diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index cf03af6..f658b0c 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc,BCOR=3mm,draft=true]{scrbook} +\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc,BCOR=3mm,draft=false]{scrbook} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{hyperref} @@ -43,7 +43,7 @@ \chapter*{Eigenständigkeitserklärung} -Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und bisher keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt habe, und dass ich keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe. +Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und bisher keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt habe und dass ich keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe. \vspace{1.5cm} \begin{tabular}{lp{2em}l} diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex index 15e0f75..7bcf4bb 100644 --- a/chapters/chapter1.tex +++ b/chapters/chapter1.tex @@ -55,7 +55,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\ &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\ &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\ - &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)\qedhere + &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).\qedhere \end{align*} \end{proof} \end{lem} @@ -146,7 +146,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft Betrachte die Abbildung $g \colon A \to \Z,\, z \mapsto f(z) - R(z)$. Für $z$ groß genug gilt dann: \begin{equation*} - \Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0 + \Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0. \end{equation*} Also gibt es ein $e_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass für alle $z$ groß genug $g(z) = e_0$ und damit auch $f(z) = R(z) + e_0$ gilt. Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$. @@ -167,8 +167,8 @@ Dann gilt $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ Weil $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es demnach auch $H$. Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. -$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. -Nun gilt aber $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. +Der Modul $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. +Nun gilt aber $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $(H / \Ann(M_n))$-Modul. Es gilt $\bigoplus_{n \ge 1} H_n \subset \Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1})$, also haben wir folgende Surjektion: \begin{equation*} H_0 \cong H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \twoheadrightarrow H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) \cong H/\Ann(M_n). @@ -176,23 +176,23 @@ Es gilt $\bigoplus_{n \ge 1} H_n \subset \Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1})$, also habe Folglich ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Demnach ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren: \begin{align*} - \chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\ + \chi(M,-) \colon \N &\to \N \\ n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n) \end{align*} Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. \begin{thm}[Hilbert] \label{thm:hilbert-polynomial} - Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$. + Die Abbildung $\chi(M,-)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$. \begin{proof} Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen. Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$. Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. - Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-\infty < -1$. + Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,-)$ polynomartig vom Grad $-\infty < -1$. - Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. + Wir nehmen nun an, dass $r > 0$ gilt und die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ der Kern und $R$ der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die folgenden exakten Sequenzen: \begin{equation*} @@ -203,21 +203,21 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. \Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n). \end{equation*} Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. - Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. - Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. + Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,-)$ und $\chi(N,-)$ po\-ly\-nom\-ar\-ti\-ge Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,-)$. + Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,-)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. \end{proof} \end{thm} \begin{nota} \label{nota:hilbert-polynomial} - Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. + Das Polynom $P_{\chi(M,-)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$. \end{nota} \section{Das Samuel-Polynom} \label{sec:das-samuel-polynom} -Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. +Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. \begin{lem} \label{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} @@ -230,10 +230,10 @@ Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erze Sei nun $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an: -\begin{equation} +\begin{equation*} \label{eq:laenge-kleiner-unendlich} \length_{A}(M/\mfq M) < \infty. -\end{equation} +\end{equation*} Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} äquivalent zu: \begin{equation} \label{eq:elemente-in-supp} @@ -282,7 +282,7 @@ wohldefiniert. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch ist, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul. - Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. + Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),-)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt \begin{align*} \Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\ @@ -323,9 +323,9 @@ wohldefiniert. \end{equation*} also gilt für große $n$: \begin{equation*} - P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n) + P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n). \end{equation*} - Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. + Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führenden Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein. \end{proof} \end{lem} @@ -373,9 +373,9 @@ wohldefiniert. e_\mfq(M, d) &\ge 1 \qquad \text{falls } d = \deg(P_\mfq(M)) \end{align*} Ist $d = \deg(P_\mfq(M))$, so gilt außerdem - \begin{equation} + \begin{equation*} P_\mfq(M, n) \sim e_\mfq(M, d) \frac{n^d}{d!} \qquad \text{für } n \to \infty. - \end{equation} + \end{equation*} \end{nota} \begin{kor} @@ -386,7 +386,7 @@ wohldefiniert. \end{equation*} eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt für $d \ge \deg(P_\mfq(M))$: \begin{equation*} - e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + e_\mfq(P, d) + e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + e_\mfq(P, d). \end{equation*} \begin{proof} Dies folgt unmittelbar aus \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}. @@ -432,7 +432,7 @@ Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigensch \end{equation*} Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$. -Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist. +Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ das Infimum der natürlichen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist. Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen. @@ -462,7 +462,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di 0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0 \end{equation*} Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, folgt also $\length_A(\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M) =~0$ und damit $\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M = 0$, also $\mfq^n M \cong \mfq^{n + 1} M$. - Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt nach dem Nakayama Lemma $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$. + Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt wegen des Nakayama-Lemmas $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$. Sei nun $\mfp \in \Supp(M)$, dann gilt $\mfp \supset \Ann_A(M) \supset \mfq^k$. Da $\mfp$ prim ist, folgt $\mfp \supset \mfq$ und damit $\mfp \in \Supp(M / \mfq M)$. Nach Voraussetzung ist aber $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also, dass $\mfp$ maximal ist. @@ -493,7 +493,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di Da $\mfp_0$ prim ist, ist $M = A / \mfp_0$ ein Integritätsring und damit ist $\cdot x$ injektiv. Somit erhalten wir folgende kurze exakte Sequenz: \begin{equation*} - 0 \longrightarrow M \overset{\cdot x} \longrightarrow M \longrightarrow M / xM \longrightarrow 0 + 0 \longrightarrow M \overset{\cdot x} \longrightarrow M \longrightarrow M / xM \longrightarrow 0. \end{equation*} Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt \begin{equation*} @@ -513,7 +513,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di Folglich sind alle $\mfp \in \Supp(M)$ maximale Ideale und damit ist $M$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} von endlicher Länge. Wir erhalten also $s(M) = 0$. Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt. - Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}). + Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. Theorem~1]{serre2000local}). Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und nach dem \emph{Lemma zur Vermeidung von Primidealen} können wir $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}). Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$. Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 3817dd0..4eb765c 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -4,7 +4,7 @@ Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe. Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, das es uns ermöglicht Samuels Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen. -Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. +Im Folgenden sei $A$ ein Ring. \section{Der einfache Fall} \label{sec:der-einfache-fall} @@ -24,17 +24,17 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H_i(x, M)$. Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt: \begin{align*} - {K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1 \\ - {K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M \\ - {K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M \\ + {K_n(x,M)} &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1 \\ + {K_0(x,M)} &= K_0(x)\otimes_A M \cong M \\ + {K_1(x,M)} &= K_1(x)\otimes_A M \cong M \\ \end{align*} Die Randabbildung \begin{equation*} - d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0 + d\colon {K_1(x,M)} \to {K_0(x,M)} \end{equation*} ist durch die folgende Formel gegeben: \begin{equation*} - d(e_x \otimes m) = xm \qquad m \in M + d(e_x \otimes m) = xm \qquad \text{für } m \in M. \end{equation*} Die Homologie-Moduln von $K(x,M)$ sind \begin{align*} @@ -144,7 +144,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. Dann ist $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form \begin{equation*} - e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \qquad 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le r + e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \qquad \text{mit } 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le r \end{equation*} erzeugt wird. Insbesondere gilt also @@ -154,13 +154,16 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$ ist durch folgende Formel gegeben: \begin{equation} \label{eq:koszul-komplex-randabbildung} - d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) = \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} + \begin{split} + & d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) \\ + =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}. + \end{split} \end{equation} Dabei verwenden wir die Konvention, dass das Symbol unter \enquote{$\widehat{\;}$} weggelassen wird. \begin{proof} Für $p\in \Z$ sei $\mcI_p^r = \lbrace I \subset \lbrace1,\ldots,r\rbrace \mid \#I = p\rbrace$. Wir haben folgendes zu zeigen: \begin{equation*} - K_p(\bmx) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) + K_p(\bmx) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right). \end{equation*} Dies beweisen wir durch Induktion über $r$. Im Fall $r = 1$ gilt $\mcI_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $\mcI_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $\mcI_p^1 = \emptyset$. @@ -201,16 +204,16 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. & \bigoplus_{\substack{I \in \mcI_{p}^{r}\\r \notin I}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\ \oplus & \bigoplus_{\substack{I \in \mcI_{p}^{r}\\r \in I}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) \end{aligned}\\ - & = \bigoplus_{I \in \mcI_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) + & = \bigoplus_{I \in \mcI_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right). \end{align*} \endgroup Nun betrachten wir die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$. Dabei unterscheiden wir die zwei Fälle $r \in \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$ und $r \notin \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$. Im ersten Fall gilt: \begin{align*} - & d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{1}_{\in K_0(x_r)}) \\ - =& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}}) \otimes 1 + {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\ - =& \left(\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}\right) \otimes 1 \\ - =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} + &\;d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{1}_{\in K_0(x_r)}) \\ + =&\; d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}}) \otimes 1 + {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\ + =& \;\left(\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}\right) \otimes 1 \\ + =& \;\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}. \end{align*} Im zweiten Fall können wir ohne Einschränkung $r = i_p$ annehmen. Dann gilt: @@ -233,7 +236,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. & \sum_{\substack{k=1\\k\ne p}}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\ +& {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \end{aligned}\\ - =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\qedhere + =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}.\qedhere \end{align*} \endgroup \end{proof} @@ -245,13 +248,10 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right) \end{equation*} und die Randabbildung $K_p(\bmx, M) \to K_{p - 1}(\bmx, M)$ ist durch folgende Formel gegeben: - \begin{equation} - \label{eq:koszul-komplex-modul-randabbildung} - \begin{aligned} - &d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes m) \\ - =&\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes m - \end{aligned} - \end{equation} + \begin{align*} + &d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes \, m) \\ + =&\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes \, m + \end{align*} Wir bezeichnen den $p$-ten Homologiemodul von $K(\bmx, M)$ mit $H_p(\bmx, M)$. Ab nun bezeichnen wir mit $\bmx$ und $(x_1, \ldots, x_r)$ je nach Kontext auch das von den Elementen $x_1, \ldots, x_r$ erzeugte Ideal in A. Offensichtlich gilt: @@ -268,7 +268,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \begin{lem} \label{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} - Seien $A$ und $B$ kommutative Ringe und sei $M$ sowohl ein $A$-Modul, als auch ein $B$-Modul. + Seien $A$ und $B$ zwei Ringe und sei $M$ sowohl ein $A$-Modul, als auch ein $B$-Modul. Weiter seien $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$ eine Familie von Elementen aus $B$ mit der Eigenschaft, dass die Multiplikation mit $x_i$ und $y_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ jeweils den gleichen Gruppenhomomorphismus $\psi_i$ auf $M$ liefert. Dann gibt es einen Isomorphismus vom Komplexen von abelschen Gruppen \begin{equation*} @@ -283,7 +283,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. &\cong M^{\binom{r}{p}} \\ &\cong B^{\binom{r}{p}} \otimes_B M \\ &\cong K^B_p(\bmy) \otimes_B M \\ - &= K^B_p(\bmy, M) + &= K^B_p(\bmy, M). \end{align*} Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine bijektive Abbildung \begin{equation*} \phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace. @@ -291,7 +291,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ induzieren dann jeweils beide die Abbildung \begin{align*} d\colon M^{\binom{r}{p}} &\to M^{\binom{r}{p - 1}} \\ - (0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, i_{j - 1}, \widehat{i_{j}}, i_{j + 1}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0). + (0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, \widehat{i_{j}}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0). \end{align*} Die Natürlichkeit ist klar. \end{proof} @@ -306,7 +306,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine $M$-reguläre Folge, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$. \begin{proof} - Für $r = 1$ ist die Behauptung richtig, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist. + Für $r = 1$ ist die Behauptung richtig, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_1,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist. Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$. Es gilt @@ -327,20 +327,16 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \label{bem:koszul-komplex-funktorialität} Ist $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$, dann ist \begin{equation*} - K(\bmx, \bullet)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A) + K(\bmx, -)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A) \end{equation*} ein Funktor. - Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesondere flach. - Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$. + Dieser ist exakt, denn $K_p(\bmx)$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesondere flach. + Demnach ist ${(H_p(\bmx, -) = H_p\circ K(\bmx,-))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$. Des Weiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus \begin{equation*} - \psi_0 \colon H_0(\bmx, \bullet) \to (A/\bmx) \otimes_A \bullet + \psi_0 \colon H_0(\bmx, -) \to (A/\bmx) \otimes_A - \end{equation*} - und weil ${(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}$ ein universeller $\delta$-Funktor von von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$ ist, setzt sich $\psi_0$ eindeutig zu einem Morphismus von $\delta$-Funktoren - \begin{equation*} - \psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N} - \end{equation*} - fort. + und weil ${(\Tor^A_p(A/\bmx, -))}_{p \in \N}$ ein universeller $\delta$-Funktor von von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$ ist, setzt sich $\psi_0$ eindeutig zu einem Morphismus $\psi$ von $\delta$-Funktoren fort. \end{bem} \begin{kor} @@ -348,7 +344,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Sei $\bmx$ eine $A$-reguläre Folge. Dann ist \begin{equation*} - \psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N} + \psi \colon {(H_p(\bmx, -))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, -))}_{p \in \N} \end{equation*} ein Isomorphismus von $\delta$-Funktoren. \begin{proof} @@ -368,18 +364,18 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Sei $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul. Für alle $p \in \Z$ gilt dann \begin{equation*} - \bmx \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M)) + \bmx \subset \Ann_A(H_p(\bmx, M)) \end{equation*} und \begin{equation*} - \Ann_A(M) \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M)). + \Ann_A(M) \subset \Ann_A(H_p(\bmx, M)). \end{equation*} \begin{proof} Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$. Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind dann $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph. Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine $B$-reguläre Folge ist, folgt also \begin{equation*} - H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M). + H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_r), M) \cong \Tor^B_p(A, M). \end{equation*} Durch den Ringhomomorphismus $A \hookrightarrow B$ wird auf $\Tor^B_p(A, M)$ eine $A$-Modulstruktur definiert, die offensichtlich mit der $A$-Modulstruktur von $H_p(\bmx, M)$ übereinstimmt. Also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Isomorphismus von $A$-Moduln. @@ -398,7 +394,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \label{koszul-komplex-lokalisierung-und-vervollstaendigung} Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. - Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) \cong {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph. + Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) \cong {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $-_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $- \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph. Statten wir $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, dann gilt $K(\bmx, \widehat{M}) \cong \widehat{K(\bmx, M)}$, denn \begin{equation*} @@ -443,7 +439,7 @@ Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriteriu Das Samuel-Polynom $P_{\bmx}(M)$ ist nach \cref{thm:samuel-polynom} vom Grad $\le r$ und es gilt \begin{equation*} - P_{\bmx}(M, r) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n), + P_{\bmx}(M, n) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n), \end{equation*} wobei $Q$ ein Polynom in $\Q[X]$ vom Grad $< r$ ist. @@ -525,7 +521,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p}, \end{equation*} wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet. - Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eines endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}). + Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eines endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}). Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Wir betrachten nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen \begin{equation*} diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index 0727336..264c300 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -55,7 +55,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg Ist $\mfq \notin \Supp(M)$, so gilt $M_\mfq = 0$ und damit $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = 0 < \infty$. Ist andererseits $\mfq \in \Supp(M)$, so gilt wegen $\dim_A(M) \le p$: \begin{equation*} - \dim(A / \mfq) = p = \sup_{\mfp \in \Supp(M)} \dim(A / \mfp) = \dim_A(M) + \dim(A / \mfq) = p = \sup_{\mfp \in \Supp(M)} \dim(A / \mfp) = \dim_A(M). \end{equation*} Insbesondere gibt es kein $\mfp \in \Supp(M)$ mit $\mfp \subsetneq \mfq$. Nun folgt @@ -70,7 +70,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg Aus der aufsteigenden Folge von Untermoduln von $M$ erhalten wir durch Lokalisieren an $\mfq$: \begin{equation*} - 0 = {M_0}_{\mfq} \subset \ldots \subset {M_s}_{\mfq} = M_\mfq + 0 = {M_0}_{\mfq} \subset \ldots \subset {M_s}_{\mfq} = M_\mfq. \end{equation*} Dabei gilt \begin{equation*} @@ -131,7 +131,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg Allgemeiner betrachten wir $e_\mfa(M, p)$ für $\dim(M) \le p$. Dies liefert uns eine Funktion \begin{align*} - e_\mfa(\bullet, p) \colon K_p(A) &\to \N \\ + e_\mfa(-, p) \colon K_p(A) &\to \N \\ M & \mapsto e_\mfa(M, p), \end{align*} die nach \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist. @@ -313,7 +313,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: - \sum_{i = 1}^n (1 \otimes a_i - a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1 - 1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\ &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) - (1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\ &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i - 1 \otimes a_i b_i \\ - &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i + &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i. \end{align*} Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $1 \otimes a_i - a_i \otimes 1$ erzeugten Ideal enthalten. \item Sind $a' \in \mfp'$ und $a'' \in \mfp''$, so gilt \begin{equation*} @@ -422,7 +422,7 @@ Ist also \end{equation*} eine $B$-projektive Auflösung von $A$, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen \begin{equation*} - \Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{\bullet}). + \Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{-}). \end{equation*} Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i$, $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ erzeugte Ideal. Offensichtlich ist $\bmX = {(X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i)}_{i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace}$ eine $B$-reguläre Folge und es gilt \begin{equation*} @@ -515,7 +515,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an: \item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-reguläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$. Dann gilt für alle $i > n - r$: \begin{equation*} - \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0 + \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0. \end{equation*} \end{enumerate} \begin{proof}\leavevmode @@ -617,7 +617,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an: M \hatotimes_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\ &\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\ &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\ - &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N)) + &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N)). \end{aligned} \end{equation} Nun gilt offensichtlich @@ -684,7 +684,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an: \end{equation*} stationär, das heißt es gibt ein $n_0 \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n \ge n_0$ gilt: \begin{equation*} - a_1^n N = a_1^{n+1} N + a_1^n N = a_1^{n+1} N. \end{equation*} Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, liefert das Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$. Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft. @@ -793,7 +793,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_ \end{equation*} und wir erhalten die Formel für der Reduktion auf die Diagonale: \begin{equation*} - \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A)\qedhere + \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A).\qedhere \end{equation*} \end{proof} \end{prop} @@ -805,7 +805,7 @@ Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \hatotimes_k A = k[ Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln. Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} und \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}: \begin{equation*} - \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N) + \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N). \end{equation*} Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so ist es auch $\Tor^A_i(M, N)$. @@ -973,7 +973,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $ \begin{description} \item[Kommutativität.] - Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(\bullet, \bullet)$ sind symmetrisch. + Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(-, -)$ sind symmetrisch. \item[Assoziativität.] Seien $z$, $z'$ und $z''$ drei positive Zykel der Dimensionen $a$, $a'$ und $a''$. @@ -991,7 +991,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $ \Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\ \Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz} \end{align} - Dabei ist $\Tor^A_n(\bullet, M', \bullet)$ der $n$-te linksabgeleitete Funktor des Bifunktors + Dabei ist $\Tor^A_n(-, M', -)$ der $n$-te linksabgeleitete Funktor des Bifunktors \begin{equation*} (M, M'') \mapsto T_{M'}(M, M'') \coloneqq M \otimes_A(M' \otimes_A M'') = (M \otimes_A M') \otimes_A M''. \end{equation*} @@ -1005,7 +1005,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $ \end{align*} Da Euler-Poincaré-Charakteristiken unter Spektralsequenzen invariant sind, erhalten wir aus \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz}: \begin{equation*} - \sum_{i} {(-1)}^i x_i = \sum_{p,q} {(-1)}^{p+q} x_{p, q} + \sum_{i} {(-1)}^i x_i = \sum_{p,q} {(-1)}^{p+q} x_{p, q}. \end{equation*} Aber \cref{prop:schnitt-zykel} zeigt \begin{equation*} @@ -1171,7 +1171,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un Sei $\mfd$ das von den Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ erzeugte Ideal von $C$. Da die Elemente $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}: \begin{equation*} - \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N) + \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N). \end{equation*} Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} gilt dann also \begin{equation*} diff --git a/chapters/einleitung.tex b/chapters/einleitung.tex index e0c88f9..799d388 100644 --- a/chapters/einleitung.tex +++ b/chapters/einleitung.tex @@ -64,3 +64,5 @@ Wie bereits zu Beginn erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmulti Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren. So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist. + +Alle Ringe, die in dieser Arbeit betrachtet werden, sind kommutative Ringe mit Eins. \ No newline at end of file