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@@ -49,14 +49,43 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
     Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. Mit $K(\bmx)$ oder auch mit $K(x_1,\ldots,x_r)$ bezeichnen wir folgenden Tensorprodukt -Komplex:
     \begin{equation*}
         K(\bmx) = K(x_1)\otimes_A K(x_2) \otimes_A \cdots \otimes_A K(x_r)
-    \end{equation*}
-    $K_p(\bmx)$ ist der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form
+	\end{equation*}
+\end{defn}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:koszul-komplex-berechnung}
+    Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. Dann ist $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form
     \begin{equation*}
-        e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = 1 \otimes \cdots \otimes 1 \otimes e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1 \qquad i_1 < i_2 < \cdots < i_p
+        e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \qquad 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le r
     \end{equation*}
     erzeugt wird. Insbesondere gilt also
     \begin{equation*}
         K_p(\bmx) \cong \bigwedge\nolimits^p(A^r).
-    \end{equation*}
+	\end{equation*}
+	\begin{proof}
+		Für $p\in \Z$ sei $I_p^r = \{\bmi \subset \{1,\ldots,r\} \mid \#\bmi = p\}$. Wir haben folgendes zu zeigen:
+		\begin{equation*}
+			K_p(\bmx) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
+		\end{equation*}
+		Dies beweisen wir durch Induktion über $r$. Im Fall $r = 1$ gilt $I_0^1 = \{\emptyset\}$, $I_1^1 = \{\{1\}\}$ und für $p\notin \{0, 1\}$ gilt $I_p^1 = \emptyset$. Damit folgt:
+		\begin{align*}
+			K_0(\bmx) &= K_0(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_0^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			K_1(\bmx) &= K_1(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_1^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			K_p(\bmx) &= K_p(x_1) = 0 = \bigoplus_{\bmi \in I_p^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \qquad \text{für }p \notin \{0, 1\}
+		\end{align*}
+		Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung für alle $s\in \N$ mit $0 \le s < r$ bereits bewiesen. Sei außerdem $\bmx' = (x_1,\ldots,x_{r-1})$. Dann gilt:
+		\begin{align*}
+			K_p(\bmx) &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
+			&= \bigoplus_{j \in \{0,1\}} K_{p - j}(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
+			&= \quad\phantom{\oplus}\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r - 1\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_0(x_r)\\
+			&\phantom{=}\quad \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r - 1\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_1(x_r)\\
+			&= \quad\phantom{\oplus}\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&\phantom{=}\quad \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi \cup \{r\}}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus (\bmi \cup \{r\})}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&= \quad \phantom{\oplus} \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \notin \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&\phantom{=}\quad \oplus \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&= \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
+			&= \bigoplus_{\bmi \in I_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \{1, \ldots, r\} \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
+		\end{align*}
+	\end{proof}
+\end{lem}
     Ist $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$.
-\end{defn}
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@@ -11,7 +11,7 @@
 \newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}}
 \newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}}
 
-
+\newcommand{\bmi}{\bm{i}}
 \newcommand{\bmx}{\bm{x}}
 
 \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}