diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex
index 2494c7a..8c6b1c7 100644
--- a/chapters/chapter2.tex
+++ b/chapters/chapter2.tex
@@ -373,7 +373,7 @@ wohldefiniert.
\end{equation*}
eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt für $d \ge \deg(P_\mfq(M))$:
\begin{equation*}
- e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + q_\mfq(P, d)
+ e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + e_\mfq(P, d)
\end{equation*}
\begin{proof}
Dies folgt unmittelbar aus \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}.
@@ -479,8 +479,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen.
\begin{equation*}
0 \to M \overset{\cdot x} \to M \to M / xM \to 0
\end{equation*}
- Nach %TODO: Refrenz
- gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
+ Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
\begin{equation*}
d(M) - 1 < \dim(M / xM) \le d(M / xM) \le d(M) - 1.
\end{equation*}
diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex
index 3e2a695..f3767d6 100644
--- a/chapters/chapter3.tex
+++ b/chapters/chapter3.tex
@@ -135,6 +135,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\end{equation*}
\end{defn}
+
\begin{lem}
\label{lem:koszul-komplex-berechnung}
Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex
index db42c31..2462bd3 100644
--- a/chapters/chapter4.tex
+++ b/chapters/chapter4.tex
@@ -604,10 +604,10 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
&\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
- &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N)) % TODO: Wie gehts weiter...?
+ &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))
\end{align*}
- \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
- % TODO: Tor?
+ \todo{Wie gehts weiter\ldots?}%TODO:
+ \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.\todo{$\Tor$?}%TODO:
Es gilt also auch
\begin{equation*}
(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes _k) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
@@ -617,10 +617,9 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{equation*}
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
\end{equation*}
- Da $\mfr$ endlich erzeugt ist, %TODO: Warum?
+ Da $\mfr$ endlich erzeugt ist,\todo{Warum?}%TODO:
und $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ auch noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
- Es gilt $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$, also ist $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$ endlich erzeugt und es folgt, dass auch $M \widehat{\otimes}_k N$ endlich erzeugt ist (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
- %TODO: Maximalideale?
+ Es gilt $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$, also ist $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$ endlich erzeugt und es folgt, dass auch $M \widehat{\otimes}_k N$ endlich erzeugt ist (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).\todo{Maximalideale?}%TODO:
\item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
\begin{gather*}
@@ -719,8 +718,8 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
\begin{equation*}
\gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \widehat{\otimes}_k N).
\end{equation*}
- Dieser ist bijektiv, %TODO: Beweis?
- also gilt %TODO: Wie folgt das?
+ Dieser ist bijektiv, \todo{Beweis?}%TODO:
+ also gilt\todo{Wie folgt das?}%TODO:
\begin{equation*}
\dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N)
\end{equation*}
@@ -736,9 +735,9 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
\begin{equation*}
\cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0
\end{equation*}
- jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist $(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$. %TODO: Warum?
+ jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist $(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.\todo{Warum?}%TODO:
Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
- Dann gilt %TODO: Warum?
+ Dann gilt\todo{Warum?}%TODO:
\begin{equation*}
K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A
\end{equation*}
@@ -792,19 +791,56 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
Dann gilt
\begin{enumerate}
- \item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N)_\mfq)$,
+ \item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N)_\mfq) \ge 0$,
\item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$,
\item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
- Durch Vervollständigung erhalten wir %TODO: Wieso?
+ Durch Vervollständigung erhalten wir \todo{Wieso?}%TODO: Wieso?
\begin{equation*}
\Tor^A_i(M, N)_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq),
\end{equation*}
- Also können wir annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist. %TODO: Warum ist \dim(A) = \dim(A_\mfq)?
+ Also können wir annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist. \todo{Warum ist $\dim(A) = \dim(A_\mfq)$?}%TODO:
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$ und dann folgt die Behauptung, wie wir weiter oben gesehen haben.
\end{proof}
\end{thm}
\section{Die $\BTor$-Formel}
-\label{sec:die-tor-formel}
\ No newline at end of file
+\label{sec:die-tor-formel}
+
+Sei $X$ eine algebraische Varietät über dem Körper $k$.
+Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass $k$ algebraisch abgeschlossen und $X$ irreduzibel ist.
+Seien $U$, $V$ und $W$ drei irreduzible Untervarietäten von $X$, wobei $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$ ist.
+Wir nehmen zusätzlich an, dass der lokale Ring $A$ von $X$ bei $W$ regulär ist.
+Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ in der Menge der glatten Punkte von $X$ liegt.
+
+Nach \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} gilt nun\todo{Wieso auch im nicht affinen Fall?}%TODO:
+\begin{equation}
+ \label{eq:dimension-intersection}
+ \dim(U) + \dim(V) \le \dim(X) + \dim(W).
+\end{equation}
+Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}.
+
+Seien $\mfp_U$ und $\mfp_V$ die Primideale des lokalen Rings $A$, die zu den Untervarietäten $U$ und $V$ gehören.
+Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge.\todo{Warum?}%TODO:
+Verwenden wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}, so erhalten wir, dass die Euler-Poincaré-Charakteristik\todo{Wieso bis $\dim(X)$?}%TODO:
+\begin{equation*}
+ \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(X)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(A / \mfp_U, A / \mfp_V))
+\end{equation*}
+wohldefiniert und $\ge 0$ ist.
+
+Die Voraussetungen von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} sind tatsächlich erfüllt:
+$A$ ist regulär von gleicher Charakteristik und für $M = A / \mfp_U$ und $N = A / \mfp_V$ gilt
+\begin{equation*}
+ \Supp(M \otimes_A N) = \Supp(M) \cap \Supp(N) = \lbrace \mfm \rbrace,
+\end{equation*}
+wobei $\mfm$ das Maximalideal von $A$ ist, denn $M \otimes_A N \cong A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge, also sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente von $\Supp(M \otimes_A N)$ maximale Ideale.
+Also ist $\mfm$ das eindeutige minimale Primideal von $\Supp(M \otimes_A N)$.
+
+\begin{thm}
+ \label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
+ \begin{enumerate}[(a)]
+ \item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
+ \item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
+ \end{enumerate}
+\end{thm}
\ No newline at end of file
diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex
index 4b4d429..2698347 100644
--- a/custom_commands.tex
+++ b/custom_commands.tex
@@ -44,3 +44,6 @@
\DeclareMathOperator{\pplus}{\phantom{+}}
\DeclareMathOperator{\poplus}{\phantom{\oplus}}
\DeclareMathOperator{\peq}{\phantom{=}}
+
+\usepackage{color}
+\newcommand{\todo}[1]{\marginpar{\color{red}#1}}
\ No newline at end of file