diff --git a/.vscode/settings.json b/.vscode/settings.json new file mode 100644 index 0000000..52580b0 --- /dev/null +++ b/.vscode/settings.json @@ -0,0 +1,51 @@ +{ + "cSpell.ignoreRegExpList": [ + "\\\\\\w*(\\[.*?\\])?(\\{.*?\\})?(\\[.*?\\])?", + "\\$.+?\\$" + ], + "cSpell.language": "de", + "cSpell.words": [ + "Artin", + "Assoziativitätsformel", + "Bifunktoren", + "Binomialpolynom", + "Binomialpolynome", + "Binomialpolynomen", + "Dimensionstheorie", + "Eigenständigkeitserklärung", + "Endlichkeitsbedingung", + "Gabber", + "Ganzheitsgleichung", + "Kerz", + "Kodimension", + "Kokern", + "Koszul", + "Künneth", + "Loher", + "Moduln", + "Nakayama", + "Normalisierungssatz", + "Notationsgründen", + "Ofer", + "Poincaré", + "Potenzreihenring", + "Potenzreihenringe", + "Potenzreihenringen", + "Schnittmultiplizitäten", + "Serre", + "Serres", + "Surjektivität", + "Torsionselement", + "torsionsfrei", + "torsionsfreier", + "Zykel", + "Zykeln", + "adisch", + "adische", + "adischen", + "artinsch", + "kofinal", + "kofinale", + "surjektiven" + ] +} \ No newline at end of file diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex index 311182e..12fe47c 100644 --- a/chapters/chapter1.tex +++ b/chapters/chapter1.tex @@ -1,9 +1,7 @@ -% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*- - \chapter{Hilbert-Samuel-Polynome} \label{cha:hilbert-samuel-polynome} -In diesem Kapitel wollen Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen. +In diesem Kapitel wollen Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen. Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen. \section{Ganzzahlige Polynome} @@ -265,7 +263,7 @@ wohldefiniert. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung auf $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$. Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. - Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring + Der zu $\mfq$ assoziierte graduierte Ring \begin{equation*} H = \gr(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1} \end{equation*} @@ -304,7 +302,7 @@ wohldefiniert. \label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel} \Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)), \end{equation} - wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist. + wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assoziierte graduierte Modul ist. Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall: @@ -457,7 +455,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über $d(M)$. Im Fall $d(M) = 0$ ist $P_\mfq(M)$ konstant. - Es gibt ein $k \in \N$, mit der Eingeschaft, dass $P_\mfq(M, n) = \length_A(M / \mfq^n M)$ für alle $n \ge k $ gilt, also gilt $\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(M / \mfq^{n + 1} M)$ für alle $n \ge k$. + Es gibt ein $k \in \N$, mit der Eigenschaft, dass $P_\mfq(M, n) = \length_A(M / \mfq^n M)$ für alle $n \ge k $ gilt, also gilt $\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(M / \mfq^{n + 1} M)$ für alle $n \ge k$. Betrachte nun folgende kurze exakte Sequenz: \begin{equation*} 0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0 diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 1b7c444..e7f05a6 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -1,10 +1,8 @@ -% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*- - \chapter{Der Koszul-Komplex} \label{cha:der-koszul-komplex} Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe. -Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglich Samuel’s Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Chaakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen. +Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglicht Samuels Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen. Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. @@ -255,7 +253,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \begin{lem} \label{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} Seien $A$ und $B$ kommutative Ringe und sei $M$ sowohl ein $A$-Modul, als auch ein $B$-Modul. - Weiter seien $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$ eine Familie von Elementen aus $B$ mit der Eingeschaft, dass die Multiplikation mit $x_i$ und $y_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ jeweils den gleichen Gruppenhomomorphismus $\psi_i$ auf $M$ liefert. + Weiter seien $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$ eine Familie von Elementen aus $B$ mit der Eigenschaft, dass die Multiplikation mit $x_i$ und $y_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ jeweils den gleichen Gruppenhomomorphismus $\psi_i$ auf $M$ liefert. Dann gibt es einen Isomorphismus vom Komplexen von abelschen Gruppen \begin{equation*} K^A(\bmx, M) \cong K^B(\bmy, M), @@ -271,7 +269,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. &\cong K^B_p(\bmy) \otimes_B M \\ &= K^B_p(\bmy, M) \end{align*} - Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Ismorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*} + Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*} \phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace. \end{equation*} Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ liefern dann jeweils beide die Abbildung: @@ -316,7 +314,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. K(\bmx, \bullet)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A) \end{equation*} ein Funktor. - Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesodere flach. + Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesondere flach. Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$. Desweiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus \begin{equation*} @@ -368,7 +366,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M). \end{equation*} Durch den Ringhomomorphismus $A \hookrightarrow B$ wird auf $\Tor^B_p(A, M)$ eine $A$-Modulstruktur definiert, die offensichtlich mit der $A$-Modulstruktur von $H_p(\bmx, M)$ übereinstimmt. - Also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Ismomorphismus von $A$-Moduln. + Also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Isomorphismus von $A$-Moduln. Insbesondere gilt für alle $a \in A$ mit $a \in \Ann_B(\Tor^B_p(A, M))$ auch $a \in \Ann_A(H_p(\bmx, M))$. Nun gilt \begin{align*} @@ -468,7 +466,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Wie im Beweise von \cref{thm:samuel-polynom} sieht man, dass $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul ist. Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln. Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugt über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$. - Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln. + Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annulliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln. Nach dem gleichen Argument, das wir bereits für die Wohldefiniertheit der Euler-Poincaré-Charakteristik verwendet haben, folgt dann, dass die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ alle endliche Länge haben. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} Da $H_p(\bmy, \gr(M)) = 0$ für $p \notin \lbrace 0, \ldots, r \rbrace$ und wegen \begin{equation*} diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index a588e27..fd5b360 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -1,9 +1,7 @@ -% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*- - \chapter{Multiplizitäten} \label{cha:multiplizitaeten} -In diesem Kapitel wollen wir die Serre’s Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen. +In diesem Kapitel wollen wir die Serres Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen. Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion auf die Diagonale} vorstellen. \section{Die Multiplizität eines Moduls} @@ -219,7 +217,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: Dieses entspricht einem Primideal $\mfq$ von $R$ mit $\mfq \cap S = \emptyset$, also $\mfq \subset \overline{S}$. Wegen $R \neq 0$ gilt $1 \notin \mcZ(A)$ und da $\mfp$ prim ist, gilt $1 \notin \mfp$. Es folgt $S \supset \overline{\mfp} \cup \overline{\mcZ(A)}$ und damit $\overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A)$. - Insgemsamt erhalten wir also + Insgesamt erhalten wir also \begin{equation*} \mfq \subset \overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A). \end{equation*} @@ -240,7 +238,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: \end{equation*} \begin{proof} Nach dem noetherschen Normalisierungssatz gibt es $B' = k[X_1, \ldots, X_n]$ und $B'' = k[Y_1, \ldots, Y_m]$ mit der Eigenschaft, dass $A'$ ganz über $B'$ und $A''$ ganz über $B''$ ist. - Nach dem Going Up Theorem gilt dann $\dim(A') = \dim(B')$ und $\dim(A'') = \dim(B'')$. Weiter gilt + Nach dem \emph{Going Up Theorem} gilt dann $\dim(A') = \dim(B')$ und $\dim(A'') = \dim(B'')$. Weiter gilt \begin{equation*} B' \otimes_k B'' = k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_m] \cong k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m], \end{equation*} @@ -278,7 +276,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: Demnach gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$. Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei. Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$. - Das Going Up Theorem liefert uns nun + Das \emph{Going Up Theorem} liefert uns nun \begin{align*} \dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) &= \dim(B' \otimes_k B'') \\ &= \dim(B') + \dim(B'')\\ @@ -364,7 +362,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: \begin{equation*} \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim((D / \mfQ_0)/(\mfQ / \mfQ_0)) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim(D / \mfQ). \end{equation*} - Nach Konstruktion gilt $A / \mfp \cong D / \mfQ$ und wir erhalten insgemsamt + Nach Konstruktion gilt $A / \mfp \cong D / \mfQ$ und wir erhalten insgesamt \begin{equation*} n \ge \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'') - \dim(A / \mfp), \end{equation*} @@ -404,7 +402,7 @@ Die obige Aussage übersetzt sich dann auf folgende Weise in algebraische Sprach \begin{equation} A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd \end{equation} -Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Indeal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln. +Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Ideal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln. Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur. Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen \begin{equation} @@ -438,7 +436,7 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf \emph{vervollständigte Tensorp \label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren. Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind. - Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). + Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind. Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul. Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$. @@ -459,7 +457,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften} Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren. Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind. - Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). + Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). \begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item Es gilt \begin{equation} @@ -480,7 +478,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \begin{equation*} \hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N. \end{equation*} - Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollsändigung von $M \otimes_k N$. + Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollständigung von $M \otimes_k N$. \item Der Ring $A \widehat{\otimes}_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei \begin{equation*} \mfr = \mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfn. @@ -506,7 +504,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \begin{equation*} \cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots. \end{equation*} - \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-requläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$. + \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-reguläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$. Dann gilt für alle $i > n - r$: \begin{equation*} \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0 @@ -628,7 +626,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: M \widehat{\otimes}_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)). \end{equation*} - \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie. + \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollständigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie. Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ voll ständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist. Es gilt also auch \begin{equation*} @@ -661,7 +659,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \begin{equation*} \widehat{\Tor}^k_i(M, N) = \varprojlim_{n}\widehat{\Tor}^k_i(M, N / \mfq^n N) \end{equation*} - genügt es die Behuptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen. + genügt es die Behauptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen. Ist $i > n$, so gilt für alle $p,q \in \N$, dass $\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) = 0$, also auch $\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = 0$. Dann liefert uns die kurze exakte Sequenz \begin{equation*} @@ -735,7 +733,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_ \begin{prop} \label{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring} Es sei $k$ ein Körper und $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$. Sei außerdem $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$ und $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen. - Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). + Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). Dann gilt \begin{equation} \label{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} @@ -862,7 +860,7 @@ Verwenden wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}, so \end{equation*} wohldefiniert und $\ge 0$ ist. -Die Voraussetungen von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} sind tatsächlich erfüllt: +Die Voraussetzungen von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} sind tatsächlich erfüllt: $A$ ist regulär von gleicher Charakteristik und für $M = A / \mfp_U$ und $N = A / \mfp_V$ gilt \begin{equation*} \Supp(M \otimes_A N) = \Supp(M) \cap \Supp(N) = \lbrace \mfm \rbrace, @@ -944,7 +942,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \item Wir können den Begriff der Zykel und \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} auf algebraische Varietäten erweitern, die nicht notwendigerweise affin sind. In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ der Kodimension $p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist. Ist $\mcM$ solch eine Modulgarbe mit $\dim(\Supp(\mcM)) \le a$ (was wir manchmal auch als $\dim(\mcM) \le a$ schreiben), so definieren wir auf offensichtliche Weise den Zykel $z_a(\mcM) \in Z_a(X)$. - Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzet werden. + Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzt werden. \end{enumerate} \end{bem} @@ -1010,7 +1008,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $ \end{equation} Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind. Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren. - Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assozierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden). + Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assoziierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden). Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth-Formel}: \begin{equation*} \Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2'). @@ -1035,7 +1033,7 @@ Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} ze \begin{proof}[Beweis des zweiten Teils von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}~\cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b}] Um zu zeigen, dass die Funktionen $I$ und $i$ übereinstimmen, betrachten wir zunächst den Fall, dass $U$ ein vollständiger Durchschnitt in $W$ ist. - Das bedeutet, dass das Ideal $\mfp_U$ von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt wrid und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$. Die Familie + Das bedeutet, dass das Ideal $\mfp_U$ von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt wird und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$. Die Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_h)$ ist also eine $A$-reguläre Folge. Nach \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor} gilt also \begin{equation*} @@ -1078,7 +1076,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un \begin{prop} \label{prop:reduktion-auf-die-diagonale-diskreter-bewertungsring} Sei $k$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring, $A \cong B$ der formale Potenzreihenring über $k$ in $n$ Variablen über $k$ und seien $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. - Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). + Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). Sei $\pi$ ein Erzeuger des Maximalideals von $k$. Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, so gilt \begin{equation*} @@ -1103,7 +1101,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un C \cong k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]. \end{equation*} Sei außerdem $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$. - Durchfreie Auflösungen von $M$ und $N$ wie in Beweis von \cref{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring} und eine $C$-projektive Auflösung von $A \cong C / \mfd$ erhalten wir folgende Specktralsequenz: + Durchfreie Auflösungen von $M$ und $N$ wie in Beweis von \cref{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring} und eine $C$-projektive Auflösung von $A \cong C / \mfd$ erhalten wir folgende Spektralsequenz: \begin{equation*} \Tor^C_p(A, \widehat{\Tor}^k_q(M, N)) \Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, N) \end{equation*} diff --git a/chapters/einleitung.tex b/chapters/einleitung.tex index effc75e..a7ce307 100644 --- a/chapters/einleitung.tex +++ b/chapters/einleitung.tex @@ -1,15 +1,13 @@ -% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*- - \chapter{Einleitung} \label{cha:einleitung} -Die Schnitmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein. -Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Besipiel {}\cite{fulton1998intersection}). +Die Schnittmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein. +Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Beispiel {}\cite{fulton1998intersection}). Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten. Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt. -\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$. +\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$. Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet. Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht. @@ -62,7 +60,7 @@ Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, d i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W). \end{equation*} Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen. -Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnittheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet. +Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnitttheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet. Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren. So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.