diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index 2524a18..f7dbd8a 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -10,7 +10,6 @@ \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{mathtools} - %\usepackage{enumerate} \usepackage{enumitem} \usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex} \bibliography{bibliography} @@ -37,7 +36,7 @@ \printbibliography \chapter*{Eigenständigkeitserklärung} -\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung} +%\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung} Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe. \vspace{1.5cm} diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex index ba3fc04..c76f15f 100644 --- a/chapters/chapter1.tex +++ b/chapters/chapter1.tex @@ -40,7 +40,7 @@ Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von f wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind. Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen: -\begin{enumerate}[label = (\roman*)] +\begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}). \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$. \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$. diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 9896c51..8ee6943 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -11,7 +11,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte \begin{defn}[Binomialpolynom] \label{defn:binomialpolynom} - Für $k \in \N$ definieren wir das $k$-te \textbf{Binomialpolynom} durch + Für $k \in \N$ definieren wir das \textbf{$\bm{k}$-te Binomialpolynom} durch \begin{equation*} Q_k(X) = \binom{X}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i = 1}^k (X - k + i) \in \Q[X]. \end{equation*} @@ -237,7 +237,7 @@ Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium \end{equation} -Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $M$, das heißt +Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $M$, das heißt \begin{align*} &M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\ &M_i \supset \mfq M_{i-1},\\ @@ -257,7 +257,7 @@ wohldefiniert. \begin{proof} Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. - Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$. + Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung auf $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$. Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring @@ -339,7 +339,7 @@ wohldefiniert. wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist. \begin{proof} Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$. - Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz + Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} 0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0. \end{equation*} diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index ad433a2..cabf6ba 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -115,7 +115,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \begin{kor} \label{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex} - Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler in $M$, also $\Ann_M(x) = 0$. + Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler auf $M$, also $\Ann_M(x) = 0$. Dann ist $K(x) \otimes_A L$ ein azyklischer Komplex auf $M/xM$. \begin{proof} Aus \cref{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe} folgt: @@ -277,14 +277,14 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \begin{defn}[Reguläre Folge] \label{defn:regulaere-folge} - Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt $M$\textbf{-reguläre} Folge, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist. + Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt \textbf{$\bm{M}$-reguläre Folge}, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler auf $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist. \end{defn} \begin{prop} \label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} Wenn zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$. \begin{proof} - Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler in $M$ ist. + Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist. Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$. Es gilt @@ -293,7 +293,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. H_0(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M, \end{align*} also ist $K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)$ ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$. - Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler in $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist + Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist \begin{equation*} K(\bmx, M) = K(x_r) \otimes_A K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) \end{equation*} @@ -437,7 +437,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M \begin{equation*} {(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p. \end{equation*} - Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung von $K$. + Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung auf $K$. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring. Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$. Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$. diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex index c0244a9..636f5c8 100644 --- a/chapters/chapter4.tex +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -139,7 +139,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg \end{defn} \begin{lem} - Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \textbf{Additivitäts-Formel}: + Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \emph{Additivitäts-Formel}: \begin{equation*} e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p). \end{equation*} @@ -298,7 +298,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: erzeugt wird. \item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$. \end{enumerate} - \begin{proof} + \begin{proof}\leavevmode \begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist. Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$. @@ -443,7 +443,7 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukt Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul. Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$. - Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch + Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\BTor$-Funktoren} durch \begin{equation} \widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q). \end{equation} @@ -512,7 +512,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0 \end{equation*} \end{enumerate} - \begin{proof} + \begin{proof}\leavevmode \begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich. \item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$. @@ -642,9 +642,9 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$. Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul. - Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}). + Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}). - Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}). + Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}). Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ ind $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$. Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$. @@ -696,7 +696,6 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \end{prop} \begin{bem} - \label{bem:} Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ bestehn. Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch. \end{bem} @@ -803,7 +802,7 @@ von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel \end{equation*} gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$ bezüglich $\mfd$. Folglich gilt -\begin{enumerate} +\begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item $\chi(M, N) \ge 0$, \item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$, \item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$. @@ -824,7 +823,7 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik und seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln. Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$. Dann gilt - \begin{enumerate} + \begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$, \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$, \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$. @@ -881,7 +880,7 @@ und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V) \end{equation} Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}. -\begin{thm} +\begin{thm}\leavevmode \label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} \begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$. @@ -935,8 +934,8 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \end{proof} \end{prop} -\begin{bem} - \begin{enumerate} +\begin{bem}\leavevmode + \begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item \cref{prop:schnitt-zykel} Liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen: Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$). Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}. @@ -971,7 +970,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $ Sei dazu $M$, $M'$ und $M''$ $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$. - Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für Tor-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen: + Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für $\Tor$-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen: \begin{align} \Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\ \Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz} @@ -1057,9 +1056,9 @@ Wir haben im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich darauf hingearbeitet, \cref{th Als wesentlichen Schritt dazu, haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt. Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} auf reguläre Ringe gleicher Charakteristik wirkt allerdings etwas speziell und es ist deswegen natürlich zu vermuten, dass die Aussage dieses Theorems auch für beliebige reguläre Ringe gilt. -Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~2]{serre2000local}). +Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~2]{serre2000local}). -Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~3]{serre2000local}). +Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}). Die erste Aussage des Theorems, die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$, wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}). Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten. diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index 2adbfea..060c538 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -20,9 +20,10 @@ \newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\bmi}{\bm{i}} -\newcommand{\bmx}{\bm{x}} -\newcommand{\bmy}{\bm{y}} -\newcommand{\bmX}{\bm{X}} +%\newcommand{\bmx}{\text{\ttfamily\bfseries\upshape{}x}} +\newcommand{\bmx}{\bm{\mathrm{x}}} +\newcommand{\bmy}{\bm{\mathrm{y}}} +\newcommand{\bmX}{\bm{\mathrm{X}}} \newcommand{\mcM}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcN}{\mathcal{N}} diff --git a/title.tex b/title.tex index dfb4ecd..007038c 100644 --- a/title.tex +++ b/title.tex @@ -1,18 +1,19 @@ \begin{titlepage} \begin{center} - \includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm] - \textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm] - \textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm] - { \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm] - {\LARGE Masterarbeit}\\[1cm] - {\Large von}\\[0.2cm] - {\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm] - {\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm] - \begin{tabular}{lr} - \large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\ - \large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\par\vspace{1cm} + \textsc{\LARGE{}Universität Regensburg}\par\vspace{0.5cm} + \textsc{\Large{}Fakultät für Mathematik}\par\vspace{1cm} + \begin{huge} + \textbf{Serres $\BTor$-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\par + \end{huge}\vspace{1cm} + {\LARGE{}Masterarbeit}\par\vspace{0.5cm} + {\Large{}von}\par + {\LARGE\bfseries{}Johannes Loher}\par + {\large{}(Matrikelnummer 1 576 123)}\par\vspace{1cm} + \begin{tabular}{ll} + \large{}Betreuer: & \large{}Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\ \end{tabular} \vfill - {\large \today} + {\large{}\today} \end{center} \end{titlepage}