diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex
index 48d3cdb..207c9c7 100644
--- a/chapters/chapter2.tex
+++ b/chapters/chapter2.tex
@@ -24,6 +24,32 @@
Offensichtlich ist $\Delta$ ein Homomorphismus abelscher Gruppen.
\end{defn}
+\begin{lem}
+ \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
+ Sei $Z$ eine abelsche Gruppe, $A\subset \Q$ induktiv und $f\colon A \to Z$ eine Abbildung.
+ Sind $n \in \Q$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
+ \begin{equation*}
+ \Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+ \end{equation*}
+ \begin{proof}
+ Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
+ \begin{equation*}
+ \Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+ \end{equation*}
+ Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
+ \begin{align*}
+ \Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
+ &= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
+ &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
+ &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
+ \end{align*}
+ \end{proof}
+\end{lem}
+
\begin{lem}
\label{lem:differenzenoperator-binomialpolynom}
Für $k \in \N$ mit $k > 0$ gilt
@@ -50,10 +76,12 @@
Ist $f$ solch ein Polynom, dann bezeichnen wir mit $e_k(f)$ den Koeffizienten von $Q_k$ in der Darstellung $f = \sum_{n \in \N} e_k Q_k$.
\begin{proof}[Beweis der Äquivalenz]
Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar.
+
Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$.
Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und $\Delta f$ (a) erfüllt, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$.
Das es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$.
Also sind (a) und (d) äquivalent.
+
Um die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) zu zeigen, nutzen wir Induktion über den Grad von $f$.
Ist $f$ vom Grad $0$, so ist $f$ konstant und wegen (c) gilt dann $f \in \Z$ und damit (a).
Sei also nun $f$ vom Grad $d > 0$ und die Behauptung wahr für Polynome vom Grad $< d$.
@@ -62,53 +90,53 @@
\end{proof}
\end{deflem}
+Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt für $k > 0$ offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$.
+Insbesondere ist $e_k(f)$ für $\deg(f) \le k$ das konstante Polynom $\Delta^k f$ und es gilt
+\begin{equation*}
+ f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(x),
+\end{equation*}
+wobei $g(x) \in \Q[X]$ mit $\deg(g) < k$.
+Ist $\deg(f) = k$, so gilt
+\begin{equation*}
+ f(n) \sim e_k(f) \frac{n^k}{k!} \qquad \text{für } n \to \infty.
+\end{equation*}
+Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sodass $f(z) > 0$ für alle $z \ge z_0$ gilt.
+
\section{Polynomartige Funktionen}
\label{sec:polynomartige-funktionen}
-Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$.
+Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv.
\begin{defn}
\label{defn:polynomartige-funktionen}
Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
- Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt.
- Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
+ Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig.
+ Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$.
\end{defn}
-\begin{lem}
- \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
-\end{lem}
- Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
- \begin{equation*}
- \Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
- \end{equation*}
- \begin{proof}
- Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
- \begin{equation*}
- \Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
- \end{equation*}
- Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
- \begin{align*}
- \Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
- &= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
- &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\
- &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
- &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
- &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
- &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
- &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
- \end{align*}
- \end{proof}
+
\begin{lem}
\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- \begin{enumerate}[(i)]
- \item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$
- \item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$
+ \begin{enumerate}[(a)]
+ \item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$
+ \item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$
\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
- {}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen
+ Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) sind klar.
+
+ Sei also nun (b) wahr.
+ Sei $R = \sum_{k \in \N} e_k(P_{\Delta f}) Q_{k+1}$, dann ist $R$ vom Grad $\le r$ und es gilt $\Delta R = P_{\Delta f}$.
+ Betrachte die Abbildung $g \colon A \to \Z,\, z \mapsto f(z) - R(z)$, dann gilt für $z$ groß genug:
+ \begin{equation*}
+ \Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0
+ \end{equation*}
+ Das bedeutet, für $z$ groß genug ist $g(z) = e_0 \in \Z$ und es folgt $f(z) = R(n) + e_0$ für $z$ groß genug.
+ Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$.
+
+ Die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) folgt durch Induktion über $r$ und Verwendung der Implikation (b) $\Rightarrow$ (a).
\end{proof}
\end{lem}