From 95ae59d88988f2d69299f0c081fabc4a255b9b15 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Johannes Loher <johannes.loher@fg4f.de>
Date: Sat, 16 Sep 2017 19:18:50 +0200
Subject: [PATCH] erste korrekturen

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 Ausarbeitung.tex      |  3 +--
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 7 files changed, 42 insertions(+), 42 deletions(-)

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index 2524a18..f7dbd8a 100644
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+++ b/Ausarbeitung.tex
@@ -10,7 +10,6 @@
 	\usepackage{amssymb}
 	\usepackage{lmodern}
 	\usepackage{mathtools}
-	%\usepackage{enumerate}
 	\usepackage{enumitem}
 	\usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex}
 	\bibliography{bibliography}
@@ -37,7 +36,7 @@
 \printbibliography
 
 \chapter*{Eigenständigkeitserklärung}
-\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung}
+%\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung}
 Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
 
 \vspace{1.5cm}
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index ba3fc04..c76f15f 100644
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@@ -40,7 +40,7 @@ Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von f
 wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
 
 Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
-\begin{enumerate}[label = (\roman*)]
+\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
     \item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
     \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
     \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
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index 9896c51..8ee6943 100644
--- a/chapters/chapter2.tex
+++ b/chapters/chapter2.tex
@@ -11,7 +11,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte
 
 \begin{defn}[Binomialpolynom]
 	\label{defn:binomialpolynom}
-	Für $k \in \N$ definieren wir das $k$-te \textbf{Binomialpolynom} durch
+	Für $k \in \N$ definieren wir das \textbf{$\bm{k}$-te Binomialpolynom} durch
 	\begin{equation*}
 		Q_k(X) = \binom{X}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i = 1}^k (X - k + i) \in \Q[X].
 	\end{equation*}
@@ -237,7 +237,7 @@ Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium
 \end{equation}
 
 
-Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $M$, das heißt
+Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $M$, das heißt
 \begin{align*}
 	&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
 	&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
@@ -257,7 +257,7 @@ wohldefiniert.
 	\begin{proof}
 		Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen:
 		Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$.
-		Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
+		Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung auf $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
 		
 		Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch.
 		Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
@@ -339,7 +339,7 @@ wohldefiniert.
 	wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
 	\begin{proof}
 		Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$.
-		Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
+		Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
 		\begin{equation*}
 			0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0.
 		\end{equation*}
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index ad433a2..cabf6ba 100644
--- a/chapters/chapter3.tex
+++ b/chapters/chapter3.tex
@@ -115,7 +115,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 
 \begin{kor}
 	\label{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex}
-	Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler in $M$, also $\Ann_M(x) = 0$.
+	Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler auf $M$, also $\Ann_M(x) = 0$.
 	Dann ist $K(x) \otimes_A L$ ein azyklischer Komplex auf $M/xM$.
 	\begin{proof}
 		Aus \cref{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe} folgt:
@@ -277,14 +277,14 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 
 \begin{defn}[Reguläre Folge]
 	\label{defn:regulaere-folge}
-	Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt $M$\textbf{-reguläre} Folge, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist.
+	Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt \textbf{$\bm{M}$-reguläre Folge}, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler auf $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist.
 \end{defn}
 
 \begin{prop}
 	\label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun}
 	Wenn zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
 	\begin{proof}
-		Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler in $M$ ist.
+		Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist.
 
 		Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$.
 		Es gilt
@@ -293,7 +293,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 			H_0(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M,
 		\end{align*}
 		also ist $K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)$ ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$.
-		Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler in $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist
+		Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist
 		\begin{equation*}
 			K(\bmx, M) = K(x_r) \otimes_A K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)
 		\end{equation*}
@@ -437,7 +437,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
 			\begin{equation*}
 				{(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p.
 			\end{equation*}
-			Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung von $K$.
+			Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung auf $K$.
 			\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring.
 			Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$.
 			Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$.
diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex
index c0244a9..636f5c8 100644
--- a/chapters/chapter4.tex
+++ b/chapters/chapter4.tex
@@ -139,7 +139,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
 \end{defn}
 
 \begin{lem}
-    Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \textbf{Additivitäts-Formel}:
+    Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \emph{Additivitäts-Formel}:
     \begin{equation*}
         e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
     \end{equation*}
@@ -298,7 +298,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
         erzeugt wird.
         \item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$.
     \end{enumerate}
-    \begin{proof}
+    \begin{proof}\leavevmode
         \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
             \item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist.
             Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$.
@@ -443,7 +443,7 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukt
     Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
     Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
 
-    Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch
+    Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\BTor$-Funktoren} durch
     \begin{equation}
         \widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
     \end{equation}
@@ -512,7 +512,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
             \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0
         \end{equation*}
     \end{enumerate}
-    \begin{proof}
+    \begin{proof}\leavevmode
         \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
             \item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich.
             \item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$.
@@ -642,9 +642,9 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
 
             Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
             Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
-            Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
+            Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
             
-            Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
+            Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
 
             Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ ind $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$.
             Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$.
@@ -696,7 +696,6 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
 \end{prop}
 
 \begin{bem}
-    \label{bem:}
     Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ bestehn.
     Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
 \end{bem}
@@ -803,7 +802,7 @@ von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel
 \end{equation*}
 gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$ bezüglich $\mfd$.
 Folglich gilt
-\begin{enumerate}
+\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
     \item $\chi(M, N) \ge 0$,
     \item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$,
     \item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
@@ -824,7 +823,7 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
     Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik und seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
     Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
     Dann gilt
-    \begin{enumerate}
+    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
         \item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$,
         \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$,
         \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$.
@@ -881,7 +880,7 @@ und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V)
 \end{equation}
 Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}.
 
-\begin{thm}
+\begin{thm}\leavevmode
     \label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
     \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
         \item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
@@ -935,8 +934,8 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
     \end{proof}
 \end{prop}
 
-\begin{bem}
-    \begin{enumerate}
+\begin{bem}\leavevmode
+    \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
         \item \cref{prop:schnitt-zykel} Liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen:
         Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$).
         Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}.
@@ -971,7 +970,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
 
     Sei dazu $M$, $M'$ und $M''$ $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
 
-    Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für Tor-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
+    Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für $\Tor$-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
     \begin{align}
         \Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\
         \Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz}
@@ -1057,9 +1056,9 @@ Wir haben im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich darauf hingearbeitet, \cref{th
 Als wesentlichen Schritt dazu, haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt.
 Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} auf reguläre Ringe gleicher Charakteristik wirkt allerdings etwas speziell und es ist deswegen natürlich zu vermuten, dass die Aussage dieses Theorems auch für beliebige reguläre Ringe gilt.
 
-Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~2]{serre2000local}).
+Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~2]{serre2000local}).
 
-Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~3]{serre2000local}).
+Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
 
 Die erste Aussage des Theorems, die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$, wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
 Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex
index 2adbfea..060c538 100644
--- a/custom_commands.tex
+++ b/custom_commands.tex
@@ -20,9 +20,10 @@
 \newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}}
 
 \newcommand{\bmi}{\bm{i}}
-\newcommand{\bmx}{\bm{x}}
-\newcommand{\bmy}{\bm{y}}
-\newcommand{\bmX}{\bm{X}}
+%\newcommand{\bmx}{\text{\ttfamily\bfseries\upshape{}x}}
+\newcommand{\bmx}{\bm{\mathrm{x}}}
+\newcommand{\bmy}{\bm{\mathrm{y}}}
+\newcommand{\bmX}{\bm{\mathrm{X}}}
 
 \newcommand{\mcM}{\mathcal{M}}
 \newcommand{\mcN}{\mathcal{N}}
diff --git a/title.tex b/title.tex
index dfb4ecd..007038c 100644
--- a/title.tex
+++ b/title.tex
@@ -1,18 +1,19 @@
 \begin{titlepage}
 	\begin{center}
-		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm]    
-		\textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm]
-		\textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm]
-		{ \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm]
-		{\LARGE Masterarbeit}\\[1cm]
-		{\Large von}\\[0.2cm]
-		{\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm]
-		{\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm]
-		\begin{tabular}{lr}
-			\large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
-			\large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz
+		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\par\vspace{1cm}
+		\textsc{\LARGE{}Universität Regensburg}\par\vspace{0.5cm}
+		\textsc{\Large{}Fakultät für Mathematik}\par\vspace{1cm}
+		\begin{huge}
+			\textbf{Serres $\BTor$-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\par
+		\end{huge}\vspace{1cm}
+		{\LARGE{}Masterarbeit}\par\vspace{0.5cm}
+		{\Large{}von}\par
+		{\LARGE\bfseries{}Johannes Loher}\par
+		{\large{}(Matrikelnummer 1 576 123)}\par\vspace{1cm}
+		\begin{tabular}{ll}
+			\large{}Betreuer: & \large{}Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
 		\end{tabular}
 		\vfill
-		{\large \today}
+		{\large{}\today}
 	\end{center}
 \end{titlepage}