = xm \qquad m \in M
-	\end{equation*}
-	Die Homologie-Moduln von $K(x,M)$ sind
-	\begin{align*}
-		H_i(x,M) &= 0 \qquad \text{falls } i \ne 0,1, \\
-		H_0(x,M) &= M/xM, \\
-		H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M).
-	\end{align*}
-\end{defn}
-
-\begin{prop}[Künneth-Formel für Koszul-Komplexe]
-	\label{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe}
-	Sei $x \in A$ und $L$ ein Komplex von $A$-Moduln.
-	Dann ist für jedes $p \ge 0$ die Sequenz
-	\begin{equation*}
-		0 \to H_0(x,H_p(L)) \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to H_1(x, H_{p - 1}(L)) \to 0
-	\end{equation*}
-	exakt.
-	\begin{proof}
-		Die natürliche Einbettung $A \to K(x)$ liefert eine Einbettung von Komplexen
-		\begin{equation*}
-			L = A \otimes_A L \to K(x) \otimes_A L.
-		\end{equation*}
-		Außerdem erhalten wir durch die natürliche Projektion $K(x) \to K_1(x) = A$ einen Epimorphismus von Komplexen
-		\begin{equation*}
-			K(x) \otimes_A L \to L[-1],
-		\end{equation*}
-		der uns insgesamt die kurze exakte Sequenz
-		\begin{equation*}
-			0 \to L \overset{i}{\to} K(x) \otimes_A L \overset{p}{\to} L[-1] \to 0
-		\end{equation*}
-		liefert.
-		Also erhalten wir folgende lange exakte Homologiesequenz:
-		\begin{equation*}
-			\cdots \overset{\partial}{\to} H_p(L) \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to H_p(L[-1]) \overset{\partial}{\to} H_{p - 1}(L) \to \cdots
-		\end{equation*}
-		Es gilt
-		\begin{align*}
-			{(K(x) \otimes_A L)}_p &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(x) \otimes_A L_j \\
-			&= K_0(x) \otimes_A L_p \oplus K_1(x) \otimes_A L_{p -1}
-		\end{align*}
-		und die Randabbildung $d\colon {(K(x) \otimes_A L)}_p \to {(K(x) \otimes_A L)}_{p - 1}$ ist durch
-		\begin{align*}
-			d(x_0 \otimes y_p + x_1 \otimes y_{p - 1}) &= d(x_0) \otimes y_p + x_0 \otimes d(y_p) + d(x_1) \otimes y_{p - 1} - x_1 \otimes d(y_{p - 1})\\
-			&= x_0 \otimes d(y_p) + x \cdot x_0 \otimes y_{p - 1} - x_1 \otimes d(y_{p - 1})
-		\end{align*}
-		gegeben.
-		Ist $[c] \in H_p(L[-1])$, so gilt $\partial([c]) = [d(\hat{c})] \in H_{p - 1}(L)$, wobei $\hat{c}$ ein Element aus ${(K(x) \otimes_A L)}_p$ mit $p(\hat{c}) = c$ ist.
-		Ohne Einschränkung sei $\hat{c} = 0 + e_x \otimes c$.
-		Wegen $c \in Z_p(L[-1])$ folgt dann
-		\begin{align*}
-			\partial([c]) = [d(\hat{c})] = [d(0 + e_x \otimes c)] = [x \cdot e_x \otimes c - e_x \otimes d(c)] = x[e_x \otimes c],
-		\end{align*}
-		also ist $\partial \colon (H_{p - 1}(L) = H_p(L[-1])) \to H_{p - 1}(L)$ durch die Multiplikation mit $x$ gegeben.
-		Demnach erhalten wir aus der langen exakten Homologiesequenz die folgenden kurzen exakten Sequenzen:
-		\begin{equation*}
-			0 \to X_p \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to Y_{p - 1} \to 0
-		\end{equation*}
-		Dabei sind $X_p$ und $Y_p$ durch
-		\begin{alignat*}{3}
-			X_p &= \coker(\cdot x\colon H_p(L) \to H_p(L)) &= H_0(x, H_p(L)) \\
-			Y_p &= \ker(\cdot x\colon H_p(L) \to H_p(L)) &= H_1(x, H_p(L)) 
-		\end{alignat*}
-		gegeben.
-	\end{proof}
-\end{prop}
-
-\begin{defn}[azyklischer Komplex]
-	\label{defn:azyklischer-komplex}
-	Sei $M$ ein $A$-Modul und $L$ ein Komplex von $A$-Moduln mit $L_p = 0$ für $p < 0$.
-	Dann heißt $L$ \textbf{azyklischer Komplex} auf $M$, falls $H_p(L) = 0$ für $p > 0$ und $H_0(L) = M$, also falls
-	\begin{equation*}
-		\cdots \to L_1 \to L_0 \to M \to 0
-	\end{equation*}
-	eine Auflösung von $M$ ist.
-\end{defn}
-
-\begin{kor}
-	\label{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex}
-	Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler auf $M$, also $\Ann_M(x) = 0$.
-	Dann ist $K(x) \otimes_A L$ ein azyklischer Komplex auf $M/xM$.
-	\begin{proof}
-		Aus \cref{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe} folgt:
-		\begin{align*}
-			H_p(K(x) \otimes_A L) &= 0 \qquad \text{für } p > 1 \\
-			H_1(K(x) \otimes_A L) &= H_1(x,M) = \Ann_M(x) = 0 \\
-			H_0(K(x) \otimes_A L) &= H_0(x,M) = M/xM
-		\end{align*}	
-	\end{proof}
-\end{kor}
-
-\section{Der allgemeine Koszul-Komplex}
-\label{sec:der-allgemeine-koszul-komplex}
-
-\begin{defn}
-	\label{defn:koszul-komplex}
-	Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
-	Mit $K(\bmx)$ oder auch mit $K(x_1,\ldots,x_r)$ bezeichnen wir folgenden Tensorprodukt-Komplex:
+\begin{defn}[Gruppe der Zykel eines Rings]
+    \label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings}
+    Sei $A$ ein noetherscher Ring.
+    Die freie abelsche Gruppe $Z(A) = \bigoplus_{\Spec(A)} \Z$ heißt \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$.
+    Ihre Elemente werden \textbf{Zykel} genannt.
+    Wir nennen einen Zykel $Z$ \textbf{positiv}, falls er von der Form
     \begin{equation*}
-        K(\bmx) = K(x_1)\otimes_A K(x_2) \otimes_A \cdots \otimes_A K(x_r)
-	\end{equation*}
-\end{defn}
-
-
-\begin{lem}
-	\label{lem:koszul-komplex-berechnung}
-	Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
-	Dann ist $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form
-    \begin{equation*}
-        e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \qquad 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le r
+        Z = \sum_{\mfp \in \Spec(A)} n(\mfp) \mfp
     \end{equation*}
-	erzeugt wird.
-	Insbesondere gilt also
-    \begin{equation*}
-        K_p(\bmx) \cong \bigwedge\nolimits^p(A^r).
-	\end{equation*}
-	Die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$ ist durch folgende Formel gegeben:
-	\begin{equation}
-		\label{eq:koszul-komplex-randabbildung}
-		d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) = \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
-	\end{equation}
-	Dabei verwenden wir die Konvention, dass das Symbol unter \enquote{$\widehat{\;}$} weggelassen wird.
-	\begin{proof}
-		Für $p\in \Z$ sei $I_p^r = \lbrace\bmi \subset \lbrace1,\ldots,r\rbrace \mid \#\bmi = p\rbrace$. Wir haben folgendes zu zeigen:
-		\begin{equation*}
-			K_p(\bmx) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
-		\end{equation*}
-		Dies beweisen wir durch Induktion über $r$.
-		Im Fall $r = 1$ gilt $I_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $I_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $I_p^1 = \emptyset$.
-		Damit folgt:
-		\begin{align*}
-			K_0(\bmx) &= K_0(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_0^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
-			K_1(\bmx) &= K_1(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_1^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
-			K_p(\bmx) &= K_p(x_1) = 0 = \bigoplus_{\bmi \in I_p^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) && \text{für }p \notin \lbrace0, 1\rbrace
-		\end{align*}
-		Für die Randabbildung $d\colon K_1(x_1) \to K_0(x_1)$ im Grad $1$ gilt
-		\begin{align*}
-			d(e_{x_{i_1}}) &= x_1 \cdot 1 \\
-			&= {(-1)}^{1 + 1} x_1 \widehat{e_{x_{i_1}}}\otimes 1 \\
-			&= \sum_{k=1}^1 {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(1 - 1 + 1)\text{-mal}}.
-		\end{align*}
-		In den anderen Graden ist die Randabbildung nach \cref{defn:koszul-komplex-einfach} immer $0$ und auch die Formel aus \cref{eq:koszul-komplex-randabbildung} ergibt $0$.
-
-		Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung für alle $s\in \N$ mit $0 \le s < r$ bereits bewiesen.
-		Sei außerdem $\bmx' = (x_1,\ldots,x_{r-1})$.
-		Dann gilt:
-		\begin{align*}
-			K_p(\bmx) &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
-			&= \bigoplus_{j \in \lbrace0,1\rbrace} K_{p - j}(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
-			&= \poplus\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_0(x_r)\\
-			&\peq \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_1(x_r)\\
-			&= \poplus\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
-			&\peq \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi \cup \lbrace r \rbrace}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus (\bmi \cup \lbrace r \rbrace)}K_0(x_i)\right)\right)\\
-			&=  \poplus \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \notin \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
-			&\peq \oplus \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
-			&= \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
-			&= \bigoplus_{\bmi \in I_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
-		\end{align*}
-		Nun betrachten wir die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$.
-		Dabei unterscheiden wir die zwei Fälle $r \in \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$ und $r \notin \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$. Im ersten Fall gilt:
-		\begin{align*}
-			& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{1}_{\in K_0(x_r)}) \\
-			=& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}})  \otimes 1 + {(-1)}^p e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\
-			=& \left(\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}\right) \otimes 1 \\
-			=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
-		\end{align*}
-		Im zweiten Fall können wir ohne Einschränkung $r = i_p$ annehmen.
-		Dann gilt:
-		\begin{align*}
-			& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r -  p)\text{-mal}}) \\
-			=&\pplus d(e_y{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{((r - 1) - (p - 1))\text{-mal}}) \otimes e_{x_{i_p}} \\
-			&+ {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes d(e_{x_{i_p}}) \\
-			=& \pplus \left( \sum_{k=1}^{p - 1} {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\right) \otimes e_{x_{i_p}} \\
-			& + {(-1)}^{p+1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes (x_{i_p} \cdot 1) \\
-			=& \pplus \sum_{\substack{k=1\\k\ne p}}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
-			& + {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
-			=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
-		\end{align*}
-	\end{proof}
-\end{lem}
-\begin{defn}[Koszul-Komplex]
-	\label{defn:koszul-komplex-modul}
-	Ist $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$. Wegen \cref{lem:koszul-komplex-berechnung} gilt
-	\begin{equation*}
-			K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right)
-	\end{equation*}
-	und die Randabbildung $K_p(\bmx, M) \to K_{p - 1}(\bmx, M)$ ist durch folgende Formel gegeben:
-	\begin{equation}
-		\label{eq:koszul-komplex-modul-randabbildung}
-		\begin{aligned}
-			&d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes m) \\
-			=&\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes m
-		\end{aligned}
-	\end{equation}
-	Wir bezeichnen den $p$-ten Homologiemodul von $K(\bmx, M)$ mit $H_p(\bmx, M)$.
-	Wir bezeichnen mit $\bmx$ auch das Ideal $(x_1, \ldots,x_r)$.
-	Offensichtlich gilt:
-	\begin{align*}
-		H_0(\bmx, M) &= M/\left(\bigoplus_{i = 1}^r x_i M \right)  = M/\bmx M \\
-		H_r(\bmx, M) &= \lbrace m \in M \mid x_i m = 0 \text{ für alle } i \rbrace
-	\end{align*}
+    mit $n(\mfp) > 0$ für alle $\mfp \in \Spec(A)$ ist.
 \end{defn}
 
-\begin{bem}
-	\label{bem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring}
-	Wenn wir den zu Grunde liegenden Ring $A$ nennen wollen, dann schreiben wir $K^A(\bmx)$, $H^A_p(\bmx)$, $K^A(\bmx, M)$ und $H^A_p(\bmx, M)$. Tatsächlich ist $K(\bmx, M)$ und damit auch $H_p(\bmx, M)$ aber nicht vom Grundring $A$ abhängig, sondern nur von der abelschen Gruppe $M$ und den Gruppenhomomorphismen $x_i\colon M \to M$, wie das folgende Lemma zeigt.
-\end{bem}
+\begin{defn}
+    \label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings-der-dimension}
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
+    Für alle $p \in \N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) =~p$ erzeugt wird.
+    Wir nennen $\Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ der Dimension $p$.
+    Offensichtlich gilt $Z(A) = \bigoplus_{p = 0}^n Z_p(A)$.
+\end{defn}
+
+Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln mit $K(A)$ und die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln von Dimension $\le p$ mit $K_p(A)$.
 
 \begin{lem}
-	\label{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring}
-	Seien $A$ und $B$ kommutative Ringe und sei $M$ sowohl ein $A$-Modul, als auch ein $B$-Modul.
-	Weiter seien $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$ eine Familie von Elementen aus $B$ mit der Eingeschaft, dass die Multiplikation mit $x_i$ und $y_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ jeweils den gleichen Gruppenhomomorphismus $\psi_i$ auf $M$ liefert.
-	Dann gibt es einen Isomorphismus vom Komplexen von abelschen Gruppen
-	\begin{equation*}
-		K^A(\bmx, M) \cong K^B(\bmy, M),
-	\end{equation*}
-	der natürlich in $M$ ist.
-	\begin{proof}
-		Es gilt:
-		\begin{align*}
-			K^A_p(\bmx, M) &= K^A_p(\bmx) \otimes_A M \\
-			&\cong A^{\binom{r}{p}} \otimes_A M \\
-			&\cong M^{\binom{r}{p}} \\
-			&\cong B^{\binom{r}{p}} \otimes_B M  \\
-			&\cong K^B_p(\bmy) \otimes_B M \\
-			&= K^B_p(\bmy, M)
-		\end{align*}
-		Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Ismorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*}
-			\phi_p \colon I_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
-		\end{equation*}
-		Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ liefern dann jeweils beide die Abbildung:
-		\begin{align*}
-			d\colon M^{\binom{r}{p}} &\to M^{\binom{r}{p - 1}} \\
-			(0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, i_{j - 1}, \widehat{i_{j}}, i_{j + 1}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0)
-		\end{align*}
-		Die Natürlichkeit ist klar.
-	\end{proof}
+    Sei $A$ ein noetherscher Ring und $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine kurze exakte Sequenz in $K(A)$.
+    Sind $M$ und $P$ in $K_p(A)$, so auch $N$.
+    \begin{proof}
+        Lokalisieren liefert sofort $\Supp(N) = \Supp(M) \cup \Supp(P)$, also
+        \begin{align*}
+            \dim_A(N) &= \sup_{\mfp \in \Supp(N)} \dim(A / \mfp) \\
+            &= \sup_{\mfp \in \Supp(M) \cup \Supp(P)} \dim(A / \mfp) \\
+            &= \max(\dim_A(M), \dim_A(P)). 
+        \end{align*}
+    \end{proof}
 \end{lem}
 
-\begin{defn}[Reguläre Folge]
-	\label{defn:regulaere-folge}
-	Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt \textbf{$\bm{M}$-reguläre Folge}, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler auf $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist.
+
+\begin{lem}
+    \label{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$.
+    Sei weiter $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$.
+    Dann ist $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
+
+    Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
+    \begin{proof}
+        Ist $\mfq \notin \Supp(M)$, so gilt $M_\mfq = 0$ und damit $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = 0 < \infty$.
+        Ist $\mfp \in \Supp(M)$, so gilt wegen $\dim_A(M) \le p$:
+        \begin{equation*}
+            \dim(A / \mfq) = p = \sup_{\mfp \in \Supp(M)} \dim(A / \mfp) = \dim_A(M)
+        \end{equation*}
+        Insbesondere gibt es kein $\mfp \in \Supp(M)$ mit $\mfp \subsetneq \mfq$.
+        Nun folgt
+        \begin{align*}
+            \Supp(M_\mfq) &= \Spec(A_\mfq / (\Ann_{A_\mfq}(M_\mfq))) \\
+            &= \Spec({(A / \Ann_A(M))}_\mfq) \\
+            &= \lbrace \mfp A_\mfq \mid \mfp \in \Supp(M) \wedge \mfp \subset \mfq \rbrace \\
+            &= \lbrace \mfq A_\mfq \rbrace,
+        \end{align*}
+        also enthält $\Supp(M_\mfq)$ nur das eindeutige Maximalideal von $A_\mfq$.
+        Mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
+
+        Aus der aufsteigenden Folge von Untermoduln von $M$ erhalten wir durch Lokalisieren an $\mfq$:
+        \begin{equation*}
+            0 = {M_0}_{\mfq} \subset \ldots \subset {M_s}_{\mfq} = M_\mfq
+        \end{equation*}
+        Dabei gilt
+        \begin{equation*}
+            {M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \cong {(M_i / M_{i - 1})}_\mfq \cong {(A / \mfr_i)}_\mfq,
+        \end{equation*}
+        also ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq$ genau dann $0$, wenn $(A \setminus \mfq) \cap \mfr_i \neq \emptyset$, also wenn $\mfr_i \not\subset \mfq$.
+        Wir wollen nun $\mfr_i \in \Supp(M)$ zeigen.
+        Dazu betrachten wir die kurzen exakten Sequenzen
+        \begin{equation*}
+            0 \to {M_{j - 1}}_{\mfr_i} \to {M_{j}}_{\mfr_i} \to {(M_j / M_{j - 1})}_{\mfr_i} \to 0.
+        \end{equation*}
+        Diese zeigen, dass ${M_j}_{\mfr_i} = 0$ genau dann gilt, wenn ${M_{j - 1}}_{\mfr_i} = 0$ und ${(M_j / M_{j - 1})}_{\mfr_i} = 0$.
+        Wir wissen aber
+        \begin{equation*}
+            {(M_i / M_{i - 1})}_{\mfr_i} = {(A / \mfr_i)}_{\mfr_i}  = \Quot(A / \mfr_i) \neq 0,
+        \end{equation*}
+        also folgt für alle $j \ge i$ induktiv ${M_j}_{\mfr_i} \neq 0$ und insbesondere $M_{\mfr_i} \neq 0$, also $\mfr_i \in \Supp(M)$.
+        Ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$, so haben wir oben bereits gesehen, dass $\mfr_i \subset \mfq$ gilt.
+        Aber wegen $\mfr_i \in \Supp(M)$ und weil $\mfq$ das einzige Primideal in $\Supp(M)$ ist, das in $\mfq$ enthalten ist, folgt bereits $\mfr_i = \mfq$.
+        Folglich gilt für alle ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$ bereits ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq = \Quot(A / \mfq)$ und insbesondere sind sie einfache $A_\mfq$-Moduln.
+        Durch Weglassen von gleichen Untermoduln erhalten wir also eine Kompositionsreihe von $M_\mfq$ über $A_\mfq$, deren Länge die Anzahl $k$ der Indizes $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfq$ ist.
+        Demnach gilt auch $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = k$.
+    \end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{defn}
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring.
+    Dann definieren wir folgende Funktion:
+    \begin{align*}
+        z_p \colon K_p(A) &\to Z_p(A) \\
+        M & \mapsto \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) \mfq
+    \end{align*}
+    Wir nennen $z_p(M)$ den zu $M$ gehörigen \textbf{Zykel} der Dimension $p$.
+    Da die Länge von $A$-Moduln additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist, ist es auch die Funktion $z_p$.
+    Ist $M \in K_{p - 1}(A)$ und $\mfq \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfq) = p$, so gilt $\mfq \notin \Supp(M)$, da $\dim(M) < p$.
+    Also folgt $z_p(M) = 0$ das heißt die funktion $z_p$ ist null auf ganz $K_{p - 1}(A)$.
 \end{defn}
 
-\begin{prop}
-	\label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun}
-	Wenn zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
-	\begin{proof}
-		Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist.
-
-		Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$.
-		Es gilt
-		\begin{align*}
-			H_p(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= 0 \qquad \text{für } p \ne 0, \\
-			H_0(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M,
-		\end{align*}
-		also ist $K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)$ ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$.
-		Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist
-		\begin{equation*}
-			K(\bmx, M) = K(x_r) \otimes_A K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)
-		\end{equation*}
-		nach \cref{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex} ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_r)M$ und damit folgt die Behauptung.
-	\end{proof}
-\end{prop}
-
 \begin{bem}
-	\label{bem:koszul-komplex-funktorialität}
-	Ist $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$, dann ist
-	\begin{equation*}
-		K(\bmx, \bullet)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A)
-	\end{equation*}
-	ein Funktor.
-	Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesodere flach.
-	Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$.
-	Desweiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus
-	\begin{equation*}
-		\psi_0 \colon H_0(\bmx, \bullet) \to (A/\bmx) \otimes_A \bullet
-	\end{equation*}
-	und weil ${(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}$ ein universeller $\delta$-Funktor von von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$ ist, setzt sich $\psi_0$ eindeutig zu einem Morphismus von $\delta$-Funktoren
-	\begin{equation*}
-		\psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}
-	\end{equation*}
-	fort.
+    Ist $A$ ein noetherscher lokaler Integritätsring der Dimension $n$, so ist $\mfq = (0)$ das einzige Primideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = n$.
+    Folglich gilt $Z_n(A) \cong \Z$.
+    Ist $M \in K_n(A)$, so gilt
+    \begin{equation*}
+        z_n(M) = \length_{A_{(0)}}(M_{(0)}) = \dim_{\Quot(A)}(M \otimes_A \Quot(A)) = \rk(M).
+    \end{equation*}
 \end{bem}
 
-\begin{kor}
-	\label{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}
-	Sei $\bmx$ eine $A$-reguläre Folge.
-	Dann ist
-	\begin{equation*}
-		\psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}
-	\end{equation*}
-	ein Isomorphismus von $\delta$-Funktoren.
-	\begin{proof}
-		Nach \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} ist $H_p(\bmx, A) = 0$ für $p > 0$ und es gilt $H_0(\bmx, A) = A / \bmx$.
-		Also ist $K(\bmx) = K(\bmx, A)$ ein azyklischer Komplex auf $A / \bmx$, also ist
-		\begin{equation*}
-			\cdots \to K_1(\bmx) \to K_0(\bmx) \to A / \bmx \to 0
-		\end{equation*}
-		eine Auflösung.
-		Da $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ ist, ist diese Auflösung frei.
-		Insbesondere ist sie projektiv und damit folgt die Behauptung.
-	\end{proof}
-\end{kor}
+\begin{defn}[Multiplizität eines Moduls]
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
+    Sei $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$.
+    Ist $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul, dann gilt insbesondere $\length_A(M / \mfa M) < \infty$ und mit \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} folgt $\deg(P_\mfa(M)) = \dim(M)$.
+    Wir nennen dann $e_\mfa(M) \coloneqq e_\mfa(M, \dim(M))$ die \textbf{Multiplizität} von $M$ bezüglich $\mfa$.
+    Allgemeiner betrachten wir $e_\mfa(M, p)$ für $\dim(M) \le p$.
+    Dies liefert uns eine Funktion
+    \begin{align*}
+        e_\mfa(\bullet, p) \colon K_p(A) &\to \N \\
+        M & \mapsto e_\mfa(M, p),
+    \end{align*}
+    die nach \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
+    Per Definition ist sie null auf $K_{p - 1}(A)$.
+    Ist $\mfa = \mfm$, so nennen wir $e_\mfa(M) = e_\mfm(M)$ die \textbf{Multiplizität} von $M$.
+    Insbesondere heißt $e_\mfm(A)$ die \textbf{Multiplizität} des lokalen Rings $A$.
+\end{defn}
 
-\begin{prop}
-	\label{prop:koszul-homologie-annihilator}
-	Sei $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul.
-	Für alle $p \in \Z$ gilt dann
-	\begin{equation*}
-		\bmx \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M))
-	\end{equation*}
-	und
-	\begin{equation*}
-		\Ann_A(M) \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M)).
-	\end{equation*}
-	\begin{proof}
-		Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$.
-		Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind außerdem $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph.
-		Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine reguläre Folge auf $M$ ist, folgt also
-		\begin{equation*}
-			H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M).
-		\end{equation*}
-		Durch den Ringhomomorphismus $A \hookrightarrow B$ wird auf $\Tor^B_p(A, M)$ eine $A$-Modulstruktur definiert, die offensichtlich mit der $A$-Modulstruktur von $H_p(\bmx, M)$ übereinstimmt.
-		Also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Ismomorphismus von $A$-Moduln.
-		Insbesondere gilt für alle $a \in A$ mit $a \in \Ann_B(\Tor^B_p(A, M))$ auch $a \in \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
-		Nun gilt
-		\begin{align*}
-			\Ann_{B}(\Tor^B_p(A,M)) &\supset \Ann_B(A) + \Ann_B(M) \\
-			&= (X_1, \ldots, X_r) + \Ann_B(M) \\
-			&\supset (X_1, \ldots, X_r) + \Ann_A(M) + (X_1 - x_1, \ldots, X_r - x_r)
-		\end{align*}
-		und es folgt die Behauptung.
-	\end{proof}
-\end{prop}
+\begin{lem}
+    Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \emph{Additivitäts-Formel}:
+    \begin{equation*}
+        e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
+    \end{equation*}
+    \begin{proof}
+        Es gibt einen aufsteigende Folge $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$ (siehe {}\cite[Chapter~I, Corollary~2 nach Proposition~5]{serre2000local}).
+        Wir wollen nun durch Induktion über $s$ zeigen, dass
+        \begin{equation*}
+            e_\mfa(M_s, p) = \sum_{i = 1}^s e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p)
+        \end{equation*}
+        gilt.
+        Wegen $M_1 = M_1 / M_0$ haben wir im Fall $s = 1$
+        \begin{equation*}
+            e_\mfa(M_1, p) = e_\mfa(M_1 / M_0, p) = \sum_{i = 1}^1 e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p).
+        \end{equation*}
+        Sei nun also $s > 1$ und die Behauptung bereits für $s - 1$ gezeigt.
+        Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
+        \begin{equation*}
+            0 \to M_{s - 1} \to M_s \to M_s / M_{s - 1} \to 0.
+        \end{equation*}
+        Mit \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} und der Induktionsvoraussetzung folgt dann
+        \begin{align*}
+            e_\mfa(M_s, p) &= e_\mfa(M_{s - 1}, p) + e_\mfa(M_s / M_{s - 1}, p) \\
+            &= \sum_{i = 1}^{s - 1} e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p) + e_\mfa(M_s / M_{s - 1}, p) \\
+            &= \sum_{i = 1}^s e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p).
+        \end{align*}
+        Wie bereits im Beweis von \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge} gesehen, gilt $\mfr_i \in \Supp(M)$ und damit folgt $\dim(A / \mfr_i) \le p$.
+        Ist $\dim(A / \mfr_i) < p$, so ist $e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p) = 0$, also folgt mit \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
+        \begin{equation*}
+            e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
+        \end{equation*}
+    \end{proof}
+\end{lem}
 
 \begin{bem}
-	\label{koszul-komplex-lokalisierung-und-vervollstaendigung}
-	Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
-	
-	Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) = {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph.
-
-	Statten wir die $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, so gilt $K(\bmx, \widehat{M}) = \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
-	\begin{equation*}
-		K_p(\bmx, \widehat{M}) \cong \bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
-		= \prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
-		\cong \widehat{\prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} M}
-		\cong \widehat{\bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} M}
-		\cong \widehat{K_p(\bmx, M)}
-	\end{equation*}
-	und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen.
+    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$ mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\bmx = (x_1, \ldots, x_n) \subset \mfm$ mit $\length_A(A / \bmx A) < \infty$.
+    Ist $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul, dann gilt $\length_A(M / \bmx M) < \infty$ und nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} gilt
+    \begin{equation*}
+        e_{\bmx}(M, n) = \chi(\bmx, M) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i h_i(\bmx, M),
+    \end{equation*}
+    wobei $h_i(\bmx, M)$ die Länge der $i$-ten Homologiegruppe des Koszul-Komplexes $K(\bmx, M)$ ist.
 \end{bem}
 
-\section{Die Filtrierung eines Koszul-Komplexes}
-\label{sec:die-filtrierung-eines-koszu-komplexes}
+\section{Reduktion auf die Diagonale}
+\label{sec:reduktion-auf-die-diagonale}
 
-\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik]
-	\label{defn:euler-poincare-charakteristik}
-	Sei $A$ ein Ring und $K$ ein beschränkter Komplex von $A$-Moduln.
-	Ist $\length_A(K_p) < \infty$ für alle $p \in \Z$, so definieren wir die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} von $K$ durch
-	\begin{equation*}
-		\chi(K) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A(K_p).
-	\end{equation*}
-	Ist $\length_A(H_p(K)) < \infty$ für alle $p \in \Z$, so definieren wir sie durch
-	\begin{equation*}
-		\chi(K) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A(H_p(K)).
-	\end{equation*}
-	Sind beide Voraussetzungen gegeben, so stimmen die beiden Definitionen überein, da die Länge additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
-\end{defn}
+Im Folgenden wollen wir das Verfahren der \emph{Reduktion auf die Diagonale} einführen.
 
-Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
-Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
-Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$.
-Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$.
+Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebraische Menge $V \cap W = V(I(V) + I(W))$ im allgemeinen nicht irreduzibel. Deswegen interessieren wir uns im Folgenden für eine irreduzible Komponente davon.
 
-\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik des Koszulkomplexes]
-	\label{defn:euler-poincare-charakteristik-des-koszul-komplexes}
-	Wir definieren die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} zu $(\bmx, M)$ durch
-	\begin{equation*}
-		\chi(\bmx, M) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \length_A(H_p(\bmx, M)).
-	\end{equation*}
-\end{defn}
+\begin{prop}
+    \label{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}
+    Sei $k$ ein Körper.
+    Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$ und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, dann gilt
+    \begin{equation*}
+        \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W)
+    \end{equation*}
+    Oder in algebraischer Sprache ausgedrückt:
+    Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt
+    \begin{equation*}
+        \height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp'').
+    \end{equation*}
+\end{prop}
 
-Das Samuel-Polynom $P_{\bmx}(M)$ ist nach \cref{thm:samuel-polynom} vom Grad $\le r$ und es gilt
+Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
+
+\begin{lem}
+    \label{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler}
+    Sei $A$ ein Ring und $\mfp$ ein minimales Primideal von $A$. 
+    Dann sind alle Elemente von $\mfp$ Nullteiler in $A$.
+    \begin{proof}
+        Ist $R = 0$, so ist die Aussage trivial, sei also im Folgenden $R \neq 0$.
+        Ist $B \subset A$, so bezeichnen wir das Komplement von $B$ in $A$ mit $\overline{B}$.
+        Sei $\mcZ(A)$ die Menge der Nullteiler von $A$ und sei $S$ die multiplikative Menge $\overline{\mfp} \cdot \overline{\mcZ(A)}$.
+        Es gilt $0 \notin S$, denn sonst wäre $0 = ab$ mit $a \in \overline{\mfp}$ und $b \in \overline{\mcZ(A)}$.
+        Dann gilt aber $b \in \mcZ(A)$ im Widerspruch zu $b \in \overline{\mcZ(A)}$.
+        Demnach gilt $R_S \neq 0$ und es gibt ein Primideal $\mfq'$ von $R_S$.
+        Dieses entspricht einem Primideal $\mfq$ von $R$ mit $\mfq \cap S = \emptyset$, also $\mfq \subset \overline{S}$.
+        Wegen $R \neq 0$ gilt $1 \notin \mcZ(A)$ und da $\mfp$ prim ist, gilt $1 \notin \mfp$.
+        Es folgt $S \supset \overline{\mfp} \cup \overline{\mcZ(A)}$ und damit $\overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A)$.
+        Insgemsamt erhalten wir also
+        \begin{equation*}
+            \mfq \subset \overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A).
+        \end{equation*}
+        
+        Da $\mfp$ aber ein minimales Primideal ist, gilt bereits
+        \begin{equation*}
+            \mfp = \mfq \subset \mcZ(A).
+        \end{equation*}
+    \end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{lem}
+    \label{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal}
+    Seien $A'$ und $A''$ integre endlich erzeugte $k$-Algebren.
+    Für jedes minimale Primideal $\mfp$ von $A' \otimes_k A''$ gilt dann
+    \begin{equation*}
+        \dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) = \dim(A' \otimes_k A'') = \dim(A') + \dim(A'').
+    \end{equation*}
+    \begin{proof}
+        Nach dem noetherschen Normalisierungssatz gibt es $B' = k[X_1, \ldots, X_n]$ und $B'' = k[Y_1, \ldots, Y_m]$ mit der Eigenschaft, $A'$ ganz über $B'$ und $A''$ ganz über $B''$ sind.
+        Nach dem Going Up Theorem gilt dann $\dim(A') = \dim(B')$ und $\dim(A'') = \dim(B'')$. Weiter gilt
+        \begin{equation*}
+            B' \otimes_k B'' = k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_m] \cong k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m],
+        \end{equation*}
+        \begin{equation*}
+            \dim(B' \otimes_k B'') = n + m = \dim(B') + \dim(B'').
+        \end{equation*}
+        Ist $a \in A'$, so gibt es eine Ganzheitsgleichung
+        \begin{equation*}
+            a^r + \alpha_{r - 1} a^{r - 1} + \cdots + \alpha_1 a + \alpha_0 = 0
+        \end{equation*}
+        mit gewissen $\alpha_i \in B'$.
+        Ist nun $b \in A''$, dann gilt
+        \begin{align*}
+            & {(a \otimes b)}^r + {(\alpha_{r - 1} \otimes b)(a \otimes b)}^{r - 1} + \cdots + (\alpha_1 \otimes b^{r - 1})(a \otimes b) + \alpha_0 \otimes b^r \\
+            =& (a^r + \alpha_{r - 1} a^{r - 1} + \cdots + \alpha_1 a + \alpha_0) \otimes b^r  = 0.
+        \end{align*}
+        Also ist $a \otimes b$ ganz über $B' \otimes_k A''$.
+        Da alle Elemente aus $A' \otimes_k A''$ Summen von Elementen der Form $a \otimes b$ sind, ist folglich $A' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k A''$.
+        Das gleiche Argument zeigt nun, dass $B' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k B''$ ist und wegen der Transitivität der Ganzheit folgt, dass $A' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k B''$ ist.
+
+        Seien nun $K', K'', L', L''$ jeweils die Quotientenkörper von $A', A'', B', B''$.
+        Dann haben wir folgendes kommutative Diagramm von Injektionen:
+        \begin{center}
+            \begin{tikzcd}
+                0 \ar[r] & L' \otimes_k L'' \ar[r]  &K' \otimes_k K'' \\
+                0 \ar[r] & B' \otimes_k B'' \ar[u] \ar[r] & A' \otimes_k A'' \ar[u] \\
+                & 0 \ar[u] & 0 \ar[u]
+            \end{tikzcd}
+        \end{center}
+        Da $K'$ ist als $L'$-Vektorraum frei über $L'$ und $K''$ ist als $L''$-Vektorraum frei über $L''$.
+        Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, ist also $K' \otimes_k K''$ frei über $L' \otimes_k L''$.
+        Insbesondere ist $K' \otimes_k K''$ ein torsionsfreier $B' \otimes_k B''$-Modul.
+        Betrachte nun $x \in \mfp \cap B' \otimes_k B''$.
+        Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$, also gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$.
+        Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei.
+        Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$.
+        Das Going Up Theorem liefert uns nun
+        \begin{align*}
+            \dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) &= \dim(B' \otimes_k B'') \\
+            &= \dim(B') + \dim(B'')\\
+            &= \dim(A') + \dim(A'').
+        \end{align*}
+    \end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{lem}
+    \label{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale}
+    Sei $k$ ein Körper und $A$ eine $k$-Algebra.
+    Sei außerdem $C = A \otimes_k A$ und sei $\phi \colon C \to A$ der durch $\phi(a \otimes b) = ab$ definierte Homomorphismus. Dann gilt:
+    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+        \item Der Kern $\mfd$ von $\phi$ ist das Ideal von $C$, das von den Elementen der Form
+        \begin{equation*}
+            1 \otimes a - a \otimes 1, \qquad a \in A
+        \end{equation*}
+        erzeugt wird.
+        \item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$.
+    \end{enumerate}
+    \begin{proof}\leavevmode
+        \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+            \item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist.
+            Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$.
+            Dann gilt:
+            \begin{align*}
+                - \sum_{i = 1}^n (1 \otimes a_i - a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1 - 1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\
+                &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) - (1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\
+                &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i - 1 \otimes a_i b_i \\
+                &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i
+            \end{align*}
+            Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $a_i \otimes b_i$ erzeugten Ideal enthalten.
+            \item Sind $a' \in \mfp'$ und $a'' \in \mfp''$, so gilt \begin{equation*}
+                \phi(a' \otimes 1 + 1 \otimes a'') = \phi(a' \otimes 1) + \phi(1 \otimes a'') = a' + a''.
+            \end{equation*}
+            Es folgt also
+            \begin{equation*}
+                \phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \supset \mfp' + \mfp''.
+            \end{equation*}
+            Sind umgekehrt $a' = \sum_{i = 1}^n a_i' \otimes b_i' \in \mfp' \otimes_k A$ und $a'' = \sum_{i = 1}^m b_i'' \otimes a_i'' \in A \otimes_k \mfp''$, so gilt
+            \begin{equation*}
+                \phi(a' + a'') = \phi\left(\sum_{i = 1}^n a_i' \otimes b_i' + \sum_{i = 1}^m b_i'' \otimes a_i''\right) = \underbrace{\sum_{i = 1}^n a_i' b_i'}_{\in \mfp'} + \underbrace{\sum_{i = 1}^m b_i'' a_i'}_{\in \mfp''} \in \mfp' + \mfp''.
+            \end{equation*}
+            Es folgt also auch
+            \begin{equation*}
+                \phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \subset \mfp' + \mfp''.
+            \end{equation*}
+        \end{enumerate}
+    \end{proof}
+\end{lem}
+
+Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} beweisen:
+\begin{proof}[Beweis von \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}]
+    Sei $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $C = A \otimes_k A$, $D = A / \mfp' \otimes_k A / \mfp''$ und $\mfr = \mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$.
+    Sei außerdem $\phi$ wie in \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} und $\mfd$ der Kern von $\phi$.
+    Wir haben folgende kurze exakte Sequenz:
+    \begin{equation*}
+        0 \to \mfr \to C \to D \to 0
+    \end{equation*}
+    Das Primideal $\mfP = \phi^{-1}(\mfp)$ ein minimales Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, denn $(0) \subset \mfp$ und angenommen $\mfP'$ ein Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, das in $\mfP$ enthalten ist, so gilt
+    \begin{equation*}
+        \mfp = \phi(\mfP) \supset \phi(\mfP') \supset \mfp' + \mfp''.
+    \end{equation*} 
+    Da $\phi(\mfP')$ wegen der Surjektivität von $\phi$ ein Primideal ist, und weil $\mfp$ ein minimales Primideal in $V(\mfp' + \mfp'')$ ist, folgt
+    \begin{equation*}
+        \mfP' = \phi^{-1}(\phi(\mfP')) + \ker(\phi) = \phi^{-1}(\mfp) + \ker(\phi) = \mfP.
+    \end{equation*}
+    Sei $\mfd'$ das Bild von $\mfd$ in $D$, dann entsprechen die Elemente aus $V(\mfd')$ wegen der obigen kurzen exakten Sequenz genau den Elementen in $V(\mfd + \mfr)$.
+    Das Bild $\mfQ$ von $\mfP$ in $D$ ist also ein minimales Primideal in $V(\mfd')$.
+    Nach \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} wird $\mfd$ von den $n$ Elementen $1 \otimes X_i - X_i \otimes 1$ erzeugt.
+    Die minimale Anzahl von Erzeugern von $\mfd'$ ist also $\le n$ und, da $\mfQ$ ein minimales Primideal über $\mfd'$ ist, folgt $\height(\mfQ) \le n$.
+    Sei $\mfQ_0$ ein minimales primideal von $D$, das in $\mfQ$ enthalten ist, dann gilt $\height(\mfQ / \mfQ_0) \le n$.
+    Nach \cref{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal} gilt
+    \begin{equation*}
+        \dim(D / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'').
+    \end{equation*}
+    Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist es auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfq_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer.
+    Für Primideale $\mfq$ von $D/\mfQ_0$ gilt also
+    \begin{equation*}
+        \height(\mfq) + \dim((D / \mfQ_0) / \mfq) = \dim(D / \mfQ_0)
+    \end{equation*}
+    (vergleiche {}\cite[Chapter~III, Part~D, Proposition~15]{serre2000local}).
+    Insbesondere gilt
+    \begin{equation*}
+        \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim((D / \mfQ_0)/(\mfQ / \mfQ_0)) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim(D / \mfQ).
+    \end{equation*}
+    Nach Konstruktion gilt $A / \mfp \cong D / \mfQ$ und wir erhalten insgemsamt
+    \begin{equation*}
+        n \ge \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'') - \dim(A / \mfp),
+    \end{equation*}
+    also
+    \begin{equation*}
+        n - \dim(A / \mfp) \le n - \dim(A / \mfp') + n - \dim(A / \mfp'').
+    \end{equation*}
+    Da $A$ eine integre endlich erzeugte $k$-Algebra ist, folgt
+    \begin{equation*}
+        \height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp'').
+    \end{equation*}
+\end{proof}
+
+Der obige Beweis basiert auf dem Ersetzen des Tripels $(A; \mfp', \mfp'')$ durch das Tripel $(A \otimes_k A; \mfd, \mfr)$. Dieses Verfahren wird \textbf{Reduktion auf die Diagonale} genannt. Es ist das algebraische Analogon zur Mengentheoretischen Formel $V \cap W = (V \times W) \cap \Delta$.
+
+Ist nämlich $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sind $U$ und $V$ algebraische Mengen in $\A_k^n$ und ist $\Delta$ die Diagonale in $\A^n_k \times_{\Spec(k)} \A^n_k \cong \A^{2n}_k$, dann gilt nach Definition $\Delta \cong \A^n_k$ und dieser Isomorphismus identifiziert $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$ mit $U \cap V$.
+Seien $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $U = V(\mfp)$, $V = V(\mfq)$ und $\Delta = \Spec((A \otimes_k A) / \mfd)$, wobei $\mfd$ der Kern des surjektiven Homomorphismus
+\begin{align*}
+    \phi \colon A \otimes_k A &\to A \\
+    a \otimes b &\mapsto ab
+\end{align*}
+ist.
+Sei außerdem $\mfd'$ das Bild von $\mfd$ in $A / \mfp \otimes_k A / \mfq$.
+Dann sind
 \begin{equation*}
-	P_{\bmx}(M, r) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n),
+    A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong A / (\mfp + \mfp)    
 \end{equation*}
-wobei $Q$ ein Polynom in $\in \Q[X]$ vom Grad $< r$ ist und wir mit $e_{\bmx}(M, r)$ das konstante Polynom $\Delta^r P_{\bmx}(M)$ bezeichnen.
+und
+\begin{equation*}
+    (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) / \mfd' 
+\end{equation*}
+jeweils die Koordinatenringe von $U \cap V$ und $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$.
+Die obige Aussage übersetzt sich dann auf folgende Weise in algebraische Sprache:
+\begin{equation}
+   (A \otimes_k A) / \mfd \cong A
+\end{equation}
+\begin{equation}
+   A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd
+\end{equation}
+Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Indeal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln.
+Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur.
+Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen
+\begin{equation}
+    \Tor^B_n(M \otimes_k N, A) \cong \Tor^A_n(M, N). \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall}
+\end{equation}
+Ist also
+\begin{equation*}
+    \cdots \to L_1 \to L_0 \to A \to 0
+\end{equation*}
+eine $B$-projektive Auflösung, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen
+\begin{equation*}
+    \Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{\bullet}).
+\end{equation*}
+Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i - 1 \otimes 1 - X_i$, $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ erzeugte Ideal. Offensichtlich ist $\bmX = {(X_i - 1 \otimes 1 - X_i)}_{i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace}$ eine $B$-reguläre Folge und es gilt
+\begin{equation*}
+    H^B_0(\bmX, B) = B / \mfd \cong A.
+\end{equation*}
+Mit \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} folgt also, dass $K^B(\bmX, B)$ eine $B$-freie und damit $B$-projektive Auflösung von $A$ ist.
+Es folgt
+\begin{equation}
+\label{eq:tor-koszul}
+    \Tor^A_n(M, N) \cong  H_n((M \otimes_k N) \otimes_B K^B(\bmX, B)) = H_n^B(\bmX, M\otimes_k N).
+\end{equation}
 
-Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M, r)$ miteinander vergleichen.
+Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukte verallgemeinern.
+
+\section{Vervollständigte Tensorprodukte}
+\label{sec:vervollständigte-tensorprodukte}
+
+\begin{defn}[Vervollständigtes Tensorproduk]
+    \label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt}
+    Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
+    Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
+    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
+    Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind.
+    Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
+    Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
+
+    Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\BTor$-Funktoren} durch
+    \begin{equation}
+        \widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
+    \end{equation}
+    Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt}
+    \begin{equation}
+        M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
+    \end{equation}
+\end{defn}
+
+Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
+
+\begin{prop}
+    \label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}
+    Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
+    Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
+    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
+    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+        \item Es gilt
+        \begin{equation}
+            \label{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale}
+            \widehat{\Tor}^k_i(M, N) \cong \varprojlim_{p} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_p)
+        \end{equation}
+        und
+        \begin{align*}
+            \widehat{\Tor}^k_i(M, N) &\cong \varprojlim_{p} \varprojlim_{q}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \\
+            &\cong \varprojlim_{q}\varprojlim_{p}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
+        \end{align*}
+        \item\label{item:unabhaengig-von-filtrierung} Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig.
+        \item\label{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} Wir haben kanonische Morphismen
+        \begin{equation*}
+            M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            \hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
+        \end{equation*}
+        Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollsändigung von $M \otimes_k N$.
+        \item Der Ring $A \widehat{\otimes}_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei
+        \begin{equation*}
+            \mfr = \mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfn.
+        \end{equation*}
+        Allgemeiner ist $\widehat{\Tor}^i_k(M, N)$ vollständig bezüglich der der $\mfr$-adischen Topologie.
+        Es gilt
+        \begin{equation*}
+            (A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
+        \end{equation*}
+        Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
+        Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
+        \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
+        \begin{align*}
+            \cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
+            &\to \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N) \\
+            &\to \Tor^k_{n - 1}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N) \to \cdots
+        \end{align*}
+        eine exakte Sequenz
+        \begin{equation*}
+            \cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots.
+        \end{equation*}
+        \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-requläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$.
+        Dann gilt für alle $i > n - r$:
+        \begin{equation*}
+            \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0
+        \end{equation*}
+    \end{enumerate}
+    \begin{proof}\leavevmode
+        \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+            \item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich.
+            \item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$.
+            Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (vergleiche {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$.
+            Sei
+            \begin{equation*}
+                \phi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n)
+            \end{equation*}
+            der kanonische Morphismus.
+            Ist nun $l \in \N$, so gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und wir erhalten einen Morphismus
+            \begin{equation*}
+                M/M_m \to M/M'_l
+            \end{equation*}
+            und damit für alle $n \in \N$ einen Morphismus
+            \begin{equation*}
+                \alpha_{m,l,n}\colon \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n).
+            \end{equation*}
+            Sind $m, m' \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$, $M_{m'} \subset M'_l$ und $M_m \subset M_{m'}$, so ist das Diagramm
+            \begin{center}
+                \begin{tikzcd}
+                    M / M_{m'} \ar[d, two heads] \ar[r, two heads] & M / M'_l \ar[d, equal] \\
+                    M / M_m \ar[r, two heads] & M / M'_l
+                \end{tikzcd}
+            \end{center}
+            offensichtlich kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
+            \begin{center}
+                \begin{tikzcd}
+                    \Tor^k_i (M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
+                    \Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
+                \end{tikzcd}
+            \end{center}
+            Wir definieren nun
+            \begin{equation*}
+                \psi_{l, n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
+            \end{equation*}
+            durch $\psi_{l, n} = \alpha_{m, l, n} \circ \phi_{m, n}$, wobei $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$.
+            Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $m$, wie das folgende kommutative Diagramm zeigt:
+            \begin{center}
+                \begin{tikzcd}
+                    \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i (M / M_p, N / N_q) \ar[r, "\phi_{m, n}"] \ar[dr, "\phi_{m', n}"'] & \Tor^k_i (M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
+                    &\Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
+                \end{tikzcd}
+            \end{center}
+            Ist nun $l' > l$, also $M'_l \subset M'_{l'}$, dann gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und damit ist das Diagramm
+            \begin{center}
+                \begin{tikzcd}
+                    & M / M_m \ar[dl] \ar[dr]\\
+                    M / M'_{l'} \ar[rr] & & M / M'_l
+                \end{tikzcd}
+            \end{center}
+            kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
+            \begin{center}
+                \begin{tikzcd}
+                    & \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i (M / M_p, N / N_q) \ar[d, "\phi_{m, n}"] \ar[ddl, bend right=15, "\psi_{l',n}"'] \ar[ddr, bend left=15, "\psi_{l,n}"] \\
+                    & \Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[dl, "\alpha_{m, l', n}"] \ar[dr, "\alpha_{m, l, n}"'] \\
+                    \Tor^k_i (M / M'_{l'}, N / N_n) \ar[rr] & & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
+                \end{tikzcd}
+            \end{center}
+            Nach der Definition von $\alpha_{m, l, n}$ ist es offensichtlich, dass $\psi_{l,n}$ auch mit Variationen in $n$ kompatibel ist.
+            Sei
+            \begin{equation*}
+                \varphi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_m, N / N_n)
+            \end{equation*}
+            der kanonische Morphismus.
+            Dann erhalten wir einen eindeutigen Morphismus
+            \begin{equation*}
+                \Phi \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q)
+            \end{equation*}
+            mit $\psi_{l,n} = \varphi_{l,n} \circ \Phi$.
+            Vertauschen wir nun die Rollen der Filtrierungen $(M_p)$ und $(M'_p)$, so erhalten wir einen eindeutigen Morphismus
+            \begin{equation*}
+                \Phi^{-1} \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q)
+            \end{equation*}
+            und das übliche Argument zu universellen Eigenschaften liefert uns, dass diese beiden Morphismen tatsächlich zueinander inverse Isomorphismen sind.
+            \item Die Morphismen $M \to M / M_p$ und $N \to N / N_q$ liefern wegen der universellen Eigenschaft des projektiven Limes die Morphismen $M \to \varprojlim\limits_p(M / M_p)$ und $N \to \varprojlim\limits_q(N / N_q)$ und wir erhalten einen Morphismus
+            \begin{equation*}
+                M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
+            \end{equation*}
+            wie gewünscht.
+
+            Die kanonischen Morphismen $\hat{M} \cong \varprojlim\limits_p (M / M_p) \to M / M_p$ und $\hat{N} \cong \varprojlim\limits_q (N / N_q) \to N / N_q$
+            liefern uns Morphismen
+            \begin{equation*}
+                \hat{M} \otimes_k \hat(N) \to M / M_p \otimes_k N / N_q
+            \end{equation*}
+            und die universelle Eigenschaft des projektiven Limes liefert uns wie gewünscht den Morphismus
+            \begin{equation*}
+                \hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
+            \end{equation*}
+
+            Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \widehat{\otimes}_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
+            Folglich gilt:
+            \begin{equation*}
+                \label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts}\tag{$\bigcirc$}
+                \begin{aligned}
+                    M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
+                    &\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
+                    &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
+                    &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))
+                \end{aligned}
+            \end{equation*}
+            Nun gilt offensichtlich
+            \begin{equation*}
+                {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p = \sum_{s + t = p} \mfm^s \otimes_k \mfn^t \supset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p.
+            \end{equation*}
+
+            Sind andererseits $s, t \in \N$ mit $s + t = 2p$, so gilt $s \ge p$ oder $t \ge p$ und damit folgt $\mfm^s \otimes_k \mfn^t \subset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p$, also
+            \begin{equation*}
+                \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2n} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}.
+            \end{equation*}
+            Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung ${((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))}_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt
+            \begin{equation*}
+                M \widehat{\otimes}_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)).
+            \end{equation*} 
+
+            \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
+            Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ voll ständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist.
+            Es gilt also auch
+            \begin{equation*}
+                (A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes _k) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
+                \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
+            \end{equation*}
+            und
+            \begin{equation*}
+                (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
+            \end{equation*}
+
+            Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
+            Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
+            Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
+            
+            Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
+
+            Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ ind $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$.
+            Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$.
+            Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
+            \item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
+            Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
+            \begin{gather*}
+                \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N),\\
+                \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N), \\
+                \Tor^k_{n}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N)
+            \end{gather*}
+            Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und mit {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA} folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist.
+            \item Wegen
+            \begin{equation*}
+                \widehat{\Tor}^k_i(M, N) = \varprojlim_{n}\widehat{\Tor}^k_i(M, N / \mfq^n N)
+            \end{equation*}
+            genügt es die Behuptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen.
+            Ist $i > n$, so gilt für alle $p,q \in \N$, dass $\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) = 0$, also auch $\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = 0$.
+            Dann liefert uns die kurze exakte Sequenz
+            \begin{equation*}
+                \label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1}\tag{$\ast$}
+                0 \longrightarrow M \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} M \to M / a_1 M \to 0
+            \end{equation*}
+            wegen \cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} die exakte Sequenz
+            \begin{equation*}
+                0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_n(M, N).
+            \end{equation*}
+            Da $\length_k(N) < \infty$ wird die Kette
+            \begin{equation*}
+                N \supset a_1 N \supset a_1^2 N \supset \cdots
+            \end{equation*}
+            stationär, das heißt es gibt ein $n_0 \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n \ge n_0$ gilt:
+            \begin{equation*}
+                a_1^n N = a_1^{n+1} N
+            \end{equation*}
+            Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, liefert das Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
+            Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft.
+            Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein $0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)$ mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$, also ist $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$.
+            Dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$.
+
+            Im Fall $r > 1$ ist $\lbrace a_2, \ldots, a_r \rbrace$ eine $(M / a_1)$-Folge der Länge $r - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung angewendet auf $M / a_1$ folgt $\widehat{\Tor}^k_i(M / a_1, N)$ = 0 für alle $i > n - (r - 1)$.
+            Wir erhalten also aus \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1} die exakte Sequenz
+            \begin{equation*}
+                0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N)
+            \end{equation*}
+            und mit dem gleichen Argument wie oben folgt $\widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) = 0$.
+        \end{enumerate}
+    \end{proof}
+\end{prop}
+
+\begin{bem}
+    Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ bestehn.
+    Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
+\end{bem}
+
+Wir wollen nun den für uns wichtigsten Fall untersuchen, nämlich dass $k$ ein Körper ist, $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
+In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) =~0$ für $i > 0$, denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
+Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$ ist, wobei
+\begin{equation*}
+    \mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
+\end{equation*}
+Sei nun $C = k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ der formale Potenzreihenring in $2n$ Variablen.
+Dann haben wir eine Einbettung
+\begin{align*}
+    \phi \colon A \otimes_k B &\to C\\
+    f \otimes g & \mapsto fg
+\end{align*}
+(siehe {}\cite[Proposition~3.1]{bardavid11aneffective}) und das Bild von $\mfr$ unter dieser Einbettung ist offensichtlich $(X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$.
+Desweiteren gilt $k[X_1, \ldots, X_n] \subset A$ und $k[Y_1, \ldots, Y_n] \subset B$ und da Polynomringe und formale Potenzreihenringe flach sind, haben wir eine Injektion
+\begin{equation*}
+    k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] \hookrightarrow A \otimes_k B \hookrightarrow C,
+\end{equation*}
+der offenbar dem Morphismus
+\begin{align*}
+    k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] &\to C \\
+    f \otimes g & \mapsto fg
+\end{align*}
+entspricht.
+Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$.
+Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$ bezüglich $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$, also folgt bereits
+\begin{equation*}
+    A \widehat{\otimes}_k B \cong C.
+\end{equation*}
+
+\begin{prop}
+    \label{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring}
+    Sei $k$ ein Körper und sei $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$, und sei $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. Sei $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
+    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
+    Dann gilt 
+    \begin{equation}
+        \label{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe}
+        \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A).
+    \end{equation}
+    \begin{proof}
+        Es sei nun $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
+        Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
+        Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
+        Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus
+        \begin{equation*}
+            \gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \widehat{\otimes}_k N).
+        \end{equation*}
+        Ist $\mfm$ das eindeutige Maximalideal von $A$, so sind die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal, und es folgt
+        \begin{equation*}
+            \gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N).
+        \end{equation*}
+        Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, zeigt dies, dass der obige Morphismus ein Isomorphismus ist.
+        Also gilt
+        \begin{equation*}
+            \dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N)
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            e_\mfs(M \widehat{\otimes}_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)).
+        \end{equation*}
+
+        Sind
+        \begin{equation*}
+            \cdots \to K_1 \to K_0 \to M \to 0
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            \cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0
+        \end{equation*}
+        jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist ${(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)}_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.
+        Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
+        Dann gilt
+        \begin{equation*}
+            K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A
+        \end{equation*}
+        und wir erhalten die Formel für der Reduktion auf die Diagonale:
+        \begin{equation*}
+            \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A)
+        \end{equation*}
+    \end{proof}
+\end{prop}
+
+\section{Reguläre Ringe gleicher Charakteristik}
+\label{regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
+
+Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \widehat{\otimes}_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
+Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
+Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} und \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
+\begin{equation*}
+    \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \widehat{\otimes}_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \widehat{\otimes}_k N)
+\end{equation*}
+
+Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so auch $\Tor^A_i(M, N)$.
+Außerdem ist auch
+\begin{equation*}
+    (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfd (M \widehat{\otimes}_k N) \cong M \widehat{\otimes}_k N \otimes C / \mfd \cong M \otimes_k N
+\end{equation*}
+von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} ist dann die Euler-Poincaré-Charakteristik
+\begin{equation*}
+    \chi(M, N) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
+\end{equation*}
+gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$ bezüglich $\mfd$.
+Folglich gilt
+\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+    \item $\chi(M, N) \ge 0$,
+    \item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$,
+    \item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
+\end{enumerate}
+
+Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgemeinern.
+
+\begin{defn}[Regulärer Ring gleicher Charakteristik]
+    \label{defn:regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
+    Ist $A$ ein Integritätsring, so nennen wir $A$ von \textbf{gleicher Charakteristik}, wenn für alle $\mfp \in \Spec(A)$ die Ringe $A$ und $A / \mfp$  die gleiche Charakteristik haben.
+
+    Ist $A$ ein regulärer Ring und $\mfp \in \Spec(A)$, so ist $A_\mfp$ ein regulärer lokaler Ring und damit ein Integritätsring (siehe {}\cite[Theorem~164]{kaplansky1974commutative}).
+    Wir nennen $A$ von gleicher Charakteristik, falls für alle $\mfp \in \Spec(A)$ der Ring $A_\mfp$ von gleicher Charakteristik ist.
+\end{defn}
 
 \begin{thm}
-	\label{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}
-	Es gilt $\chi(\bmx, M) = e_{\bmx}(M, r)$.
-	\begin{proof}
-		Wir gehen in mehreren Schritten vor:
-		\begin{enumerate}
-			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-1} Sei $K = K(\bmx, M)$. Wir definieren eine absteigende Filtrierung auf $K$ durch
-			\begin{equation*}
-				{(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p.
-			\end{equation*}
-			Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung auf $K$.
-			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring.
-			Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$.
-			Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$.
-			Sei $\gr(M)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $M$ gehörige graduierte $\gr(A)$-Modul.
-			Dann gilt
-			\begin{equation*}
-				\gr(K) \coloneqq \bigoplus_{i \in \Z} F^i K / F^{i + 1} K \cong K(\bmy, \gr(M)),
-			\end{equation*}
-			denn
-			\begin{align*}
-				{\gr(K)}_p &= \bigoplus_{i \in \Z}{(F^i K)}_p / {(F^{i + 1} K)}_p \\
-				&= \bigoplus_{i \in \Z} x^{i - p}K_p / x^{i + 1 - p}K_p \\
-				&= \bigoplus_{i \in \Z} x^i K_p / x^{i + 1}K_p \\
-				&\cong \bigoplus_{i \in \Z} x^i M^{\binom{r}{p}} / x^{i + 1} M^{\binom{r}{p}} \\
-				&\cong {\left(\bigoplus_{i \in \Z} x^i M / x^{i + 1} M \right)}^{\binom{r}{p}} \\
-				&= {\gr(M)}^{\binom{r}{p}} \\
-				&\cong K_p(\bmy, \gr(M))
-			\end{align*}
-			und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen der beiden Komplexe.
-			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Weil $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul ist, ist $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul. 
-			Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln.
-			Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugte Moduln über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$.
-			Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar als endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
-			Nach dem gleichen Argument, das wir bereits für die Wohldefiniertheit der Euler-Poincaré-Charakteristik verwendet haben, folgt dann, dass die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ alle endliche Länge haben.
-			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} Da $H_p(\bmy, \gr(M)) = 0$ für $p \notin \lbrace 0, \ldots, r \rbrace$ und wegen
-			\begin{equation*}
-				H_p(\bmy, \gr(M)) = \bigoplus_{i \in \Z} H_p(F^i K / F^{i + 1}K)
-			\end{equation*}
-			gibt es also ein $m \ge 0$ mit der Eigenschaft, dass $H_p(F^i K / F^{i + 1}K) = 0$ für alle $i > m$ und alle $p \in \Z$. Ohne Einschränkung können wir $m \ge r$ annehmen.
-			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} Wir zeigen nun $H_p(F^i K / F^{i + j} K) = 0$ für alle $p \in \Z$, $i > m$ und $j \ge 0$ durch Induktion über $j$:
-			Im Fall $j = 0$ ist die Behauptung trivial.
-			Sei also nun $j \ge 1$ und die Behauptung für $j - 1$ bereits gezeigt.
-			Wir betrachten folgende kurze exakte Sequenz von Komplexen:
-			\begin{equation*}
-				0 \to F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j - 1}K \to 0
-			\end{equation*}
-			Dies liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz:
-			\begin{align*}
-				\cdots &\to H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K) \to \\
-				& \to H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to \cdots
-			\end{align*}
-			Nach Voraussetzung ist $j \ge 1$, also ist $i + j - 1 > m$ und damit folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} $H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$.
-			Nach Induktionsvoraussetzung gilt $H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$, das heißt wir erhalten für alle $p \in \Z$ die kurze exakte Sequenz
-			\begin{equation*}
-				0 \to 0 \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to 0 \to 0,
-			\end{equation*}
-			also muss auch $H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) = 0$ gelten.
-			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-6} Seien $Z^i_p$ und $B^i_p$ jeweils die Moduln der Zykel und Ränder in ${(F^i K)}_p$.
-			Nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} gilt $H_p(F^i K / \bmx^j {(F^i K)}_p) = 0$ für alle $j \ge 0$, also
-			\begin{equation*}
-				Z^i_p \subset B^i_p + \bmx^j {(F^i K)}_p.
-			\end{equation*}
-			Damit folgt
-			\begin{equation*}
-				Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p},
-			\end{equation*}
-			wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet.
-			Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}).
-			Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$.
-			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen
-			\begin{equation*}
-				0 \to F^i K \to K \to K / F^i K \to 0.
-			\end{equation*}
-			Diese liefert folgende lange exakte Homologiesequenz:
-			\begin{equation*}
-				\cdots \to H_p(F^i K) \to H_p(K) \to H_p(K / F^i K) \to H_{p - 1}(F^i K) \to \cdots
-			\end{equation*}
-			Ist $i > m$, so ist $H_p(F^i K) = 0$ für alle $p \in \Z$ und es folgt, dass der natürliche Morphismus
-			\begin{equation*}
-				H_p(\bmx, M) = H_p(K) \to H_p(K / F^i K)
-			\end{equation*}
-			für alle $p \in \Z$ ein Isomorphismus ist.
-
-			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-8} Wegen $\length_A(M/\bmx M) < \infty$ sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente in $\Supp(M) \cap V(\bmx)$ maximale Ideale.
-			Wegen $V(\bmx^i) = V(\bmx)$ gilt also nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} auch $\length_A(M / \bmx^i M) < \infty$ und damit ist auch
-			\begin{equation*}
-				{(K / F^i K)}_p \cong {(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}}
-			\end{equation*}
-			von endlicher Länge. Für $i > m$ folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} also
-			\begin{align}
-				\label{eq:euler-poincare-charakteristik}
-				\begin{aligned}
-					\chi(\bmx, M) &= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p\length_A(H_p(K / F^i K)) \\
-					&= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p\length_A({(K / F^i K)}_p) \\
-					&=\sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A\left({(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}}\right) \\
-					&= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \binom{r}{p}\length_A((M / \bmx^{i - p} M))
-				\end{aligned}	
-			\end{align}
-
-			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-9} Wenn $i$ große genug ist, können wir \cref{eq:euler-poincare-charakteristik} zu folgender Gleichung umschreiben:
-			\begin{equation*}
-				\chi(\bmx, M) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \binom{r}{p} P_{\bmx}(M, i - p).
-			\end{equation*}
-			Nach \cref{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} ist die rechte Seite dieser Gleichung durch
-			\begin{equation*}
-				\Delta^r P_{\bmx}(M, i - r) = \Delta^r P_{\bmx}(M) = e_{\bmx}(M, r)
-			\end{equation*}
-			gegeben.
-		\end{enumerate}
-	\end{proof}
+    \label{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}
+    Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik und seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
+    Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
+    Dann gilt
+    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+        \item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$,
+        \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$,
+        \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$.
+    \end{enumerate}
+    \begin{proof}
+        Da $A_\mfq$ regulär ist, gilt $\dim(A_\mfq) = \globdim(A_\mfq)$ und damit folgt
+        \begin{equation*}
+            \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) = 0
+        \end{equation*}
+        für alle $i > \dim(A_\mfq)$.
+        Durch Vervollständigung erhalten wir
+        \begin{equation*}
+            {\Tor^A_i(M, N)}_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) \cong \Tor^{\hat{A}_\mfq}_i(\hat{M}_\mfq, \hat{N}_\mfq).
+        \end{equation*}
+        Wegen $\dim(A) \ge \dim(A_\mfq)$ können wir also annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist. 
+        Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$.
+    \end{proof}
 \end{thm}
 
-\begin{kor}
-	\label{kor:euler-poincare-charakteristik-koszul-komplex-dminesion}
-	Es gilt $\dim(M) \le r$. Weiter gilt:
-	\begin{align*}
-		\chi(\bmx, M) &> 0, \qquad \text{falls } \dim(M) = r \\
-		\chi(\bmx, M) &= 0, \qquad \text{falls } \dim(M) < r
-	\end{align*}
-	\begin{proof}
-		Dies folgt direkt aus \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}.
-	\end{proof}
-\end{kor}
+\section{Die $\BTor$-Formel}
+\label{sec:die-tor-formel}
+
+Sei $X$ eine algebraische Varietät über dem Körper $k$.
+Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass $k$ algebraisch abgeschlossen und $X$ irreduzibel ist.
+Seien $U$, $V$ und $W$ drei irreduzible Untervarietäten von $X$, wobei $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$ ist.
+Wir nehmen zusätzlich an, dass der lokale Ring $A$ von $X$ bei $W$ regulär ist.
+Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ nicht-leeren Schnitt mit der glatten Punkte von $X$ hat.
+
+Seien $\mfp_U$ und $\mfp_V$ die Primideale des lokalen Rings $A$, die zu den Untervarietäten $U$ und $V$ gehören.
+Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge.
+Verwenden wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}, so erhalten wir, dass die Euler-Poincaré-Charakteristik
+\begin{equation*}
+    \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(X)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(A / \mfp_U, A / \mfp_V))
+\end{equation*}
+wohldefiniert und $\ge 0$ ist.
+
+Die Voraussetungen von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} sind tatsächlich erfüllt:
+$A$ ist regulär von gleicher Charakteristik und für $M = A / \mfp_U$ und $N = A / \mfp_V$ gilt
+\begin{equation*}
+    \Supp(M \otimes_A N) = \Supp(M) \cap \Supp(N) = \lbrace \mfm \rbrace,
+\end{equation*}
+wobei $\mfm$ das Maximalideal von $A$ ist, denn $M \otimes_A N \cong A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge, also sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente von $\Supp(M \otimes_A N)$ maximale Ideale.
+Also ist $\mfm$ das eindeutige minimale Primideal von $\Supp(M \otimes_A N)$.
+Wegen $\dim(X) \ge \dim(A)$ können wir auch tatsächlich bin $\dim(X)$ summieren.
+
+Nach \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} folgt also auch
+\begin{equation*}
+    \dim(A / \mfp_U) + \dim(A / \mfp_V) \le \dim(A) = \dim(X) - \dim(W),
+\end{equation*}
+und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V) - \dim(W)$ folgt damit
+\begin{equation}
+    \label{eq:dimension-intersection}
+    \dim(U) + \dim(V) \le \dim(X) + \dim(W).
+\end{equation}
+Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}.
+
+\begin{thm}\leavevmode
+    \label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
+    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+        \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
+        \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
+    \end{enumerate}
+\end{thm}
+
+Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} zeigen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \enquote{Schnittmultiplizität} erfüllt.
+
+\section{Zykel auf einer nicht singulären affinen Varietät}
+\label{sec:zykel-auf-einer-nicht-singulaeren-affinen-varietaet}
+
+Sei im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring.
+Ist $a \in \N$ und $M \in K_a(A)$, so ist $z_a(M)$ ein positiver Zykel der Dimension $a$, der genau dann null ist, wenn $\dim(M) < a$.
+
+Sei nun auch $b \in \N$.
+Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$, so sagen wir, dass sich $\alpha$ und $\beta$ \textbf{eigentlich schneiden}, falls sich die zu $\mfp_i$ und $\mfq_j$ gehörenden irreduziblen Untervarietäten von $X$ für alle $i, j$ eigentlich schneiden.
+
+\begin{defn}[Schnittprodukt von Zykeln]
+    \label{defn:schnittprodukt-von-zykeln}
+    Seien $a, b \in \N$, $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$ zwei Zykel die sich eigentlich schneiden, das heißt für jedes minimale Primideal $\mfr$ in  $\Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)$ gilt $\dim(A/\mfr) = c = a + b - \dim(X)$.
+    Dann definieren wir das \textbf{Schnittprodukt} von $\alpha$ und $\beta$ durch
+    \begin{equation*}
+        \alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr \in Z_c(A).
+    \end{equation*}
+\end{defn}
+
+\begin{prop}
+    \label{prop:schnitt-zykel}
+    Seien $a, b, c \in \N$ mit $a + b = n + c$. Seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln mit $\dim(M) \le a$, $\dim(N) \le b$ und $\dim(M \otimes_A N) \le c$.
+    Die Zykel $z_a(M)$ und $z_b(N)$ schneiden sich eigentlich und der Schnittzykel
+    \begin{equation*}
+        z_a(M) \cdot z_b(N) = \sum_{\substack{\dim(A / \mfp) = a \\ \dim(A / \mfq) = b}} \length_{A_\mfp}(M_\mfp) \length_{A_\mfq}(N_\mfq) \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp \otimes_A A / \mfq)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_\mfr, {(A / \mfq)}_\mfr) \mfr
+    \end{equation*}
+    stimmt mit dem Zykel
+    \begin{equation*}
+        z_c(\Tor^A(M, N)) \coloneqq \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^{i} z_c(\Tor^A_i(M, N))
+    \end{equation*}
+    überein.
+    \begin{proof}
+        Sei $W$ eine irreduzible Komponente von $X$ der Dimension $c$, die zu dem Primideal $\mfr$ von $A$ korrespondiert.
+        Nach Definition ist der Koeffizient des Primideals $\mfr$ im Zykel $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch
+        \begin{equation*}
+            \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_{A_\mfr}({\Tor^A_i(M, N)}_\mfr) = \chi^{A_\mfr}(M_\mfr, N_\mfr)
+        \end{equation*}
+        gegeben.
+        Dieser Koeffizient ist also \enquote{biadditiv} in $M$ und $N$ und nach \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} in \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} ist er null, falls $\dim(M) < a$ oder $\dim(N) < b$.
+        Das gleiche gilt offensichtlich auch für den Koeffizienten von $\mfr$ in $z_a(M) \cdot z_b(N)$.
+        Wir können uns also auf den Fall $M = A / \mfp$ und $N = A / \mfq$ beschränken, wobei $\mfp$ und $\mfq$ Primideale von $A$ sind, die irreduziblen Untervarietäten $U$ und $V$ von $X$ der Dimensionen $a$ und $b$ entsprechen.
+        In diesem Fall ist der Koeffizient von $\mfr$ in $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch $\chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_{\mfr}, {(A / \mfq)}_{\mfr})$ gegeben.
+    \end{proof}
+\end{prop}
+
+\begin{bem}\leavevmode
+    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+        \item \cref{prop:schnitt-zykel} Liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen:
+        Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$).
+        Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}.
+        \item Wir können den Begriff der Zykel und \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} auf algebraische Varietäten erweitern, die nicht notwendigerweise affin sind.
+        In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ mit $\codim(Y, X) = p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
+        Ist $\mcM$ solch eine Modulgarbe mit $\dim(\Supp(\mcM)) \le a$ (was wir manchmal auch als $\dim(\mcM) \le a$ schreiben), so definieren wir auf offensichtliche Weise den Zykel $z_a(\mcM) \in Z_a(X)$.
+        Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzet werden.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\section{Eigenschaften des Schnittprodukts}
+\label{sec:eigenschaften-des-schnittprodukts}
+
+In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass das Schnittprodukt aus \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} die Fundamentalen Eigenschaften der Schnitttheorie erfüllt.
+Da diese Eigenschaften alle lokal sind, können wir annehmen, dass die Varietäten affin und nicht singulär sind.
+Dies ermöglicht es uns \cref{prop:schnitt-zykel} anzuwenden.
+
+Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring.
+
+\begin{description}
+    \item[Kommutativität]
+    Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(\bullet, \bullet)$ sind symmetrisch.
+
+    \item[Assoziativität]
+    Seien $z$, $z'$ und $z''$ drei positive Zykel der Dimensionen $a$, $a'$ und $a''$.
+    Wir nehmen an, dass die Schnittprodukte $z \cdot z'$, $(z \cdot z') \cdot z''$, $z' \cdot z''$ und $z \cdot (z' \cdot z'')$ definiert sind.
+    Dann müssen wir
+    \begin{equation*}
+        (z \cdot z') \cdot z'' = z \cdot (z' \cdot z'')
+    \end{equation*}
+    zeigen.
+
+    Sei dazu $M$, $M'$ und $M''$ $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
+
+    Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für $\Tor$-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
+    \begin{align}
+        \Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\
+        \Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz}
+    \end{align}
+    Sei $c = a + a' + a'' - 2n$ und $b = a' + a'' - n$.
+    Da die Schnitte eigentlich sind, gilt $\dim(M' \otimes_A M'') \le b$ und $\dim(M \otimes_A M' \otimes_A M'') \le c$.
+    Demnach sind die folgenden Zykel wohldefiniert:
+    \begin{align*}
+        y_q &= z_b(\Tor^A_q(M', M'')) \\
+        x_{p,q} &= z_c(\Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M''))) \\
+        x_i &= z_c(\Tor^A_i(M, M', M''))
+    \end{align*}
+    Da Euler-Poincaré-Charakteristiken unter Spektralsequenzen invariant sind, erhalten wir aus \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz}:
+    \begin{equation*}
+        \sum_{i} {(-1)}^i x_i = \sum_{p,q} {(-1)}^{p+q} x_{p, q}
+    \end{equation*}
+    Aber \cref{prop:schnitt-zykel} zeigt
+    \begin{equation*}
+        \sum_{p} {(-1)}^p x_{p, q} = z \cdot y_q \quad \text{und} \quad \sum_{q} {(-1)}^q y_q = z' \cdot z''.
+    \end{equation*}
+    Folglich gilt
+    \begin{equation*}
+        \sum_{i} {(-1)}^i x_i = z \cdot (z' \cdot z'').
+    \end{equation*}
+    Wenden wir das gleiche Argument mit \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz} an, so erhalten wir
+    \begin{equation*}
+        \sum_{i} {(-1)}^i x_i = (z \cdot z') \cdot z'',
+    \end{equation*}
+    und damit die gewünschte Assoziativitätsformel.
+    \item[Produktformel]
+    Sei $X'$ eine weitere nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n'$ und $A'$ ihr Koordinatenring.
+    Seien $z_1$ und $z_2$ (beziehungsweise $z_1'$ und $z_2'$) zwei Zykel auf $X$ (beziehungsweise $X'$) und wir nehmen an, dass $z_1 \cdot z_2$ und $z_1' \cdot z_2'$ definiert sind. Dann schneiden sich $z_1 \times z_1'$ und $z_2 \times z_2'$ eigentlich auf $X \times_{\Spec(k)} X'$ und es gilt
+    \begin{equation}
+        (z_1 \times z_1') \cdot (z_2 \times z_2') = (z_1 \cdot z_2) \times (z_1' \cdot z_2').
+    \end{equation}
+    Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind.
+    Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
+    Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assozierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
+    Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth Formel}:
+    \begin{equation*}
+        \Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
+    \end{equation*}
+    \item[Reduktion auf die Diagonale]
+    Sei $\Delta$ die Diagonale in $X \times_{\Spec(k)} X$.
+    Sind $z_1$ und $z_2$ zwei Zykel auf $X$, die sich eigentlich schneiden, so müssen wir die Formel
+    \begin{equation}
+        z_1 \cdot z_2 = (z_1 \times z_2) \cdot \Delta \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt}
+    \end{equation}
+    zeigen.
+    Wir können wieder annehmen, dass $z_1$ und $z_2$ positiv sind.
+    Sei $B = A \otimes_k A$ der Koordinatenring von $X \times_{\Spec(k)} X$ und seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren.
+    Dann gilt nach \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall}
+    \begin{equation*}
+        \Tor^A_i(M_1, M_2) = \Tor^B_i(M_1 \otimes_k M_2, A).
+    \end{equation*}
+    \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt} folgt dann durch Bilden der alternierenden Summe der Zykel auf beiden seiten der obigen Gleichung.
+\end{description}
+
+Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zeigen.
+
+\begin{proof}[Beweis des zweiten Teils von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}~\cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b}]
+    Wir müssen also zeigen, dass die Funktionen $I$ und $i$ übereinstimmen.
+    Dazu betrachten wir zunächst den Fall, dass $U$ ein vollständiger Durchschnitt in $W$ ist, das heißt das Ideal $\mfp_U$ wird von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$.
+    $\bmx = (x_1, \ldots, x_h)$ ist also eine $A$-reguläre Folge.
+    Nach \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor} gilt also
+    \begin{equation*}
+        \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)}{(-1)}^i \length_A(H_i(\bmx, A / \mfp_V))
+    \end{equation*}
+    und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} liefert uns
+    \begin{equation*}
+        \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = e_{\bmx}(A / \mfp_V).
+    \end{equation*}
+    Nach {}\cite[s. 83]{samuel1967methodes} gilt aber $e_{\bmx}(A / \mfp_V) = i(X, U \cdot V, W)$ und das zeigt $I = i$ in diesem Fall.
+
+    Der allgemeine Fall reduziert sich auf diesen, indem wir die \emph{Reduktion auf die Diagonale} verwenden, denn sie ist sowohl für $i$, also auch für $I$ gültig.
+    Da die Diagonale $\Delta$ nicht singulär ist, is sie lokal ein vollständiger Durchschnitt und die Voraussetzungen des vorherigen Falls sind erfüllt.
+\end{proof}
+
+\section{Ausblick}
+\label{sec:Ausblick}
+
+Wir haben im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich darauf hingearbeitet, \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zu beweisen.
+Als wesentlichen Schritt dazu, haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt.
+Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} auf reguläre Ringe gleicher Charakteristik wirkt allerdings etwas speziell und es ist deswegen natürlich zu vermuten, dass die Aussage dieses Theorems auch für beliebige reguläre Ringe gilt.
+
+Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~2]{serre2000local}).
+
+Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
+
+Die erste Aussage des Theorems, die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$, wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
+Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
+
+Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
+\begin{equation*}
+    \dim(M) + \dim(N) < \dim(A) \Longrightarrow \chi(M, N) = 0,
+\end{equation*}
+wurde für den Fall beliebiger regulärer Ringe 1985 von Paul C. Roberts gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998multiplicities}).
+Die Frage, ob die umgekehrte Implikation ebenfalls gilt, ist bis heute ein offenes Problem.
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--- a/chapters/chapter4.tex
+++ /dev/null
@@ -1,1071 +0,0 @@
-% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
-
-\chapter{Multiplizitäten}
-\label{cha:multiplizitaeten}
-
-In diesem Kapitel wollen wir die Serre’s Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
-Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion auf die Diagonale} vorstellen.
-
-\section{Die Multiplizität eines Moduls}
-\label{sec:die-multiplizitaet-eines-moduls}
-Im Folgenden wollen wir den Begriff der \emph{Multiplizität} eines Moduls einführen.
-Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
-
-\begin{defn}[Gruppe der Zykel eines Rings]
-    \label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings}
-    Sei $A$ ein noetherscher Ring.
-    Die freie abelsche Gruppe $Z(A) = \bigoplus_{\Spec(A)} \Z$ heißt \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$.
-    Ihre Elemente werden \textbf{Zykel} genannt.
-    Wir nennen einen Zykel $Z$ \textbf{positiv}, falls er von der Form
-    \begin{equation*}
-        Z = \sum_{\mfp \in \Spec(A)} n(\mfp) \mfp
-    \end{equation*}
-    mit $n(\mfp) > 0$ für alle $\mfp \in \Spec(A)$ ist.
-\end{defn}
-
-\begin{defn}
-    \label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings-der-dimension}
-    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
-    Für alle $p \in \N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) =~p$ erzeugt wird.
-    Wir nennen $\Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ der Dimension $p$.
-    Offensichtlich gilt $Z(A) = \bigoplus_{p = 0}^n Z_p(A)$.
-\end{defn}
-
-Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln mit $K(A)$ und die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln von Dimension $\le p$ mit $K_p(A)$.
-
-\begin{lem}
-    Sei $A$ ein noetherscher Ring und $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine kurze exakte Sequenz in $K(A)$.
-    Sind $M$ und $P$ in $K_p(A)$, so auch $N$.
-    \begin{proof}
-        Lokalisieren liefert sofort $\Supp(N) = \Supp(M) \cup \Supp(P)$, also
-        \begin{align*}
-            \dim_A(N) &= \sup_{\mfp \in \Supp(N)} \dim(A / \mfp) \\
-            &= \sup_{\mfp \in \Supp(M) \cup \Supp(P)} \dim(A / \mfp) \\
-            &= \max(\dim_A(M), \dim_A(P)). 
-        \end{align*}
-    \end{proof}
-\end{lem}
-
-
-\begin{lem}
-    \label{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
-    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$.
-    Sei weiter $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$.
-    Dann ist $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
-
-    Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
-    \begin{proof}
-        Ist $\mfq \notin \Supp(M)$, so gilt $M_\mfq = 0$ und damit $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = 0 < \infty$.
-        Ist $\mfp \in \Supp(M)$, so gilt wegen $\dim_A(M) \le p$:
-        \begin{equation*}
-            \dim(A / \mfq) = p = \sup_{\mfp \in \Supp(M)} \dim(A / \mfp) = \dim_A(M)
-        \end{equation*}
-        Insbesondere gibt es kein $\mfp \in \Supp(M)$ mit $\mfp \subsetneq \mfq$.
-        Nun folgt
-        \begin{align*}
-            \Supp(M_\mfq) &= \Spec(A_\mfq / (\Ann_{A_\mfq}(M_\mfq))) \\
-            &= \Spec({(A / \Ann_A(M))}_\mfq) \\
-            &= \lbrace \mfp A_\mfq \mid \mfp \in \Supp(M) \wedge \mfp \subset \mfq \rbrace \\
-            &= \lbrace \mfq A_\mfq \rbrace,
-        \end{align*}
-        also enthält $\Supp(M_\mfq)$ nur das eindeutige Maximalideal von $A_\mfq$.
-        Mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
-
-        Aus der aufsteigenden Folge von Untermoduln von $M$ erhalten wir durch Lokalisieren an $\mfq$:
-        \begin{equation*}
-            0 = {M_0}_{\mfq} \subset \ldots \subset {M_s}_{\mfq} = M_\mfq
-        \end{equation*}
-        Dabei gilt
-        \begin{equation*}
-            {M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \cong {(M_i / M_{i - 1})}_\mfq \cong {(A / \mfr_i)}_\mfq,
-        \end{equation*}
-        also ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq$ genau dann $0$, wenn $(A \setminus \mfq) \cap \mfr_i \neq \emptyset$, also wenn $\mfr_i \not\subset \mfq$.
-        Wir wollen nun $\mfr_i \in \Supp(M)$ zeigen.
-        Dazu betrachten wir die kurzen exakten Sequenzen
-        \begin{equation*}
-            0 \to {M_{j - 1}}_{\mfr_i} \to {M_{j}}_{\mfr_i} \to {(M_j / M_{j - 1})}_{\mfr_i} \to 0.
-        \end{equation*}
-        Diese zeigen, dass ${M_j}_{\mfr_i} = 0$ genau dann gilt, wenn ${M_{j - 1}}_{\mfr_i} = 0$ und ${(M_j / M_{j - 1})}_{\mfr_i} = 0$.
-        Wir wissen aber
-        \begin{equation*}
-            {(M_i / M_{i - 1})}_{\mfr_i} = {(A / \mfr_i)}_{\mfr_i}  = \Quot(A / \mfr_i) \neq 0,
-        \end{equation*}
-        also folgt für alle $j \ge i$ induktiv ${M_j}_{\mfr_i} \neq 0$ und insbesondere $M_{\mfr_i} \neq 0$, also $\mfr_i \in \Supp(M)$.
-        Ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$, so haben wir oben bereits gesehen, dass $\mfr_i \subset \mfq$ gilt.
-        Aber wegen $\mfr_i \in \Supp(M)$ und weil $\mfq$ das einzige Primideal in $\Supp(M)$ ist, das in $\mfq$ enthalten ist, folgt bereits $\mfr_i = \mfq$.
-        Folglich gilt für alle ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$ bereits ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq = \Quot(A / \mfq)$ und insbesondere sind sie einfache $A_\mfq$-Moduln.
-        Durch Weglassen von gleichen Untermoduln erhalten wir also eine Kompositionsreihe von $M_\mfq$ über $A_\mfq$, deren Länge die Anzahl $k$ der Indizes $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfq$ ist.
-        Demnach gilt auch $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = k$.
-    \end{proof}
-\end{lem}
-
-\begin{defn}
-    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring.
-    Dann definieren wir folgende Funktion:
-    \begin{align*}
-        z_p \colon K_p(A) &\to Z_p(A) \\
-        M & \mapsto \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) \mfq
-    \end{align*}
-    Wir nennen $z_p(M)$ den zu $M$ gehörigen \textbf{Zykel} der Dimension $p$.
-    Da die Länge von $A$-Moduln additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist, ist es auch die Funktion $z_p$.
-    Ist $M \in K_{p - 1}(A)$ und $\mfq \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfq) = p$, so gilt $\mfq \notin \Supp(M)$, da $\dim(M) < p$.
-    Also folgt $z_p(M) = 0$ das heißt die funktion $z_p$ ist null auf ganz $K_{p - 1}(A)$.
-\end{defn}
-
-\begin{bem}
-    Ist $A$ ein noetherscher lokaler Integritätsring der Dimension $n$, so ist $\mfq = (0)$ das einzige Primideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = n$.
-    Folglich gilt $Z_n(A) \cong \Z$.
-    Ist $M \in K_n(A)$, so gilt
-    \begin{equation*}
-        z_n(M) = \length_{A_{(0)}}(M_{(0)}) = \dim_{\Quot(A)}(M \otimes_A \Quot(A)) = \rk(M).
-    \end{equation*}
-\end{bem}
-
-\begin{defn}[Multiplizität eines Moduls]
-    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
-    Sei $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$.
-    Ist $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul, dann gilt insbesondere $\length_A(M / \mfa M) < \infty$ und mit \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} folgt $\deg(P_\mfa(M)) = \dim(M)$.
-    Wir nennen dann $e_\mfa(M) \coloneqq e_\mfa(M, \dim(M))$ die \textbf{Multiplizität} von $M$ bezüglich $\mfa$.
-    Allgemeiner betrachten wir $e_\mfa(M, p)$ für $\dim(M) \le p$.
-    Dies liefert uns eine Funktion
-    \begin{align*}
-        e_\mfa(\bullet, p) \colon K_p(A) &\to \N \\
-        M & \mapsto e_\mfa(M, p),
-    \end{align*}
-    die nach \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
-    Per Definition ist sie null auf $K_{p - 1}(A)$.
-    Ist $\mfa = \mfm$, so nennen wir $e_\mfa(M) = e_\mfm(M)$ die \textbf{Multiplizität} von $M$.
-    Insbesondere heißt $e_\mfm(A)$ die \textbf{Multiplizität} des lokalen Rings $A$.
-\end{defn}
-
-\begin{lem}
-    Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \emph{Additivitäts-Formel}:
-    \begin{equation*}
-        e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
-    \end{equation*}
-    \begin{proof}
-        Es gibt einen aufsteigende Folge $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$ (siehe {}\cite[Chapter~I, Corollary~2 nach Proposition~5]{serre2000local}).
-        Wir wollen nun durch Induktion über $s$ zeigen, dass
-        \begin{equation*}
-            e_\mfa(M_s, p) = \sum_{i = 1}^s e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p)
-        \end{equation*}
-        gilt.
-        Wegen $M_1 = M_1 / M_0$ haben wir im Fall $s = 1$
-        \begin{equation*}
-            e_\mfa(M_1, p) = e_\mfa(M_1 / M_0, p) = \sum_{i = 1}^1 e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p).
-        \end{equation*}
-        Sei nun also $s > 1$ und die Behauptung bereits für $s - 1$ gezeigt.
-        Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
-        \begin{equation*}
-            0 \to M_{s - 1} \to M_s \to M_s / M_{s - 1} \to 0.
-        \end{equation*}
-        Mit \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} und der Induktionsvoraussetzung folgt dann
-        \begin{align*}
-            e_\mfa(M_s, p) &= e_\mfa(M_{s - 1}, p) + e_\mfa(M_s / M_{s - 1}, p) \\
-            &= \sum_{i = 1}^{s - 1} e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p) + e_\mfa(M_s / M_{s - 1}, p) \\
-            &= \sum_{i = 1}^s e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p).
-        \end{align*}
-        Wie bereits im Beweis von \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge} gesehen, gilt $\mfr_i \in \Supp(M)$ und damit folgt $\dim(A / \mfr_i) \le p$.
-        Ist $\dim(A / \mfr_i) < p$, so ist $e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p) = 0$, also folgt mit \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
-        \begin{equation*}
-            e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
-        \end{equation*}
-    \end{proof}
-\end{lem}
-
-\begin{bem}
-    Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$ mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\bmx = (x_1, \ldots, x_n) \subset \mfm$ mit $\length_A(A / \bmx A) < \infty$.
-    Ist $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul, dann gilt $\length_A(M / \bmx M) < \infty$ und nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} gilt
-    \begin{equation*}
-        e_{\bmx}(M, n) = \chi(\bmx, M) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i h_i(\bmx, M),
-    \end{equation*}
-    wobei $h_i(\bmx, M)$ die Länge der $i$-ten Homologiegruppe des Koszul-Komplexes $K(\bmx, M)$ ist.
-\end{bem}
-
-\section{Reduktion auf die Diagonale}
-\label{sec:reduktion-auf-die-diagonale}
-
-Im Folgenden wollen wir das Verfahren der \emph{Reduktion auf die Diagonale} einführen.
-
-Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebraische Menge $V \cap W = V(I(V) + I(W))$ im allgemeinen nicht irreduzibel. Deswegen interessieren wir uns im Folgenden für eine irreduzible Komponente davon.
-
-\begin{prop}
-    \label{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}
-    Sei $k$ ein Körper.
-    Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$ und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, dann gilt
-    \begin{equation*}
-        \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W)
-    \end{equation*}
-    Oder in algebraischer Sprache ausgedrückt:
-    Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt
-    \begin{equation*}
-        \height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp'').
-    \end{equation*}
-\end{prop}
-
-Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
-
-\begin{lem}
-    \label{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler}
-    Sei $A$ ein Ring und $\mfp$ ein minimales Primideal von $A$. 
-    Dann sind alle Elemente von $\mfp$ Nullteiler in $A$.
-    \begin{proof}
-        Ist $R = 0$, so ist die Aussage trivial, sei also im Folgenden $R \neq 0$.
-        Ist $B \subset A$, so bezeichnen wir das Komplement von $B$ in $A$ mit $\overline{B}$.
-        Sei $\mcZ(A)$ die Menge der Nullteiler von $A$ und sei $S$ die multiplikative Menge $\overline{\mfp} \cdot \overline{\mcZ(A)}$.
-        Es gilt $0 \notin S$, denn sonst wäre $0 = ab$ mit $a \in \overline{\mfp}$ und $b \in \overline{\mcZ(A)}$.
-        Dann gilt aber $b \in \mcZ(A)$ im Widerspruch zu $b \in \overline{\mcZ(A)}$.
-        Demnach gilt $R_S \neq 0$ und es gibt ein Primideal $\mfq'$ von $R_S$.
-        Dieses entspricht einem Primideal $\mfq$ von $R$ mit $\mfq \cap S = \emptyset$, also $\mfq \subset \overline{S}$.
-        Wegen $R \neq 0$ gilt $1 \notin \mcZ(A)$ und da $\mfp$ prim ist, gilt $1 \notin \mfp$.
-        Es folgt $S \supset \overline{\mfp} \cup \overline{\mcZ(A)}$ und damit $\overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A)$.
-        Insgemsamt erhalten wir also
-        \begin{equation*}
-            \mfq \subset \overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A).
-        \end{equation*}
-        
-        Da $\mfp$ aber ein minimales Primideal ist, gilt bereits
-        \begin{equation*}
-            \mfp = \mfq \subset \mcZ(A).
-        \end{equation*}
-    \end{proof}
-\end{lem}
-
-\begin{lem}
-    \label{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal}
-    Seien $A'$ und $A''$ integre endlich erzeugte $k$-Algebren.
-    Für jedes minimale Primideal $\mfp$ von $A' \otimes_k A''$ gilt dann
-    \begin{equation*}
-        \dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) = \dim(A' \otimes_k A'') = \dim(A') + \dim(A'').
-    \end{equation*}
-    \begin{proof}
-        Nach dem noetherschen Normalisierungssatz gibt es $B' = k[X_1, \ldots, X_n]$ und $B'' = k[Y_1, \ldots, Y_m]$ mit der Eigenschaft, $A'$ ganz über $B'$ und $A''$ ganz über $B''$ sind.
-        Nach dem Going Up Theorem gilt dann $\dim(A') = \dim(B')$ und $\dim(A'') = \dim(B'')$. Weiter gilt
-        \begin{equation*}
-            B' \otimes_k B'' = k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_m] \cong k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m],
-        \end{equation*}
-        \begin{equation*}
-            \dim(B' \otimes_k B'') = n + m = \dim(B') + \dim(B'').
-        \end{equation*}
-        Ist $a \in A'$, so gibt es eine Ganzheitsgleichung
-        \begin{equation*}
-            a^r + \alpha_{r - 1} a^{r - 1} + \cdots + \alpha_1 a + \alpha_0 = 0
-        \end{equation*}
-        mit gewissen $\alpha_i \in B'$.
-        Ist nun $b \in A''$, dann gilt
-        \begin{align*}
-            & {(a \otimes b)}^r + {(\alpha_{r - 1} \otimes b)(a \otimes b)}^{r - 1} + \cdots + (\alpha_1 \otimes b^{r - 1})(a \otimes b) + \alpha_0 \otimes b^r \\
-            =& (a^r + \alpha_{r - 1} a^{r - 1} + \cdots + \alpha_1 a + \alpha_0) \otimes b^r  = 0.
-        \end{align*}
-        Also ist $a \otimes b$ ganz über $B' \otimes_k A''$.
-        Da alle Elemente aus $A' \otimes_k A''$ Summen von Elementen der Form $a \otimes b$ sind, ist folglich $A' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k A''$.
-        Das gleiche Argument zeigt nun, dass $B' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k B''$ ist und wegen der Transitivität der Ganzheit folgt, dass $A' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k B''$ ist.
-
-        Seien nun $K', K'', L', L''$ jeweils die Quotientenkörper von $A', A'', B', B''$.
-        Dann haben wir folgendes kommutative Diagramm von Injektionen:
-        \begin{center}
-            \begin{tikzcd}
-                0 \ar[r] & L' \otimes_k L'' \ar[r]  &K' \otimes_k K'' \\
-                0 \ar[r] & B' \otimes_k B'' \ar[u] \ar[r] & A' \otimes_k A'' \ar[u] \\
-                & 0 \ar[u] & 0 \ar[u]
-            \end{tikzcd}
-        \end{center}
-        Da $K'$ ist als $L'$-Vektorraum frei über $L'$ und $K''$ ist als $L''$-Vektorraum frei über $L''$.
-        Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, ist also $K' \otimes_k K''$ frei über $L' \otimes_k L''$.
-        Insbesondere ist $K' \otimes_k K''$ ein torsionsfreier $B' \otimes_k B''$-Modul.
-        Betrachte nun $x \in \mfp \cap B' \otimes_k B''$.
-        Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$, also gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$.
-        Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei.
-        Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$.
-        Das Going Up Theorem liefert uns nun
-        \begin{align*}
-            \dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) &= \dim(B' \otimes_k B'') \\
-            &= \dim(B') + \dim(B'')\\
-            &= \dim(A') + \dim(A'').
-        \end{align*}
-    \end{proof}
-\end{lem}
-
-\begin{lem}
-    \label{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale}
-    Sei $k$ ein Körper und $A$ eine $k$-Algebra.
-    Sei außerdem $C = A \otimes_k A$ und sei $\phi \colon C \to A$ der durch $\phi(a \otimes b) = ab$ definierte Homomorphismus. Dann gilt:
-    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-        \item Der Kern $\mfd$ von $\phi$ ist das Ideal von $C$, das von den Elementen der Form
-        \begin{equation*}
-            1 \otimes a - a \otimes 1, \qquad a \in A
-        \end{equation*}
-        erzeugt wird.
-        \item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$.
-    \end{enumerate}
-    \begin{proof}\leavevmode
-        \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-            \item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist.
-            Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$.
-            Dann gilt:
-            \begin{align*}
-                - \sum_{i = 1}^n (1 \otimes a_i - a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1 - 1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\
-                &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) - (1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\
-                &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i - 1 \otimes a_i b_i \\
-                &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i
-            \end{align*}
-            Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $a_i \otimes b_i$ erzeugten Ideal enthalten.
-            \item Sind $a' \in \mfp'$ und $a'' \in \mfp''$, so gilt \begin{equation*}
-                \phi(a' \otimes 1 + 1 \otimes a'') = \phi(a' \otimes 1) + \phi(1 \otimes a'') = a' + a''.
-            \end{equation*}
-            Es folgt also
-            \begin{equation*}
-                \phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \supset \mfp' + \mfp''.
-            \end{equation*}
-            Sind umgekehrt $a' = \sum_{i = 1}^n a_i' \otimes b_i' \in \mfp' \otimes_k A$ und $a'' = \sum_{i = 1}^m b_i'' \otimes a_i'' \in A \otimes_k \mfp''$, so gilt
-            \begin{equation*}
-                \phi(a' + a'') = \phi\left(\sum_{i = 1}^n a_i' \otimes b_i' + \sum_{i = 1}^m b_i'' \otimes a_i''\right) = \underbrace{\sum_{i = 1}^n a_i' b_i'}_{\in \mfp'} + \underbrace{\sum_{i = 1}^m b_i'' a_i'}_{\in \mfp''} \in \mfp' + \mfp''.
-            \end{equation*}
-            Es folgt also auch
-            \begin{equation*}
-                \phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \subset \mfp' + \mfp''.
-            \end{equation*}
-        \end{enumerate}
-    \end{proof}
-\end{lem}
-
-Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} beweisen:
-\begin{proof}[Beweis von \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}]
-    Sei $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $C = A \otimes_k A$, $D = A / \mfp' \otimes_k A / \mfp''$ und $\mfr = \mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$.
-    Sei außerdem $\phi$ wie in \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} und $\mfd$ der Kern von $\phi$.
-    Wir haben folgende kurze exakte Sequenz:
-    \begin{equation*}
-        0 \to \mfr \to C \to D \to 0
-    \end{equation*}
-    Das Primideal $\mfP = \phi^{-1}(\mfp)$ ein minimales Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, denn $(0) \subset \mfp$ und angenommen $\mfP'$ ein Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, das in $\mfP$ enthalten ist, so gilt
-    \begin{equation*}
-        \mfp = \phi(\mfP) \supset \phi(\mfP') \supset \mfp' + \mfp''.
-    \end{equation*} 
-    Da $\phi(\mfP')$ wegen der Surjektivität von $\phi$ ein Primideal ist, und weil $\mfp$ ein minimales Primideal in $V(\mfp' + \mfp'')$ ist, folgt
-    \begin{equation*}
-        \mfP' = \phi^{-1}(\phi(\mfP')) + \ker(\phi) = \phi^{-1}(\mfp) + \ker(\phi) = \mfP.
-    \end{equation*}
-    Sei $\mfd'$ das Bild von $\mfd$ in $D$, dann entsprechen die Elemente aus $V(\mfd')$ wegen der obigen kurzen exakten Sequenz genau den Elementen in $V(\mfd + \mfr)$.
-    Das Bild $\mfQ$ von $\mfP$ in $D$ ist also ein minimales Primideal in $V(\mfd')$.
-    Nach \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} wird $\mfd$ von den $n$ Elementen $1 \otimes X_i - X_i \otimes 1$ erzeugt.
-    Die minimale Anzahl von Erzeugern von $\mfd'$ ist also $\le n$ und, da $\mfQ$ ein minimales Primideal über $\mfd'$ ist, folgt $\height(\mfQ) \le n$.
-    Sei $\mfQ_0$ ein minimales primideal von $D$, das in $\mfQ$ enthalten ist, dann gilt $\height(\mfQ / \mfQ_0) \le n$.
-    Nach \cref{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal} gilt
-    \begin{equation*}
-        \dim(D / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'').
-    \end{equation*}
-    Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist es auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfq_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer.
-    Für Primideale $\mfq$ von $D/\mfQ_0$ gilt also
-    \begin{equation*}
-        \height(\mfq) + \dim((D / \mfQ_0) / \mfq) = \dim(D / \mfQ_0)
-    \end{equation*}
-    (vergleiche {}\cite[Chapter~III, Part~D, Proposition~15]{serre2000local}).
-    Insbesondere gilt
-    \begin{equation*}
-        \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim((D / \mfQ_0)/(\mfQ / \mfQ_0)) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim(D / \mfQ).
-    \end{equation*}
-    Nach Konstruktion gilt $A / \mfp \cong D / \mfQ$ und wir erhalten insgemsamt
-    \begin{equation*}
-        n \ge \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'') - \dim(A / \mfp),
-    \end{equation*}
-    also
-    \begin{equation*}
-        n - \dim(A / \mfp) \le n - \dim(A / \mfp') + n - \dim(A / \mfp'').
-    \end{equation*}
-    Da $A$ eine integre endlich erzeugte $k$-Algebra ist, folgt
-    \begin{equation*}
-        \height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp'').
-    \end{equation*}
-\end{proof}
-
-Der obige Beweis basiert auf dem Ersetzen des Tripels $(A; \mfp', \mfp'')$ durch das Tripel $(A \otimes_k A; \mfd, \mfr)$. Dieses Verfahren wird \textbf{Reduktion auf die Diagonale} genannt. Es ist das algebraische Analogon zur Mengentheoretischen Formel $V \cap W = (V \times W) \cap \Delta$.
-
-Ist nämlich $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sind $U$ und $V$ algebraische Mengen in $\A_k^n$ und ist $\Delta$ die Diagonale in $\A^n_k \times_{\Spec(k)} \A^n_k \cong \A^{2n}_k$, dann gilt nach Definition $\Delta \cong \A^n_k$ und dieser Isomorphismus identifiziert $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$ mit $U \cap V$.
-Seien $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $U = V(\mfp)$, $V = V(\mfq)$ und $\Delta = \Spec((A \otimes_k A) / \mfd)$, wobei $\mfd$ der Kern des surjektiven Homomorphismus
-\begin{align*}
-    \phi \colon A \otimes_k A &\to A \\
-    a \otimes b &\mapsto ab
-\end{align*}
-ist.
-Sei außerdem $\mfd'$ das Bild von $\mfd$ in $A / \mfp \otimes_k A / \mfq$.
-Dann sind
-\begin{equation*}
-    A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong A / (\mfp + \mfp)    
-\end{equation*}
-und
-\begin{equation*}
-    (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) / \mfd' 
-\end{equation*}
-jeweils die Koordinatenringe von $U \cap V$ und $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$.
-Die obige Aussage übersetzt sich dann auf folgende Weise in algebraische Sprache:
-\begin{equation}
-   (A \otimes_k A) / \mfd \cong A
-\end{equation}
-\begin{equation}
-   A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd
-\end{equation}
-Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Indeal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln.
-Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur.
-Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen
-\begin{equation}
-    \Tor^B_n(M \otimes_k N, A) \cong \Tor^A_n(M, N). \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall}
-\end{equation}
-Ist also
-\begin{equation*}
-    \cdots \to L_1 \to L_0 \to A \to 0
-\end{equation*}
-eine $B$-projektive Auflösung, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen
-\begin{equation*}
-    \Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{\bullet}).
-\end{equation*}
-Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i - 1 \otimes 1 - X_i$, $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ erzeugte Ideal. Offensichtlich ist $\bmX = {(X_i - 1 \otimes 1 - X_i)}_{i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace}$ eine $B$-reguläre Folge und es gilt
-\begin{equation*}
-    H^B_0(\bmX, B) = B / \mfd \cong A.
-\end{equation*}
-Mit \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} folgt also, dass $K^B(\bmX, B)$ eine $B$-freie und damit $B$-projektive Auflösung von $A$ ist.
-Es folgt
-\begin{equation}
-\label{eq:tor-koszul}
-    \Tor^A_n(M, N) \cong  H_n((M \otimes_k N) \otimes_B K^B(\bmX, B)) = H_n^B(\bmX, M\otimes_k N).
-\end{equation}
-
-Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukte verallgemeinern.
-
-\section{Vervollständigte Tensorprodukte}
-\label{sec:vervollständigte-tensorprodukte}
-
-\begin{defn}[Vervollständigtes Tensorproduk]
-    \label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt}
-    Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
-    Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
-    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
-    Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind.
-    Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
-    Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
-
-    Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\BTor$-Funktoren} durch
-    \begin{equation}
-        \widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
-    \end{equation}
-    Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt}
-    \begin{equation}
-        M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
-    \end{equation}
-\end{defn}
-
-Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
-
-\begin{prop}
-    \label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}
-    Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
-    Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
-    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
-    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-        \item Es gilt
-        \begin{equation}
-            \label{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale}
-            \widehat{\Tor}^k_i(M, N) \cong \varprojlim_{p} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_p)
-        \end{equation}
-        und
-        \begin{align*}
-            \widehat{\Tor}^k_i(M, N) &\cong \varprojlim_{p} \varprojlim_{q}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \\
-            &\cong \varprojlim_{q}\varprojlim_{p}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
-        \end{align*}
-        \item\label{item:unabhaengig-von-filtrierung} Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig.
-        \item\label{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} Wir haben kanonische Morphismen
-        \begin{equation*}
-            M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
-        \end{equation*}
-        und
-        \begin{equation*}
-            \hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
-        \end{equation*}
-        Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollsändigung von $M \otimes_k N$.
-        \item Der Ring $A \widehat{\otimes}_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei
-        \begin{equation*}
-            \mfr = \mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfn.
-        \end{equation*}
-        Allgemeiner ist $\widehat{\Tor}^i_k(M, N)$ vollständig bezüglich der der $\mfr$-adischen Topologie.
-        Es gilt
-        \begin{equation*}
-            (A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
-        \end{equation*}
-        und
-        \begin{equation*}
-            (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
-        \end{equation*}
-        Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
-        Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
-        \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
-        \begin{align*}
-            \cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
-            &\to \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N) \\
-            &\to \Tor^k_{n - 1}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N) \to \cdots
-        \end{align*}
-        eine exakte Sequenz
-        \begin{equation*}
-            \cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots.
-        \end{equation*}
-        \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-requläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$.
-        Dann gilt für alle $i > n - r$:
-        \begin{equation*}
-            \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0
-        \end{equation*}
-    \end{enumerate}
-    \begin{proof}\leavevmode
-        \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-            \item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich.
-            \item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$.
-            Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (vergleiche {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$.
-            Sei
-            \begin{equation*}
-                \phi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n)
-            \end{equation*}
-            der kanonische Morphismus.
-            Ist nun $l \in \N$, so gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und wir erhalten einen Morphismus
-            \begin{equation*}
-                M/M_m \to M/M'_l
-            \end{equation*}
-            und damit für alle $n \in \N$ einen Morphismus
-            \begin{equation*}
-                \alpha_{m,l,n}\colon \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n).
-            \end{equation*}
-            Sind $m, m' \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$, $M_{m'} \subset M'_l$ und $M_m \subset M_{m'}$, so ist das Diagramm
-            \begin{center}
-                \begin{tikzcd}
-                    M / M_{m'} \ar[d, two heads] \ar[r, two heads] & M / M'_l \ar[d, equal] \\
-                    M / M_m \ar[r, two heads] & M / M'_l
-                \end{tikzcd}
-            \end{center}
-            offensichtlich kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
-            \begin{center}
-                \begin{tikzcd}
-                    \Tor^k_i (M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
-                    \Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
-                \end{tikzcd}
-            \end{center}
-            Wir definieren nun
-            \begin{equation*}
-                \psi_{l, n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
-            \end{equation*}
-            durch $\psi_{l, n} = \alpha_{m, l, n} \circ \phi_{m, n}$, wobei $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$.
-            Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $m$, wie das folgende kommutative Diagramm zeigt:
-            \begin{center}
-                \begin{tikzcd}
-                    \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i (M / M_p, N / N_q) \ar[r, "\phi_{m, n}"] \ar[dr, "\phi_{m', n}"'] & \Tor^k_i (M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
-                    &\Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
-                \end{tikzcd}
-            \end{center}
-            Ist nun $l' > l$, also $M'_l \subset M'_{l'}$, dann gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und damit ist das Diagramm
-            \begin{center}
-                \begin{tikzcd}
-                    & M / M_m \ar[dl] \ar[dr]\\
-                    M / M'_{l'} \ar[rr] & & M / M'_l
-                \end{tikzcd}
-            \end{center}
-            kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
-            \begin{center}
-                \begin{tikzcd}
-                    & \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i (M / M_p, N / N_q) \ar[d, "\phi_{m, n}"] \ar[ddl, bend right=15, "\psi_{l',n}"'] \ar[ddr, bend left=15, "\psi_{l,n}"] \\
-                    & \Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[dl, "\alpha_{m, l', n}"] \ar[dr, "\alpha_{m, l, n}"'] \\
-                    \Tor^k_i (M / M'_{l'}, N / N_n) \ar[rr] & & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
-                \end{tikzcd}
-            \end{center}
-            Nach der Definition von $\alpha_{m, l, n}$ ist es offensichtlich, dass $\psi_{l,n}$ auch mit Variationen in $n$ kompatibel ist.
-            Sei
-            \begin{equation*}
-                \varphi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_m, N / N_n)
-            \end{equation*}
-            der kanonische Morphismus.
-            Dann erhalten wir einen eindeutigen Morphismus
-            \begin{equation*}
-                \Phi \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q)
-            \end{equation*}
-            mit $\psi_{l,n} = \varphi_{l,n} \circ \Phi$.
-            Vertauschen wir nun die Rollen der Filtrierungen $(M_p)$ und $(M'_p)$, so erhalten wir einen eindeutigen Morphismus
-            \begin{equation*}
-                \Phi^{-1} \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q)
-            \end{equation*}
-            und das übliche Argument zu universellen Eigenschaften liefert uns, dass diese beiden Morphismen tatsächlich zueinander inverse Isomorphismen sind.
-            \item Die Morphismen $M \to M / M_p$ und $N \to N / N_q$ liefern wegen der universellen Eigenschaft des projektiven Limes die Morphismen $M \to \varprojlim\limits_p(M / M_p)$ und $N \to \varprojlim\limits_q(N / N_q)$ und wir erhalten einen Morphismus
-            \begin{equation*}
-                M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
-            \end{equation*}
-            wie gewünscht.
-
-            Die kanonischen Morphismen $\hat{M} \cong \varprojlim\limits_p (M / M_p) \to M / M_p$ und $\hat{N} \cong \varprojlim\limits_q (N / N_q) \to N / N_q$
-            liefern uns Morphismen
-            \begin{equation*}
-                \hat{M} \otimes_k \hat(N) \to M / M_p \otimes_k N / N_q
-            \end{equation*}
-            und die universelle Eigenschaft des projektiven Limes liefert uns wie gewünscht den Morphismus
-            \begin{equation*}
-                \hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
-            \end{equation*}
-
-            Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \widehat{\otimes}_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
-            Folglich gilt:
-            \begin{equation*}
-                \label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts}\tag{$\bigcirc$}
-                \begin{aligned}
-                    M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
-                    &\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
-                    &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
-                    &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))
-                \end{aligned}
-            \end{equation*}
-            Nun gilt offensichtlich
-            \begin{equation*}
-                {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p = \sum_{s + t = p} \mfm^s \otimes_k \mfn^t \supset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p.
-            \end{equation*}
-
-            Sind andererseits $s, t \in \N$ mit $s + t = 2p$, so gilt $s \ge p$ oder $t \ge p$ und damit folgt $\mfm^s \otimes_k \mfn^t \subset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p$, also
-            \begin{equation*}
-                \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2n} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}.
-            \end{equation*}
-            Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung ${((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))}_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt
-            \begin{equation*}
-                M \widehat{\otimes}_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)).
-            \end{equation*} 
-
-            \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
-            Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ voll ständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist.
-            Es gilt also auch
-            \begin{equation*}
-                (A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes _k) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
-                \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
-            \end{equation*}
-            und
-            \begin{equation*}
-                (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
-            \end{equation*}
-
-            Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
-            Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
-            Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
-            
-            Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
-
-            Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ ind $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$.
-            Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$.
-            Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
-            \item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
-            Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
-            \begin{gather*}
-                \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N),\\
-                \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N), \\
-                \Tor^k_{n}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N)
-            \end{gather*}
-            Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und mit {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA} folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist.
-            \item Wegen
-            \begin{equation*}
-                \widehat{\Tor}^k_i(M, N) = \varprojlim_{n}\widehat{\Tor}^k_i(M, N / \mfq^n N)
-            \end{equation*}
-            genügt es die Behuptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen.
-            Ist $i > n$, so gilt für alle $p,q \in \N$, dass $\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) = 0$, also auch $\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = 0$.
-            Dann liefert uns die kurze exakte Sequenz
-            \begin{equation*}
-                \label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1}\tag{$\ast$}
-                0 \longrightarrow M \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} M \to M / a_1 M \to 0
-            \end{equation*}
-            wegen \cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} die exakte Sequenz
-            \begin{equation*}
-                0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_n(M, N).
-            \end{equation*}
-            Da $\length_k(N) < \infty$ wird die Kette
-            \begin{equation*}
-                N \supset a_1 N \supset a_1^2 N \supset \cdots
-            \end{equation*}
-            stationär, das heißt es gibt ein $n_0 \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n \ge n_0$ gilt:
-            \begin{equation*}
-                a_1^n N = a_1^{n+1} N
-            \end{equation*}
-            Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, liefert das Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
-            Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft.
-            Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein $0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)$ mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$, also ist $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$.
-            Dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$.
-
-            Im Fall $r > 1$ ist $\lbrace a_2, \ldots, a_r \rbrace$ eine $(M / a_1)$-Folge der Länge $r - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung angewendet auf $M / a_1$ folgt $\widehat{\Tor}^k_i(M / a_1, N)$ = 0 für alle $i > n - (r - 1)$.
-            Wir erhalten also aus \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1} die exakte Sequenz
-            \begin{equation*}
-                0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N)
-            \end{equation*}
-            und mit dem gleichen Argument wie oben folgt $\widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) = 0$.
-        \end{enumerate}
-    \end{proof}
-\end{prop}
-
-\begin{bem}
-    Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ bestehn.
-    Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
-\end{bem}
-
-Wir wollen nun den für uns wichtigsten Fall untersuchen, nämlich dass $k$ ein Körper ist, $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
-In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) =~0$ für $i > 0$, denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
-Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$ ist, wobei
-\begin{equation*}
-    \mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
-\end{equation*}
-Sei nun $C = k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ der formale Potenzreihenring in $2n$ Variablen.
-Dann haben wir eine Einbettung
-\begin{align*}
-    \phi \colon A \otimes_k B &\to C\\
-    f \otimes g & \mapsto fg
-\end{align*}
-(siehe {}\cite[Proposition~3.1]{bardavid11aneffective}) und das Bild von $\mfr$ unter dieser Einbettung ist offensichtlich $(X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$.
-Desweiteren gilt $k[X_1, \ldots, X_n] \subset A$ und $k[Y_1, \ldots, Y_n] \subset B$ und da Polynomringe und formale Potenzreihenringe flach sind, haben wir eine Injektion
-\begin{equation*}
-    k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] \hookrightarrow A \otimes_k B \hookrightarrow C,
-\end{equation*}
-der offenbar dem Morphismus
-\begin{align*}
-    k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] &\to C \\
-    f \otimes g & \mapsto fg
-\end{align*}
-entspricht.
-Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$.
-Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$ bezüglich $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$, also folgt bereits
-\begin{equation*}
-    A \widehat{\otimes}_k B \cong C.
-\end{equation*}
-
-\begin{prop}
-    \label{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring}
-    Sei $k$ ein Körper und sei $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$, und sei $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. Sei $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
-    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
-    Dann gilt 
-    \begin{equation}
-        \label{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe}
-        \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A).
-    \end{equation}
-    \begin{proof}
-        Es sei nun $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
-        Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
-        Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
-        Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus
-        \begin{equation*}
-            \gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \widehat{\otimes}_k N).
-        \end{equation*}
-        Ist $\mfm$ das eindeutige Maximalideal von $A$, so sind die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal, und es folgt
-        \begin{equation*}
-            \gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N).
-        \end{equation*}
-        Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, zeigt dies, dass der obige Morphismus ein Isomorphismus ist.
-        Also gilt
-        \begin{equation*}
-            \dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N)
-        \end{equation*}
-        und
-        \begin{equation*}
-            e_\mfs(M \widehat{\otimes}_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)).
-        \end{equation*}
-
-        Sind
-        \begin{equation*}
-            \cdots \to K_1 \to K_0 \to M \to 0
-        \end{equation*}
-        und
-        \begin{equation*}
-            \cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0
-        \end{equation*}
-        jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist ${(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)}_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.
-        Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
-        Dann gilt
-        \begin{equation*}
-            K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A
-        \end{equation*}
-        und wir erhalten die Formel für der Reduktion auf die Diagonale:
-        \begin{equation*}
-            \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A)
-        \end{equation*}
-    \end{proof}
-\end{prop}
-
-\section{Reguläre Ringe gleicher Charakteristik}
-\label{regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
-
-Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \widehat{\otimes}_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
-Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
-Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} und \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
-\begin{equation*}
-    \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \widehat{\otimes}_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \widehat{\otimes}_k N)
-\end{equation*}
-
-Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so auch $\Tor^A_i(M, N)$.
-Außerdem ist auch
-\begin{equation*}
-    (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfd (M \widehat{\otimes}_k N) \cong M \widehat{\otimes}_k N \otimes C / \mfd \cong M \otimes_k N
-\end{equation*}
-von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} ist dann die Euler-Poincaré-Charakteristik
-\begin{equation*}
-    \chi(M, N) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
-\end{equation*}
-gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$ bezüglich $\mfd$.
-Folglich gilt
-\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-    \item $\chi(M, N) \ge 0$,
-    \item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$,
-    \item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
-\end{enumerate}
-
-Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgemeinern.
-
-\begin{defn}[Regulärer Ring gleicher Charakteristik]
-    \label{defn:regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
-    Ist $A$ ein Integritätsring, so nennen wir $A$ von \textbf{gleicher Charakteristik}, wenn für alle $\mfp \in \Spec(A)$ die Ringe $A$ und $A / \mfp$  die gleiche Charakteristik haben.
-
-    Ist $A$ ein regulärer Ring und $\mfp \in \Spec(A)$, so ist $A_\mfp$ ein regulärer lokaler Ring und damit ein Integritätsring (siehe {}\cite[Theorem~164]{kaplansky1974commutative}).
-    Wir nennen $A$ von gleicher Charakteristik, falls für alle $\mfp \in \Spec(A)$ der Ring $A_\mfp$ von gleicher Charakteristik ist.
-\end{defn}
-
-\begin{thm}
-    \label{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}
-    Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik und seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
-    Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
-    Dann gilt
-    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-        \item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$,
-        \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$,
-        \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$.
-    \end{enumerate}
-    \begin{proof}
-        Da $A_\mfq$ regulär ist, gilt $\dim(A_\mfq) = \globdim(A_\mfq)$ und damit folgt
-        \begin{equation*}
-            \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) = 0
-        \end{equation*}
-        für alle $i > \dim(A_\mfq)$.
-        Durch Vervollständigung erhalten wir
-        \begin{equation*}
-            {\Tor^A_i(M, N)}_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) \cong \Tor^{\hat{A}_\mfq}_i(\hat{M}_\mfq, \hat{N}_\mfq).
-        \end{equation*}
-        Wegen $\dim(A) \ge \dim(A_\mfq)$ können wir also annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist. 
-        Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$.
-    \end{proof}
-\end{thm}
-
-\section{Die $\BTor$-Formel}
-\label{sec:die-tor-formel}
-
-Sei $X$ eine algebraische Varietät über dem Körper $k$.
-Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass $k$ algebraisch abgeschlossen und $X$ irreduzibel ist.
-Seien $U$, $V$ und $W$ drei irreduzible Untervarietäten von $X$, wobei $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$ ist.
-Wir nehmen zusätzlich an, dass der lokale Ring $A$ von $X$ bei $W$ regulär ist.
-Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ nicht-leeren Schnitt mit der glatten Punkte von $X$ hat.
-
-Seien $\mfp_U$ und $\mfp_V$ die Primideale des lokalen Rings $A$, die zu den Untervarietäten $U$ und $V$ gehören.
-Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge.
-Verwenden wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}, so erhalten wir, dass die Euler-Poincaré-Charakteristik
-\begin{equation*}
-    \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(X)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(A / \mfp_U, A / \mfp_V))
-\end{equation*}
-wohldefiniert und $\ge 0$ ist.
-
-Die Voraussetungen von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} sind tatsächlich erfüllt:
-$A$ ist regulär von gleicher Charakteristik und für $M = A / \mfp_U$ und $N = A / \mfp_V$ gilt
-\begin{equation*}
-    \Supp(M \otimes_A N) = \Supp(M) \cap \Supp(N) = \lbrace \mfm \rbrace,
-\end{equation*}
-wobei $\mfm$ das Maximalideal von $A$ ist, denn $M \otimes_A N \cong A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge, also sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente von $\Supp(M \otimes_A N)$ maximale Ideale.
-Also ist $\mfm$ das eindeutige minimale Primideal von $\Supp(M \otimes_A N)$.
-Wegen $\dim(X) \ge \dim(A)$ können wir auch tatsächlich bin $\dim(X)$ summieren.
-
-Nach \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} folgt also auch
-\begin{equation*}
-    \dim(A / \mfp_U) + \dim(A / \mfp_V) \le \dim(A) = \dim(X) - \dim(W),
-\end{equation*}
-und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V) - \dim(W)$ folgt damit
-\begin{equation}
-    \label{eq:dimension-intersection}
-    \dim(U) + \dim(V) \le \dim(X) + \dim(W).
-\end{equation}
-Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}.
-
-\begin{thm}\leavevmode
-    \label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
-    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-        \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
-        \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
-    \end{enumerate}
-\end{thm}
-
-Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} zeigen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \enquote{Schnittmultiplizität} erfüllt.
-
-\section{Zykel auf einer nicht singulären affinen Varietät}
-\label{sec:zykel-auf-einer-nicht-singulaeren-affinen-varietaet}
-
-Sei im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring.
-Ist $a \in \N$ und $M \in K_a(A)$, so ist $z_a(M)$ ein positiver Zykel der Dimension $a$, der genau dann null ist, wenn $\dim(M) < a$.
-
-Sei nun auch $b \in \N$.
-Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$, so sagen wir, dass sich $\alpha$ und $\beta$ \textbf{eigentlich schneiden}, falls sich die zu $\mfp_i$ und $\mfq_j$ gehörenden irreduziblen Untervarietäten von $X$ für alle $i, j$ eigentlich schneiden.
-
-\begin{defn}[Schnittprodukt von Zykeln]
-    \label{defn:schnittprodukt-von-zykeln}
-    Seien $a, b \in \N$, $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$ zwei Zykel die sich eigentlich schneiden, das heißt für jedes minimale Primideal $\mfr$ in  $\Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)$ gilt $\dim(A/\mfr) = c = a + b - \dim(X)$.
-    Dann definieren wir das \textbf{Schnittprodukt} von $\alpha$ und $\beta$ durch
-    \begin{equation*}
-        \alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr \in Z_c(A).
-    \end{equation*}
-\end{defn}
-
-\begin{prop}
-    \label{prop:schnitt-zykel}
-    Seien $a, b, c \in \N$ mit $a + b = n + c$. Seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln mit $\dim(M) \le a$, $\dim(N) \le b$ und $\dim(M \otimes_A N) \le c$.
-    Die Zykel $z_a(M)$ und $z_b(N)$ schneiden sich eigentlich und der Schnittzykel
-    \begin{equation*}
-        z_a(M) \cdot z_b(N) = \sum_{\substack{\dim(A / \mfp) = a \\ \dim(A / \mfq) = b}} \length_{A_\mfp}(M_\mfp) \length_{A_\mfq}(N_\mfq) \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp \otimes_A A / \mfq)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_\mfr, {(A / \mfq)}_\mfr) \mfr
-    \end{equation*}
-    stimmt mit dem Zykel
-    \begin{equation*}
-        z_c(\Tor^A(M, N)) \coloneqq \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^{i} z_c(\Tor^A_i(M, N))
-    \end{equation*}
-    überein.
-    \begin{proof}
-        Sei $W$ eine irreduzible Komponente von $X$ der Dimension $c$, die zu dem Primideal $\mfr$ von $A$ korrespondiert.
-        Nach Definition ist der Koeffizient des Primideals $\mfr$ im Zykel $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch
-        \begin{equation*}
-            \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_{A_\mfr}({\Tor^A_i(M, N)}_\mfr) = \chi^{A_\mfr}(M_\mfr, N_\mfr)
-        \end{equation*}
-        gegeben.
-        Dieser Koeffizient ist also \enquote{biadditiv} in $M$ und $N$ und nach \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} in \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} ist er null, falls $\dim(M) < a$ oder $\dim(N) < b$.
-        Das gleiche gilt offensichtlich auch für den Koeffizienten von $\mfr$ in $z_a(M) \cdot z_b(N)$.
-        Wir können uns also auf den Fall $M = A / \mfp$ und $N = A / \mfq$ beschränken, wobei $\mfp$ und $\mfq$ Primideale von $A$ sind, die irreduziblen Untervarietäten $U$ und $V$ von $X$ der Dimensionen $a$ und $b$ entsprechen.
-        In diesem Fall ist der Koeffizient von $\mfr$ in $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch $\chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_{\mfr}, {(A / \mfq)}_{\mfr})$ gegeben.
-    \end{proof}
-\end{prop}
-
-\begin{bem}\leavevmode
-    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-        \item \cref{prop:schnitt-zykel} Liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen:
-        Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$).
-        Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}.
-        \item Wir können den Begriff der Zykel und \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} auf algebraische Varietäten erweitern, die nicht notwendigerweise affin sind.
-        In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ mit $\codim(Y, X) = p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
-        Ist $\mcM$ solch eine Modulgarbe mit $\dim(\Supp(\mcM)) \le a$ (was wir manchmal auch als $\dim(\mcM) \le a$ schreiben), so definieren wir auf offensichtliche Weise den Zykel $z_a(\mcM) \in Z_a(X)$.
-        Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzet werden.
-    \end{enumerate}
-\end{bem}
-
-\section{Eigenschaften des Schnittprodukts}
-\label{sec:eigenschaften-des-schnittprodukts}
-
-In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass das Schnittprodukt aus \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} die Fundamentalen Eigenschaften der Schnitttheorie erfüllt.
-Da diese Eigenschaften alle lokal sind, können wir annehmen, dass die Varietäten affin und nicht singulär sind.
-Dies ermöglicht es uns \cref{prop:schnitt-zykel} anzuwenden.
-
-Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring.
-
-\begin{description}
-    \item[Kommutativität]
-    Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(\bullet, \bullet)$ sind symmetrisch.
-
-    \item[Assoziativität]
-    Seien $z$, $z'$ und $z''$ drei positive Zykel der Dimensionen $a$, $a'$ und $a''$.
-    Wir nehmen an, dass die Schnittprodukte $z \cdot z'$, $(z \cdot z') \cdot z''$, $z' \cdot z''$ und $z \cdot (z' \cdot z'')$ definiert sind.
-    Dann müssen wir
-    \begin{equation*}
-        (z \cdot z') \cdot z'' = z \cdot (z' \cdot z'')
-    \end{equation*}
-    zeigen.
-
-    Sei dazu $M$, $M'$ und $M''$ $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
-
-    Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für $\Tor$-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
-    \begin{align}
-        \Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\
-        \Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz}
-    \end{align}
-    Sei $c = a + a' + a'' - 2n$ und $b = a' + a'' - n$.
-    Da die Schnitte eigentlich sind, gilt $\dim(M' \otimes_A M'') \le b$ und $\dim(M \otimes_A M' \otimes_A M'') \le c$.
-    Demnach sind die folgenden Zykel wohldefiniert:
-    \begin{align*}
-        y_q &= z_b(\Tor^A_q(M', M'')) \\
-        x_{p,q} &= z_c(\Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M''))) \\
-        x_i &= z_c(\Tor^A_i(M, M', M''))
-    \end{align*}
-    Da Euler-Poincaré-Charakteristiken unter Spektralsequenzen invariant sind, erhalten wir aus \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz}:
-    \begin{equation*}
-        \sum_{i} {(-1)}^i x_i = \sum_{p,q} {(-1)}^{p+q} x_{p, q}
-    \end{equation*}
-    Aber \cref{prop:schnitt-zykel} zeigt
-    \begin{equation*}
-        \sum_{p} {(-1)}^p x_{p, q} = z \cdot y_q \quad \text{und} \quad \sum_{q} {(-1)}^q y_q = z' \cdot z''.
-    \end{equation*}
-    Folglich gilt
-    \begin{equation*}
-        \sum_{i} {(-1)}^i x_i = z \cdot (z' \cdot z'').
-    \end{equation*}
-    Wenden wir das gleiche Argument mit \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz} an, so erhalten wir
-    \begin{equation*}
-        \sum_{i} {(-1)}^i x_i = (z \cdot z') \cdot z'',
-    \end{equation*}
-    und damit die gewünschte Assoziativitätsformel.
-    \item[Produktformel]
-    Sei $X'$ eine weitere nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n'$ und $A'$ ihr Koordinatenring.
-    Seien $z_1$ und $z_2$ (beziehungsweise $z_1'$ und $z_2'$) zwei Zykel auf $X$ (beziehungsweise $X'$) und wir nehmen an, dass $z_1 \cdot z_2$ und $z_1' \cdot z_2'$ definiert sind. Dann schneiden sich $z_1 \times z_1'$ und $z_2 \times z_2'$ eigentlich auf $X \times_{\Spec(k)} X'$ und es gilt
-    \begin{equation}
-        (z_1 \times z_1') \cdot (z_2 \times z_2') = (z_1 \cdot z_2) \times (z_1' \cdot z_2').
-    \end{equation}
-    Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind.
-    Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
-    Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assozierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
-    Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth Formel}:
-    \begin{equation*}
-        \Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
-    \end{equation*}
-    \item[Reduktion auf die Diagonale]
-    Sei $\Delta$ die Diagonale in $X \times_{\Spec(k)} X$.
-    Sind $z_1$ und $z_2$ zwei Zykel auf $X$, die sich eigentlich schneiden, so müssen wir die Formel
-    \begin{equation}
-        z_1 \cdot z_2 = (z_1 \times z_2) \cdot \Delta \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt}
-    \end{equation}
-    zeigen.
-    Wir können wieder annehmen, dass $z_1$ und $z_2$ positiv sind.
-    Sei $B = A \otimes_k A$ der Koordinatenring von $X \times_{\Spec(k)} X$ und seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren.
-    Dann gilt nach \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall}
-    \begin{equation*}
-        \Tor^A_i(M_1, M_2) = \Tor^B_i(M_1 \otimes_k M_2, A).
-    \end{equation*}
-    \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt} folgt dann durch Bilden der alternierenden Summe der Zykel auf beiden seiten der obigen Gleichung.
-\end{description}
-
-Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zeigen.
-
-\begin{proof}[Beweis des zweiten Teils von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}~\cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b}]
-    Wir müssen also zeigen, dass die Funktionen $I$ und $i$ übereinstimmen.
-    Dazu betrachten wir zunächst den Fall, dass $U$ ein vollständiger Durchschnitt in $W$ ist, das heißt das Ideal $\mfp_U$ wird von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$.
-    $\bmx = (x_1, \ldots, x_h)$ ist also eine $A$-reguläre Folge.
-    Nach \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor} gilt also
-    \begin{equation*}
-        \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)}{(-1)}^i \length_A(H_i(\bmx, A / \mfp_V))
-    \end{equation*}
-    und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} liefert uns
-    \begin{equation*}
-        \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = e_{\bmx}(A / \mfp_V).
-    \end{equation*}
-    Nach {}\cite[s. 83]{samuel1967methodes} gilt aber $e_{\bmx}(A / \mfp_V) = i(X, U \cdot V, W)$ und das zeigt $I = i$ in diesem Fall.
-
-    Der allgemeine Fall reduziert sich auf diesen, indem wir die \emph{Reduktion auf die Diagonale} verwenden, denn sie ist sowohl für $i$, also auch für $I$ gültig.
-    Da die Diagonale $\Delta$ nicht singulär ist, is sie lokal ein vollständiger Durchschnitt und die Voraussetzungen des vorherigen Falls sind erfüllt.
-\end{proof}
-
-\section{Ausblick}
-\label{sec:Ausblick}
-
-Wir haben im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich darauf hingearbeitet, \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zu beweisen.
-Als wesentlichen Schritt dazu, haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt.
-Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} auf reguläre Ringe gleicher Charakteristik wirkt allerdings etwas speziell und es ist deswegen natürlich zu vermuten, dass die Aussage dieses Theorems auch für beliebige reguläre Ringe gilt.
-
-Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~2]{serre2000local}).
-
-Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
-
-Die erste Aussage des Theorems, die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$, wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
-Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
-
-Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
-\begin{equation*}
-    \dim(M) + \dim(N) < \dim(A) \Longrightarrow \chi(M, N) = 0,
-\end{equation*}
-wurde für den Fall beliebiger regulärer Ringe 1985 von Paul C. Roberts gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998multiplicities}).
-Die Frage, ob die umgekehrte Implikation ebenfalls gilt, ist bis heute ein offenes Problem.
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+\chapter{Einleitung}
+\label{cha:einleitung}
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+Die Schnitmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
+Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Besipiel {}\cite{fulton1998intersection}).
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+Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
+Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
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+\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
+Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet.
+Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht.
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+Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein.
+Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann.
+Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls $M$. Dabei muss $\mfq$ im Maximalideal von $A$ enthalten sein und die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen.
+In diesem Fall gilt dann
+\begin{equation*}
+    \tag{$\ast$}\label{eq:einleitung-samuel-koszul}
+    e_\mfq(M, r) = \sum_{i = 0}^r \length_A(H_i(\bmx, M)),
+\end{equation*}
+wobei die $H_i(\bmx, M)$ die Homologiemoduln des zu $M$ und $\bmx$ gehörigen Koszul-Komplexes sind.
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+In \cref{cha:multiplizitaeten} soll nun die $\Tor$-Formel untersucht werden.
+Dazu werden zunächst die \emph{Gruppe der Zykel} eines Rings und die Multiplizität eines Moduls eingeführt.
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+Die \emph{Reduktion auf die Diagonale} stellt für fast alle folgenden Ergebnisse ein sehr wichtiges Prinzip dar, deswegen wird sie beispielhaft im Fall affiner irreduzibler Varietäten erläutert.
+Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \enquote{Dimensionsformel} der algebraischen Geometrie gezeigt: Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten eines affinen Raums und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, so gilt
+\begin{equation*}
+    \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
+\end{equation*}
+
+Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\widehat{\otimes}$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt: 
+\begin{equation*}
+    \tag{$\ast\ast$}\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen}
+    \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A),
+\end{equation*}
+wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
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+Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
+\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
+    \item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
+    \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
+    \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
+\end{enumerate}
+Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lokale Ringe gleicher Charakteristik kann man dieses Theorem nun auch auf den Fall verallgemeinern, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist.
+Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist.
+\cref{sec:Ausblick} gibt einen kurzen Überblick darüber, welche Resultate in diesem Zusammenhang bereits bewiesen wurden.
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+Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen Geometrie, denn is $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik.
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+Seien $U$ und $V$ irreduzible Untervarietäten von $X$ und $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$, in der sich $U$ und $V$ eigentlich schneiden, das heißt
+\begin{equation*}
+    \dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W).
+\end{equation*}
+Seien außerdem $A$, $A_U$ und $A_V$ die lokalen Ringe von $X$, $U$ und $V$ bei $W$.
+Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, dann gilt
+\begin{equation*}
+    \tag{$\ast\ast\ast$}\label{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet}
+    i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W).
+\end{equation*}
+Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen.
+Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnittheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
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+Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren.
+So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.