From 925d9a3e6093f058828db61507cea9273fbb2754 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Thu, 10 Aug 2017 15:38:16 +0200 Subject: [PATCH] Teil zu Polynomartigen Funktionen fertiggestellt --- chapters/chapter2.tex | 90 ++++++++++++++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 59 insertions(+), 31 deletions(-) diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 48d3cdb..207c9c7 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -24,6 +24,32 @@ Offensichtlich ist $\Delta$ ein Homomorphismus abelscher Gruppen. \end{defn} +\begin{lem} + \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} + Sei $Z$ eine abelsche Gruppe, $A\subset \Q$ induktiv und $f\colon A \to Z$ eine Abbildung. + Sind $n \in \Q$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt + \begin{equation*} + \Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). + \end{equation*} + \begin{proof} + Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt + \begin{equation*} + \Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). + \end{equation*} + Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt: + \begin{align*} + \Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\ + &= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\ + &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p) + \end{align*} + \end{proof} +\end{lem} + \begin{lem} \label{lem:differenzenoperator-binomialpolynom} Für $k \in \N$ mit $k > 0$ gilt @@ -50,10 +76,12 @@ Ist $f$ solch ein Polynom, dann bezeichnen wir mit $e_k(f)$ den Koeffizienten von $Q_k$ in der Darstellung $f = \sum_{n \in \N} e_k Q_k$. \begin{proof}[Beweis der Äquivalenz] Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar. + Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$. Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und $\Delta f$ (a) erfüllt, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$. Das es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$. Also sind (a) und (d) äquivalent. + Um die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) zu zeigen, nutzen wir Induktion über den Grad von $f$. Ist $f$ vom Grad $0$, so ist $f$ konstant und wegen (c) gilt dann $f \in \Z$ und damit (a). Sei also nun $f$ vom Grad $d > 0$ und die Behauptung wahr für Polynome vom Grad $< d$. @@ -62,53 +90,53 @@ \end{proof} \end{deflem} +Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt für $k > 0$ offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$. +Insbesondere ist $e_k(f)$ für $\deg(f) \le k$ das konstante Polynom $\Delta^k f$ und es gilt +\begin{equation*} + f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(x), +\end{equation*} +wobei $g(x) \in \Q[X]$ mit $\deg(g) < k$. +Ist $\deg(f) = k$, so gilt +\begin{equation*} + f(n) \sim e_k(f) \frac{n^k}{k!} \qquad \text{für } n \to \infty. +\end{equation*} +Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sodass $f(z) > 0$ für alle $z \ge z_0$ gilt. + \section{Polynomartige Funktionen} \label{sec:polynomartige-funktionen} -Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$. +Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv. \begin{defn} \label{defn:polynomartige-funktionen} Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. - Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. - Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$. + Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig. + Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$. \end{defn} -\begin{lem} - \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} -\end{lem} - Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt - \begin{equation*} - \Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). - \end{equation*} - \begin{proof} - Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt - \begin{equation*} - \Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). - \end{equation*} - Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt: - \begin{align*} - \Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\ - &= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\ - &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\ - &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\ - &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\ - &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\ - &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\ - &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p) - \end{align*} - \end{proof} + \begin{lem} \label{lem:kritreium-fuer-polynomartig} Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent: - \begin{enumerate}[(i)] - \item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$ - \item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$ + \begin{enumerate}[(a)] + \item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$ + \item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$ \item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$. \end{enumerate} \begin{proof} - {}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen + Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) sind klar. + + Sei also nun (b) wahr. + Sei $R = \sum_{k \in \N} e_k(P_{\Delta f}) Q_{k+1}$, dann ist $R$ vom Grad $\le r$ und es gilt $\Delta R = P_{\Delta f}$. + Betrachte die Abbildung $g \colon A \to \Z,\, z \mapsto f(z) - R(z)$, dann gilt für $z$ groß genug: + \begin{equation*} + \Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0 + \end{equation*} + Das bedeutet, für $z$ groß genug ist $g(z) = e_0 \in \Z$ und es folgt $f(z) = R(n) + e_0$ für $z$ groß genug. + Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$. + + Die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) folgt durch Induktion über $r$ und Verwendung der Implikation (b) $\Rightarrow$ (a). \end{proof} \end{lem}