diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib index 7ed6ff1..db3f4f7 100644 --- a/bibliography.bib +++ b/bibliography.bib @@ -110,4 +110,12 @@ tures}, volume={44}, pages={305 - 324}, journal={L’Enseignement Mathématique} -} \ No newline at end of file +} + +@book{fulton1998intersection, + title={Intersection Theory}, + author={Fulton, William}, + series={Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete}, + year={1998}, + publisher={Springer New York} +} diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex index beaa8fb..ba3fc04 100644 --- a/chapters/chapter1.tex +++ b/chapters/chapter1.tex @@ -2,3 +2,67 @@ \chapter{Einleitung} \label{cha:einleitung} + +Die Schnitmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein. +Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Besipiel {}\cite{fulton1998intersection}). + +Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten. +Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt. + +\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Pierre Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt bezüglich eines endlich erzeugten Moduls, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$. +Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet. +Als Ergebnis erhalten wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht. + +Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein. +Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann. +Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls $M$. Dabei muss $\mfq$ im Maximalideal von $A$ enthalten sein und die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen. +In diesem Fall gilt dann +\begin{equation*} + \tag{$\ast$}\label{eq:einleitung-samuel-koszul} + e_\mfq(M, r) = \sum_{i = 0}^r \length_A(H_i(\bmx, M)), +\end{equation*} +wobei die $H_i(\bmx, M)$ die Homologiemoduln des zu $M$ und $\bmx$ gehörigem Koszul-Komplexes sind. + +In \cref{cha:multiplizitaeten} soll nun die $\Tor$-Formel untersucht werden. +Dazu werden zunächst die \emph{Gruppe der Zykel} eines Rings und die Multiplizität eines Moduls eingeführt. + +Die \emph{Reduktion auf die Diagonale} stellt für fast alle folgenden Ergebnisse ein sehr wichtiges Prinzip dar, deswegen wird sie beispielhaft im Fall affiner irreduzibler Varietäten erläutert. +Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \enquote{Dimensionsformel} der algebraischen Geometrie gezeigt: Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten eines affinen Raums und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, so gilt +\begin{equation*} + \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W). +\end{equation*} + +Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\widehat{\otimes}$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt: +\begin{equation*} + \tag{$\ast\ast$}\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} + \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A), +\end{equation*} +wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind. + +Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen: +\begin{enumerate}[label = (\roman*)] + \item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}). + \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$. + \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$. +\end{enumerate} +Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lokale Ringe gleicher Charakteristik kann man dieses Theorem nun auch auf den Fall verallgemeinern, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist. +Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist. +\cref{sec:Ausblick} gibt einen kurzen Überblick darüber, welche Resultate in diesem Zusammenhang bereits beweisen wurden. + +Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen geometrie, denn is $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik. + +Seien $U$ und $V$ irreduzible Untervarietäten von $X$ und $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$, in der sich $U$ ind $V$ eigentlich schneiden, das heißt +\begin{equation*} + \dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W). +\end{equation*} +Seien außerdem $A$, $A_U$ und $A_V$ die lokalen Ringe von $X$, $U$ und $V$ bei $W$. +Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, dann gilt +\begin{equation*} + \tag{$\ast\ast\ast$}\label{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} + i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W). +\end{equation*} +Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen. +Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnittheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet. + +Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren. +So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist. diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex index 42f061c..c0244a9 100644 --- a/chapters/chapter4.tex +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -851,7 +851,7 @@ Sei $X$ eine algebraische Varietät über dem Körper $k$. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass $k$ algebraisch abgeschlossen und $X$ irreduzibel ist. Seien $U$, $V$ und $W$ drei irreduzible Untervarietäten von $X$, wobei $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$ ist. Wir nehmen zusätzlich an, dass der lokale Ring $A$ von $X$ bei $W$ regulär ist. -Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ in der Menge der glatten Punkte von $X$ liegt. +Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ nicht-leeren Schnitt mit der glatten Punkte von $X$ hat. Seien $\mfp_U$ und $\mfp_V$ die Primideale des lokalen Rings $A$, die zu den Untervarietäten $U$ und $V$ gehören. Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge.