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@@ -3,6 +3,71 @@
 \chapter{Multiplizitäten}
 \label{cha:multiplizitaeten}
 
+\section{Die Multiplizität eines Moduls}
+\label{sec:die-multiplizitaet-eines-moduls}
+Im Folgenden wollen wir den Begriff der \emph{Multiplizität} eines Moduls einführen.
+Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
+
+\begin{defn}[Gruppe der Zykel eines Rings]
+    \label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings}
+    Sei $A$ ein nötherscher Ring.
+    Die freie abelsche Gruppe $Z(A) = \bigoplus_{\Spec(A)} \Z$ heißt \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$.
+    Ihre Elemente werden \textbf{Zykel} genannt.
+    Wir nennen einen Zykel $Z$ \textbf{positiv}, falls er von der Form
+    \begin{equation*}
+        Z = \sum_{\mfp \in \Spec(A)} n(\mfp) \mfp
+    \end{equation*}
+    mit $n(\mfp) > 0$ für alle $\mfp \in \Spec(A)$ ist.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}
+    \label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings-der-dimension}
+    Sei $A$ ein nötherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
+    Für alle $p \in \N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) =~p$ erzeugt wird.
+    Wir nennen $\Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ \textbf{der Dimension} $p$.
+    Offensichtlich gilt $Z(A) = \bigoplus_{p = 0}^n Z_p(A)$.
+\end{defn}
+
+Ist $A$ ein nötherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln mit $K(A)$ und die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln von Dimension $\le p$ mit $K_p(A)$.
+
+\begin{lem}
+    Sei $A$ ein nötherscher Ring und $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine kurze exakte Sequenz in $K(A)$.
+    Sind $M$ und $P$ in $K_p(A)$, so auch $N$.
+    \begin{proof}
+        Lokalisieren liefert sofort $\Supp(N) = \Supp(M) \cup \Supp(P)$, also
+        \begin{align*}
+            \dim_A(N) &= \sup_{\mfp \in \Supp(N)} \dim(A / \mfp) \\
+            &= \sup_{\mfp \in \Supp(M) \cup \Supp(P)} \dim(A / \mfp) \\
+            &= \max(\dim_A(M), \dim_A(P)). 
+        \end{align*}
+    \end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{lem}
+    Sei $A$ ein nötherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$.
+    Sei weiter $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$.
+    Dann ist $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
+
+    Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine Kompositionsreihe von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
+    \begin{proof}
+        Ist $\mfq \notin \Supp(M)$, so gilt $M_\mfq = 0$ und damit $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = 0 < \infty$.
+        Ist $\mfp \in \Supp(M)$, so gilt wegen $\dim_A(M) \le p$:
+        \begin{equation*}
+            \dim(A / \mfq) = p = \sup_{\mfp \in \Supp(M)} \dim(A / \mfp) = \dim_A(M)
+        \end{equation*}
+        Insbesondere gibt es kein $\mfp \in \Supp(M)$ mit $\mfp \subsetneq \mfq$.
+        Nun folgt
+        \begin{align*}
+            \Supp(M_\mfq) &= \Spec(A_\mfq / (\Ann_{A_\mfq}(M_\mfq))) \\
+            &= \Spec({(A / \Ann_A(M))}_\mfq) \\
+            &= \lbrace \mfp A_\mfq \mid \mfp \in \Supp(M) \wedge \mfp \subset \mfq \rbrace \\
+            &= \lbrace \mfq A_\mfq \rbrace,
+        \end{align*}
+        also enthält $\Supp(M_\mfq)$ nur das eindeutige Maximalideal von $A_\mfq$.
+        Mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
+    \end{proof}
+\end{lem}
+
 \section{Reduktion auf die Diagonale}
 \label{sec:reduktion-auf-die-diagonale}
 
@@ -538,6 +603,6 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
         Sei $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
         Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
         Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
-        
+
     \end{proof}
 \end{prop}
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