diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index 0fa824d..3ee0e03 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -1,26 +1,29 @@ -\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc, draft=true]{scrbook} - \usepackage[utf8]{inputenc} - \usepackage[T1]{fontenc} - \usepackage{hyperref} - \hypersetup{pdfinfo={Title={Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}, Author={Johannes Loher}}} - \usepackage{amsthm} - \usepackage{csquotes} - \usepackage{babel} - \usepackage{amsmath} - \usepackage{amssymb} - \usepackage{lmodern} - \usepackage{mathtools} - \usepackage{enumitem} - \usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex} - \bibliography{bibliography} - \usepackage{cleveref} - \usepackage{bm} - \usepackage{tikz-cd} - \usetikzlibrary{babel} - - \input{theorem_environments} - \input{custom_commands} - +\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc,BCOR=3mm,draft=true]{scrbook} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{hyperref} +\hypersetup{pdfinfo={Title={Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}, Author={Johannes Loher}}} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{csquotes} +\usepackage{babel} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{lmodern} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{enumitem} +\usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex} +\bibliography{bibliography} +\usepackage{cleveref} +\usepackage{bm} +\usepackage{tikz-cd} +\usetikzlibrary{babel} + +\input{theorem_environments} +\input{custom_commands} + +\addtokomafont{disposition}{\rmfamily} +\setkomafont{descriptionlabel}{\normalfont\itshape} + \begin{document} \frontmatter \include{title} @@ -39,7 +42,7 @@ \printbibliography \chapter*{Eigenständigkeitserklärung} -%\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung} + Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe. \vspace{1.5cm} diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex index 5717c93..311182e 100644 --- a/chapters/chapter1.tex +++ b/chapters/chapter1.tex @@ -102,7 +102,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte \end{proof} \end{deflem} -Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt für $k > 0$ offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$. +Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$ für $k > 0$. Insbesondere ist $e_k(f)$ für $\deg(f) \le k$ das konstante Polynom $\Delta^k f$ und es gilt \begin{equation*} f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(x), @@ -127,7 +127,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig. - Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$. + Ist $k$ der Grad von $P_f$, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$. \end{defn} @@ -212,7 +212,7 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. \begin{nota} \label{nota:hilbert-polynomial} Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. - Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. + Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$. \end{nota} diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index cabf6ba..1b7c444 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -26,11 +26,11 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H_i(x, M)$. Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt: \begin{align*} - {K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\ - {K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M, \\ - {K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M, \\ + {K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1 \\ + {K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M \\ + {K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M \\ \end{align*} - und die Randabbildung + Die Randabbildung \begin{equation*} d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0 \end{equation*} @@ -42,7 +42,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \begin{align*} H_i(x,M) &= 0 \qquad \text{falls } i \ne 0,1, \\ H_0(x,M) &= M/xM, \\ - H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M). + H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M,\, m \mapsto xm). \end{align*} \end{defn} @@ -55,7 +55,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \end{equation*} exakt. \begin{proof} - Die natürliche Einbettung $A \to K(x)$ liefert eine Einbettung von Komplexen + Die natürliche Inklusion $A \to K(x)$ liefert einen Monomorphismus von Komplexen \begin{equation*} L = A \otimes_A L \to K(x) \otimes_A L. \end{equation*} @@ -159,17 +159,17 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \end{equation} Dabei verwenden wir die Konvention, dass das Symbol unter \enquote{$\widehat{\;}$} weggelassen wird. \begin{proof} - Für $p\in \Z$ sei $I_p^r = \lbrace\bmi \subset \lbrace1,\ldots,r\rbrace \mid \#\bmi = p\rbrace$. Wir haben folgendes zu zeigen: + Für $p\in \Z$ sei $\mcI_p^r = \lbrace I \subset \lbrace1,\ldots,r\rbrace \mid \#I = p\rbrace$. Wir haben folgendes zu zeigen: \begin{equation*} - K_p(\bmx) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) + K_p(\bmx) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) \end{equation*} Dies beweisen wir durch Induktion über $r$. - Im Fall $r = 1$ gilt $I_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $I_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $I_p^1 = \emptyset$. + Im Fall $r = 1$ gilt $\mcI_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $\mcI_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $\mcI_p^1 = \emptyset$. Damit folgt: \begin{align*} - K_0(\bmx) &= K_0(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_0^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\ - K_1(\bmx) &= K_1(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_1^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\ - K_p(\bmx) &= K_p(x_1) = 0 = \bigoplus_{\bmi \in I_p^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) && \text{für }p \notin \lbrace0, 1\rbrace + K_0(\bmx) &= K_0(x_1) = \bigoplus_{I \in \mcI_0^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\ + K_1(\bmx) &= K_1(x_1) = \bigoplus_{I \in \mcI_1^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\ + K_p(\bmx) &= K_p(x_1) = 0 = \bigoplus_{I \in \mcI_p^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) && \text{für }p \notin \lbrace0, 1\rbrace \end{align*} Für die Randabbildung $d\colon K_1(x_1) \to K_0(x_1)$ im Grad $1$ gilt \begin{align*} @@ -183,22 +183,30 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Sei außerdem $\bmx' = (x_1,\ldots,x_{r-1})$. Dann gilt: \begin{align*} - K_p(\bmx) &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\ - &= \bigoplus_{j \in \lbrace0,1\rbrace} K_{p - j}(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\ - &= \poplus\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_0(x_r)\\ - &\peq \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_1(x_r)\\ - &= \poplus\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\ - &\peq \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi \cup \lbrace r \rbrace}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus (\bmi \cup \lbrace r \rbrace)}K_0(x_i)\right)\right)\\ - &= \poplus \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \notin \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\ - &\peq \oplus \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\ - &= \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\ - &= \bigoplus_{\bmi \in I_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) + K_p(\bmx) & = \bigoplus_{i + j = p} K_i(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\ + & = \bigoplus_{j \in \lbrace0,1\rbrace} K_{p - j}(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\ + & = + \begin{aligned}[t] + & \bigoplus_{I \in \mcI_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_0(x_r)\\ + \oplus & \bigoplus_{I \in \mcI_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_1(x_r) + \end{aligned}\\ + & = + \begin{aligned}[t] + & \bigoplus_{I \in \mcI_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\ + \oplus & \bigoplus_{I \in \mcI_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I \cup \lbrace r \rbrace}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus (I \cup \lbrace r \rbrace)}K_0(x_i)\right)\right) + \end{aligned}\\ + & = + \begin{aligned}[t] + & \bigoplus_{\substack{I \in \mcI_{p}^{r}\\r \notin I}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\ + \oplus & \bigoplus_{\substack{I \in \mcI_{p}^{r}\\r \in I}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) + \end{aligned}\\ + & = \bigoplus_{I \in \mcI_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) \end{align*} Nun betrachten wir die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$. Dabei unterscheiden wir die zwei Fälle $r \in \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$ und $r \notin \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$. Im ersten Fall gilt: \begin{align*} & d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{1}_{\in K_0(x_r)}) \\ - =& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}}) \otimes 1 + {(-1)}^p e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\ + =& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}}) \otimes 1 + {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\ =& \left(\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}\right) \otimes 1 \\ =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \end{align*} @@ -220,7 +228,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \label{defn:koszul-komplex-modul} Ist $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$. Wegen \cref{lem:koszul-komplex-berechnung} gilt \begin{equation*} - K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right) + K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right) \end{equation*} und die Randabbildung $K_p(\bmx, M) \to K_{p - 1}(\bmx, M)$ ist durch folgende Formel gegeben: \begin{equation} @@ -231,7 +239,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \end{aligned} \end{equation} Wir bezeichnen den $p$-ten Homologiemodul von $K(\bmx, M)$ mit $H_p(\bmx, M)$. - Wir bezeichnen mit $\bmx$ auch das Ideal $(x_1, \ldots,x_r)$. + Ab nun bezeichnen wir mit $\bmx$ und $(x_1, \ldots, x_r)$ je nach Kontext auch das von den Elementen $x_1, \ldots, x_r$ erzeugte Ideal in A. Offensichtlich gilt: \begin{align*} H_0(\bmx, M) &= M/\left(\bigoplus_{i = 1}^r x_i M \right) = M/\bmx M \\ @@ -241,7 +249,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \begin{bem} \label{bem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} - Wenn wir den zu Grunde liegenden Ring $A$ nennen wollen, dann schreiben wir $K^A(\bmx)$, $H^A_p(\bmx)$, $K^A(\bmx, M)$ und $H^A_p(\bmx, M)$. Tatsächlich ist $K(\bmx, M)$ und damit auch $H_p(\bmx, M)$ aber nicht vom Grundring $A$ abhängig, sondern nur von der abelschen Gruppe $M$ und den Gruppenhomomorphismen $x_i\colon M \to M$, wie das folgende Lemma zeigt. + Wenn wir den zu Grunde liegenden Ring $A$ nennen wollen, dann schreiben wir $K^A(\bmx)$, $H^A_p(\bmx)$, $K^A(\bmx, M)$ und $H^A_p(\bmx, M)$. Tatsächlich ist $K(\bmx, M)$ und damit auch $H_p(\bmx, M)$ aber nicht vom Grundring $A$ abhängig, sondern nur von der abelschen Gruppe $M$ und den Gruppenhomomorphismen $\cdot x_i\colon M \to M,\, m \mapsto xm$, wie das folgende Lemma zeigt. \end{bem} \begin{lem} @@ -264,7 +272,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. &= K^B_p(\bmy, M) \end{align*} Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Ismorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*} - \phi_p \colon I_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace. + \phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace. \end{equation*} Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ liefern dann jeweils beide die Abbildung: \begin{align*} @@ -282,7 +290,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \begin{prop} \label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} - Wenn zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$. + Wenn $\bmx$ zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$. \begin{proof} Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist. @@ -331,11 +339,11 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. ein Isomorphismus von $\delta$-Funktoren. \begin{proof} Nach \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} ist $H_p(\bmx, A) = 0$ für $p > 0$ und es gilt $H_0(\bmx, A) = A / \bmx$. - Also ist $K(\bmx) = K(\bmx, A)$ ein azyklischer Komplex auf $A / \bmx$, also ist + Also ist $K(\bmx) = K(\bmx, A)$ ein azyklischer Komplex auf $A / \bmx$ und damit ist \begin{equation*} \cdots \to K_1(\bmx) \to K_0(\bmx) \to A / \bmx \to 0 \end{equation*} - eine Auflösung. + eine Auflösung von $A / \bmx$. Da $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ ist, ist diese Auflösung frei. Insbesondere ist sie projektiv und damit folgt die Behauptung. \end{proof} @@ -354,7 +362,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \end{equation*} \begin{proof} Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$. - Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind außerdem $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph. + Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind dann $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph. Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine reguläre Folge auf $M$ ist, folgt also \begin{equation*} H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M). @@ -376,9 +384,9 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \label{koszul-komplex-lokalisierung-und-vervollstaendigung} Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. - Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) = {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph. + Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) \cong {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph. - Statten wir die $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, so gilt $K(\bmx, \widehat{M}) = \widehat{K(\bmx, M)}$, denn + Statten wir die $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, so gilt $K(\bmx, \widehat{M}) \cong \widehat{K(\bmx, M)}$, denn \begin{equation*} K_p(\bmx, \widehat{M}) \cong \bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M} = \prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M} @@ -406,8 +414,8 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Sind beide Voraussetzungen gegeben, so stimmen die beiden Definitionen überein, da die Länge additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist. \end{defn} -Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$. -Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$. +Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$. +Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für alle Primideale $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$. Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$. Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$. @@ -423,7 +431,7 @@ Das Samuel-Polynom $P_{\bmx}(M)$ ist nach \cref{thm:samuel-polynom} vom Grad $\l \begin{equation*} P_{\bmx}(M, r) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n), \end{equation*} -wobei $Q$ ein Polynom in $\in \Q[X]$ vom Grad $< r$ ist und wir mit $e_{\bmx}(M, r)$ das konstante Polynom $\Delta^r P_{\bmx}(M)$ bezeichnen. +wobei $Q$ ein Polynom in $\in \Q[X]$ vom Grad $< r$ ist. Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M, r)$ miteinander vergleichen. @@ -437,10 +445,10 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M \begin{equation*} {(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p. \end{equation*} - Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung auf $K$. + Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung auf~$K$. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring. Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$. - Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$. + Seien $y_1, \ldots, y_r$ die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$. Sei $\gr(M)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $M$ gehörige graduierte $\gr(A)$-Modul. Dann gilt \begin{equation*} @@ -449,24 +457,24 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M denn \begin{align*} {\gr(K)}_p &= \bigoplus_{i \in \Z}{(F^i K)}_p / {(F^{i + 1} K)}_p \\ - &= \bigoplus_{i \in \Z} x^{i - p}K_p / x^{i + 1 - p}K_p \\ - &= \bigoplus_{i \in \Z} x^i K_p / x^{i + 1}K_p \\ - &\cong \bigoplus_{i \in \Z} x^i M^{\binom{r}{p}} / x^{i + 1} M^{\binom{r}{p}} \\ - &\cong {\left(\bigoplus_{i \in \Z} x^i M / x^{i + 1} M \right)}^{\binom{r}{p}} \\ + &= \bigoplus_{i \in \Z} \bmx^{i - p}K_p / \bmx^{i + 1 - p}K_p \\ + &= \bigoplus_{i \in \Z} \bmx^i K_p / \bmx^{i + 1}K_p \\ + &\cong \bigoplus_{i \in \Z} \bmx^i M^{\binom{r}{p}} / \bmx^{i + 1} M^{\binom{r}{p}} \\ + &\cong {\left(\bigoplus_{i \in \Z} \bmx^i M / \bmx^{i + 1} M \right)}^{\binom{r}{p}} \\ &= {\gr(M)}^{\binom{r}{p}} \\ &\cong K_p(\bmy, \gr(M)) \end{align*} und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen der beiden Komplexe. - \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Weil $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul ist, ist $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul. + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Wie im Beweise von \cref{thm:samuel-polynom} sieht man, dass $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul ist. Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln. - Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugte Moduln über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$. - Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar als endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln. + Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugt über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$. + Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln. Nach dem gleichen Argument, das wir bereits für die Wohldefiniertheit der Euler-Poincaré-Charakteristik verwendet haben, folgt dann, dass die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ alle endliche Länge haben. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} Da $H_p(\bmy, \gr(M)) = 0$ für $p \notin \lbrace 0, \ldots, r \rbrace$ und wegen \begin{equation*} H_p(\bmy, \gr(M)) = \bigoplus_{i \in \Z} H_p(F^i K / F^{i + 1}K) \end{equation*} - gibt es also ein $m \ge 0$ mit der Eigenschaft, dass $H_p(F^i K / F^{i + 1}K) = 0$ für alle $i > m$ und alle $p \in \Z$. Ohne Einschränkung können wir $m \ge r$ annehmen. + gibt es ein $m \ge 0$ mit der Eigenschaft, dass $H_p(F^i K / F^{i + 1}K) = 0$ für alle $i > m$ und alle $p \in \Z$. Ohne Einschränkung können wir $m \ge r$ annehmen. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} Wir zeigen nun $H_p(F^i K / F^{i + j} K) = 0$ für alle $p \in \Z$, $i > m$ und $j \ge 0$ durch Induktion über $j$: Im Fall $j = 0$ ist die Behauptung trivial. Sei also nun $j \ge 1$ und die Behauptung für $j - 1$ bereits gezeigt. @@ -475,18 +483,26 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M 0 \to F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j - 1}K \to 0 \end{equation*} Dies liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz: - \begin{align*} - \cdots &\to H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K) \to \\ - & \to H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to \cdots - \end{align*} - Nach Voraussetzung ist $j \ge 1$, also ist $i + j - 1 > m$ und damit folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} $H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$. - Nach Induktionsvoraussetzung gilt $H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$, das heißt wir erhalten für alle $p \in \Z$ die kurze exakte Sequenz + \begin{center} + \begin{tikzcd}[column sep=tiny] + \cdots \ar[r] & H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \ar[r] & H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \ar[r] \ar[d, phantom, ""{coordinate, name=Z}] + & H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K)\arrow[dll, + rounded corners, + to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east) + |- (Z) [near end]\tikztonodes + -| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west) + -- (\tikztotarget)}] \\ + & H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \ar[r] & \cdots + \end{tikzcd} + \end{center} + Nach Voraussetzung ist $j \ge 1$, also ist $i + j - 1 > m$ und damit folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} bereits $H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$. + Nach Induktionsvoraussetzung gilt $H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K) = 0$ für alle $p \in \Z$, das heißt wir erhalten für alle $p \in \Z$ die exakte Sequenz \begin{equation*} - 0 \to 0 \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to 0 \to 0, + 0 \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to 0, \end{equation*} also muss auch $H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) = 0$ gelten. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-6} Seien $Z^i_p$ und $B^i_p$ jeweils die Moduln der Zykel und Ränder in ${(F^i K)}_p$. - Nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} gilt $H_p(F^i K / \bmx^j {(F^i K)}_p) = 0$ für alle $j \ge 0$, also + Nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} gilt $H_p(F^i K / \bmx^j {(F^i K)}_p) = 0$ für alle $j \ge 0$ und $i > m$, also \begin{equation*} Z^i_p \subset B^i_p + \bmx^j {(F^i K)}_p. \end{equation*} @@ -495,9 +511,9 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p}, \end{equation*} wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet. - Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}). + Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eines endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}). Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$. - \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Wir betrachten nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen \begin{equation*} 0 \to F^i K \to K \to K / F^i K \to 0. \end{equation*} @@ -511,7 +527,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M \end{equation*} für alle $p \in \Z$ ein Isomorphismus ist. - \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-8} Wegen $\length_A(M/\bmx M) < \infty$ sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente in $\Supp(M) \cap V(\bmx)$ maximale Ideale. + \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-8} Weil $M/\bmx M$ von endlicher Länge ist, sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente in $\Supp(M) \cap V(\bmx)$ maximale Ideale. Wegen $V(\bmx^i) = V(\bmx)$ gilt also nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} auch $\length_A(M / \bmx^i M) < \infty$ und damit ist auch \begin{equation*} {(K / F^i K)}_p \cong {(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}} diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index 309b1cc..00ee71f 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -956,10 +956,10 @@ Dies ermöglicht es uns \cref{prop:schnitt-zykel} anzuwenden. Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring. \begin{description} - \item[Kommutativität] + \item[Kommutativität.] Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(\bullet, \bullet)$ sind symmetrisch. - \item[Assoziativität] + \item[Assoziativität.] Seien $z$, $z'$ und $z''$ drei positive Zykel der Dimensionen $a$, $a'$ und $a''$. Wir nehmen an, dass die Schnittprodukte $z \cdot z'$, $(z \cdot z') \cdot z''$, $z' \cdot z''$ und $z \cdot (z' \cdot z'')$ definiert sind. Dann müssen wir @@ -1000,7 +1000,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $ \sum_{i} {(-1)}^i x_i = (z \cdot z') \cdot z'', \end{equation*} und damit die gewünschte Assoziativitätsformel. - \item[Produktformel] + \item[Produktformel.] Sei $X'$ eine weitere nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n'$ und $A'$ ihr Koordinatenring. Seien $z_1$ und $z_2$ (beziehungsweise $z_1'$ und $z_2'$) zwei Zykel auf $X$ (beziehungsweise $X'$) und wir nehmen an, dass $z_1 \cdot z_2$ und $z_1' \cdot z_2'$ definiert sind. Dann schneiden sich $z_1 \times z_1'$ und $z_2 \times z_2'$ eigentlich auf $X \times_{\Spec(k)} X'$ und es gilt \begin{equation} @@ -1013,7 +1013,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $ \begin{equation*} \Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2'). \end{equation*} - \item[Reduktion auf die Diagonale] + \item[Reduktion auf die Diagonale.] Sei $\Delta$ die Diagonale in $X \times_{\Spec(k)} X$. Sind $z_1$ und $z_2$ zwei Zykel auf $X$, die sich eigentlich schneiden, so müssen wir die Formel \begin{equation} diff --git a/chapters/einleitung.tex b/chapters/einleitung.tex index fc05bc4..effc75e 100644 --- a/chapters/einleitung.tex +++ b/chapters/einleitung.tex @@ -42,8 +42,8 @@ wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \w Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen: \begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}). - \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$. - \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$. + \item $\chi^A(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$. + \item $\chi^A(M, N) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$. \end{enumerate} Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lokale Ringe gleicher Charakteristik kann man dieses Theorem nun auch auf den Fall verallgemeinern, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist. Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist. diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index 060c538..6edc4de 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -17,17 +17,15 @@ \newcommand{\mfP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\mfQ}{\mathfrak{Q}} -\newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}} - -\newcommand{\bmi}{\bm{i}} -%\newcommand{\bmx}{\text{\ttfamily\bfseries\upshape{}x}} \newcommand{\bmx}{\bm{\mathrm{x}}} \newcommand{\bmy}{\bm{\mathrm{y}}} \newcommand{\bmX}{\bm{\mathrm{X}}} +\newcommand{\mcI}{\mathcal{I}} \newcommand{\mcM}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcN}{\mathcal{N}} \newcommand{\mcO}{\mathcal{O}} +\newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}} \DeclareMathOperator{\mcTor}{\mathcal{T}\!\mathit{or}} \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} diff --git a/title.tex b/title.tex index 007038c..dd80bc4 100644 --- a/title.tex +++ b/title.tex @@ -1,19 +1,19 @@ \begin{titlepage} \begin{center} \includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\par\vspace{1cm} - \textsc{\LARGE{}Universität Regensburg}\par\vspace{0.5cm} - \textsc{\Large{}Fakultät für Mathematik}\par\vspace{1cm} + \textsc{\LARGE Universität Regensburg}\par\vspace{0.5cm} + \textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\par\vspace{1cm} \begin{huge} \textbf{Serres $\BTor$-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\par \end{huge}\vspace{1cm} - {\LARGE{}Masterarbeit}\par\vspace{0.5cm} - {\Large{}von}\par + {\LARGE Masterarbeit}\par\vspace{0.5cm} + {\Large von}\par {\LARGE\bfseries{}Johannes Loher}\par - {\large{}(Matrikelnummer 1 576 123)}\par\vspace{1cm} + {\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\par\vspace{1cm} \begin{tabular}{ll} - \large{}Betreuer: & \large{}Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\ + \large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\ \end{tabular} \vfill - {\large{}\today} + {\large \today} \end{center} \end{titlepage}