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index cf03af6..f658b0c 100644
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@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc,BCOR=3mm,draft=true]{scrbook}
+\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc,BCOR=3mm,draft=false]{scrbook}
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@@ -43,7 +43,7 @@
\chapter*{Eigenständigkeitserklärung}
-Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und bisher keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt habe, und dass ich keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
+Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und bisher keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt habe und dass ich keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
\vspace{1.5cm}
\begin{tabular}{lp{2em}l}
diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex
index 15e0f75..7bcf4bb 100644
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+++ b/chapters/chapter1.tex
@@ -55,7 +55,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
- &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)\qedhere
+ &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\end{lem}
@@ -146,7 +146,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
Betrachte die Abbildung $g \colon A \to \Z,\, z \mapsto f(z) - R(z)$.
Für $z$ groß genug gilt dann:
\begin{equation*}
- \Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0
+ \Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0.
\end{equation*}
Also gibt es ein $e_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass für alle $z$ groß genug $g(z) = e_0$ und damit auch $f(z) = R(z) + e_0$ gilt.
Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$.
@@ -167,8 +167,8 @@ Dann gilt $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$
Weil $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es demnach auch $H$.
Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
-$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
-Nun gilt aber $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul.
+Der Modul $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
+Nun gilt aber $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $(H / \Ann(M_n))$-Modul.
Es gilt $\bigoplus_{n \ge 1} H_n \subset \Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1})$, also haben wir folgende Surjektion:
\begin{equation*}
H_0 \cong H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \twoheadrightarrow H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) \cong H/\Ann(M_n).
@@ -176,23 +176,23 @@ Es gilt $\bigoplus_{n \ge 1} H_n \subset \Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1})$, also habe
Folglich ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch.
Demnach ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
\begin{align*}
- \chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
+ \chi(M,-) \colon \N &\to \N \\
n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
\end{align*}
Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
\begin{thm}[Hilbert]
\label{thm:hilbert-polynomial}
- Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
+ Die Abbildung $\chi(M,-)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
\begin{proof}
Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge.
- Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-\infty < -1$.
+ Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,-)$ polynomartig vom Grad $-\infty < -1$.
- Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde.
+ Wir nehmen nun an, dass $r > 0$ gilt und die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde.
Seien $N$ der Kern und $R$ der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$.
Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die folgenden exakten Sequenzen:
\begin{equation*}
@@ -203,21 +203,21 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
\end{equation*}
Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten.
- Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$.
- Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
+ Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,-)$ und $\chi(N,-)$ po\-ly\-nom\-ar\-ti\-ge Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,-)$.
+ Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,-)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
\end{proof}
\end{thm}
\begin{nota}
\label{nota:hilbert-polynomial}
- Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet.
+ Das Polynom $P_{\chi(M,-)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet.
Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir als $Q(M,n)$.
Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
\end{nota}
\section{Das Samuel-Polynom}
\label{sec:das-samuel-polynom}
-Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul.
+Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul.
\begin{lem}
\label{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
@@ -230,10 +230,10 @@ Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erze
Sei nun $\mfq$ ein Ideal von $A$.
Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
-\end{equation}
+\end{equation*}
Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} äquivalent zu:
\begin{equation}
\label{eq:elemente-in-supp}
@@ -282,7 +282,7 @@ wohldefiniert.
Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch ist, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch.
Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul.
Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul.
- Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
+ Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),-)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
Es gilt
\begin{align*}
\Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
@@ -323,9 +323,9 @@ wohldefiniert.
\end{equation*}
also gilt für große $n$:
\begin{equation*}
- P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
+ P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n).
\end{equation*}
- Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben.
+ Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führenden Term haben.
Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
\end{proof}
\end{lem}
@@ -373,9 +373,9 @@ wohldefiniert.
e_\mfq(M, d) &\ge 1 \qquad \text{falls } d = \deg(P_\mfq(M))
\end{align*}
Ist $d = \deg(P_\mfq(M))$, so gilt außerdem
- \begin{equation}
+ \begin{equation*}
P_\mfq(M, n) \sim e_\mfq(M, d) \frac{n^d}{d!} \qquad \text{für } n \to \infty.
- \end{equation}
+ \end{equation*}
\end{nota}
\begin{kor}
@@ -386,7 +386,7 @@ wohldefiniert.
\end{equation*}
eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt für $d \ge \deg(P_\mfq(M))$:
\begin{equation*}
- e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + e_\mfq(P, d)
+ e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + e_\mfq(P, d).
\end{equation*}
\begin{proof}
Dies folgt unmittelbar aus \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}.
@@ -432,7 +432,7 @@ Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigensch
\end{equation*}
Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
-Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist.
+Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ das Infimum der natürlichen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist.
Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen.
@@ -462,7 +462,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di
0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0
\end{equation*}
Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, folgt also $\length_A(\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M) =~0$ und damit $\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M = 0$, also $\mfq^n M \cong \mfq^{n + 1} M$.
- Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt nach dem Nakayama Lemma $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$.
+ Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt wegen des Nakayama-Lemmas $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$.
Sei nun $\mfp \in \Supp(M)$, dann gilt $\mfp \supset \Ann_A(M) \supset \mfq^k$.
Da $\mfp$ prim ist, folgt $\mfp \supset \mfq$ und damit $\mfp \in \Supp(M / \mfq M)$.
Nach Voraussetzung ist aber $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also, dass $\mfp$ maximal ist.
@@ -493,7 +493,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di
Da $\mfp_0$ prim ist, ist $M = A / \mfp_0$ ein Integritätsring und damit ist $\cdot x$ injektiv.
Somit erhalten wir folgende kurze exakte Sequenz:
\begin{equation*}
- 0 \longrightarrow M \overset{\cdot x} \longrightarrow M \longrightarrow M / xM \longrightarrow 0
+ 0 \longrightarrow M \overset{\cdot x} \longrightarrow M \longrightarrow M / xM \longrightarrow 0.
\end{equation*}
Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
\begin{equation*}
@@ -513,7 +513,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di
Folglich sind alle $\mfp \in \Supp(M)$ maximale Ideale und damit ist $M$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} von endlicher Länge. Wir erhalten also $s(M) = 0$.
Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt.
- Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}).
+ Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. Theorem~1]{serre2000local}).
Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und nach dem \emph{Lemma zur Vermeidung von Primidealen} können wir $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}).
Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$.
Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex
index 3817dd0..4eb765c 100644
--- a/chapters/chapter2.tex
+++ b/chapters/chapter2.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe.
Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, das es uns ermöglicht Samuels Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
-Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
+Im Folgenden sei $A$ ein Ring.
\section{Der einfache Fall}
\label{sec:der-einfache-fall}
@@ -24,17 +24,17 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H_i(x, M)$.
Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt:
\begin{align*}
- {K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1 \\
- {K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M \\
- {K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M \\
+ {K_n(x,M)} &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1 \\
+ {K_0(x,M)} &= K_0(x)\otimes_A M \cong M \\
+ {K_1(x,M)} &= K_1(x)\otimes_A M \cong M \\
\end{align*}
Die Randabbildung
\begin{equation*}
- d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0
+ d\colon {K_1(x,M)} \to {K_0(x,M)}
\end{equation*}
ist durch die folgende Formel gegeben:
\begin{equation*}
- d(e_x \otimes m) = xm \qquad m \in M
+ d(e_x \otimes m) = xm \qquad \text{für } m \in M.
\end{equation*}
Die Homologie-Moduln von $K(x,M)$ sind
\begin{align*}
@@ -144,7 +144,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
Dann ist $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form
\begin{equation*}
- e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \qquad 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le r
+ e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \qquad \text{mit } 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le r
\end{equation*}
erzeugt wird.
Insbesondere gilt also
@@ -154,13 +154,16 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
Die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$ ist durch folgende Formel gegeben:
\begin{equation}
\label{eq:koszul-komplex-randabbildung}
- d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) = \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
+ \begin{split}
+ & d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) \\
+ =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}.
+ \end{split}
\end{equation}
Dabei verwenden wir die Konvention, dass das Symbol unter \enquote{$\widehat{\;}$} weggelassen wird.
\begin{proof}
Für $p\in \Z$ sei $\mcI_p^r = \lbrace I \subset \lbrace1,\ldots,r\rbrace \mid \#I = p\rbrace$. Wir haben folgendes zu zeigen:
\begin{equation*}
- K_p(\bmx) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)
+ K_p(\bmx) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right).
\end{equation*}
Dies beweisen wir durch Induktion über $r$.
Im Fall $r = 1$ gilt $\mcI_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $\mcI_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $\mcI_p^1 = \emptyset$.
@@ -201,16 +204,16 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
& \bigoplus_{\substack{I \in \mcI_{p}^{r}\\r \notin I}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\
\oplus & \bigoplus_{\substack{I \in \mcI_{p}^{r}\\r \in I}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)
\end{aligned}\\
- & = \bigoplus_{I \in \mcI_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)
+ & = \bigoplus_{I \in \mcI_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right).
\end{align*}
\endgroup
Nun betrachten wir die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$.
Dabei unterscheiden wir die zwei Fälle $r \in \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$ und $r \notin \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$. Im ersten Fall gilt:
\begin{align*}
- & d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{1}_{\in K_0(x_r)}) \\
- =& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}}) \otimes 1 + {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\
- =& \left(\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}\right) \otimes 1 \\
- =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
+ &\;d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{1}_{\in K_0(x_r)}) \\
+ =&\; d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}}) \otimes 1 + {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\
+ =& \;\left(\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}\right) \otimes 1 \\
+ =& \;\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}.
\end{align*}
Im zweiten Fall können wir ohne Einschränkung $r = i_p$ annehmen.
Dann gilt:
@@ -233,7 +236,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
& \sum_{\substack{k=1\\k\ne p}}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
+& {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
\end{aligned}\\
- =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\qedhere
+ =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}.\qedhere
\end{align*}
\endgroup
\end{proof}
@@ -245,13 +248,10 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right)
\end{equation*}
und die Randabbildung $K_p(\bmx, M) \to K_{p - 1}(\bmx, M)$ ist durch folgende Formel gegeben:
- \begin{equation}
- \label{eq:koszul-komplex-modul-randabbildung}
- \begin{aligned}
- &d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes m) \\
- =&\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes m
- \end{aligned}
- \end{equation}
+ \begin{align*}
+ &d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes \, m) \\
+ =&\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes \, m
+ \end{align*}
Wir bezeichnen den $p$-ten Homologiemodul von $K(\bmx, M)$ mit $H_p(\bmx, M)$.
Ab nun bezeichnen wir mit $\bmx$ und $(x_1, \ldots, x_r)$ je nach Kontext auch das von den Elementen $x_1, \ldots, x_r$ erzeugte Ideal in A.
Offensichtlich gilt:
@@ -268,7 +268,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\begin{lem}
\label{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring}
- Seien $A$ und $B$ kommutative Ringe und sei $M$ sowohl ein $A$-Modul, als auch ein $B$-Modul.
+ Seien $A$ und $B$ zwei Ringe und sei $M$ sowohl ein $A$-Modul, als auch ein $B$-Modul.
Weiter seien $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$ eine Familie von Elementen aus $B$ mit der Eigenschaft, dass die Multiplikation mit $x_i$ und $y_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ jeweils den gleichen Gruppenhomomorphismus $\psi_i$ auf $M$ liefert.
Dann gibt es einen Isomorphismus vom Komplexen von abelschen Gruppen
\begin{equation*}
@@ -283,7 +283,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
&\cong M^{\binom{r}{p}} \\
&\cong B^{\binom{r}{p}} \otimes_B M \\
&\cong K^B_p(\bmy) \otimes_B M \\
- &= K^B_p(\bmy, M)
+ &= K^B_p(\bmy, M).
\end{align*}
Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine bijektive Abbildung \begin{equation*}
\phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
@@ -291,7 +291,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ induzieren dann jeweils beide die Abbildung
\begin{align*}
d\colon M^{\binom{r}{p}} &\to M^{\binom{r}{p - 1}} \\
- (0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, i_{j - 1}, \widehat{i_{j}}, i_{j + 1}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0).
+ (0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, \widehat{i_{j}}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0).
\end{align*}
Die Natürlichkeit ist klar.
\end{proof}
@@ -306,7 +306,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun}
Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine $M$-reguläre Folge, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
\begin{proof}
- Für $r = 1$ ist die Behauptung richtig, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist.
+ Für $r = 1$ ist die Behauptung richtig, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_1,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist.
Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$.
Es gilt
@@ -327,20 +327,16 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\label{bem:koszul-komplex-funktorialität}
Ist $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$, dann ist
\begin{equation*}
- K(\bmx, \bullet)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A)
+ K(\bmx, -)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A)
\end{equation*}
ein Funktor.
- Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesondere flach.
- Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$.
+ Dieser ist exakt, denn $K_p(\bmx)$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesondere flach.
+ Demnach ist ${(H_p(\bmx, -) = H_p\circ K(\bmx,-))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$.
Des Weiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus
\begin{equation*}
- \psi_0 \colon H_0(\bmx, \bullet) \to (A/\bmx) \otimes_A \bullet
+ \psi_0 \colon H_0(\bmx, -) \to (A/\bmx) \otimes_A -
\end{equation*}
- und weil ${(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}$ ein universeller $\delta$-Funktor von von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$ ist, setzt sich $\psi_0$ eindeutig zu einem Morphismus von $\delta$-Funktoren
- \begin{equation*}
- \psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}
- \end{equation*}
- fort.
+ und weil ${(\Tor^A_p(A/\bmx, -))}_{p \in \N}$ ein universeller $\delta$-Funktor von von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$ ist, setzt sich $\psi_0$ eindeutig zu einem Morphismus $\psi$ von $\delta$-Funktoren fort.
\end{bem}
\begin{kor}
@@ -348,7 +344,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
Sei $\bmx$ eine $A$-reguläre Folge.
Dann ist
\begin{equation*}
- \psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}
+ \psi \colon {(H_p(\bmx, -))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, -))}_{p \in \N}
\end{equation*}
ein Isomorphismus von $\delta$-Funktoren.
\begin{proof}
@@ -368,18 +364,18 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
Sei $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul.
Für alle $p \in \Z$ gilt dann
\begin{equation*}
- \bmx \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M))
+ \bmx \subset \Ann_A(H_p(\bmx, M))
\end{equation*}
und
\begin{equation*}
- \Ann_A(M) \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M)).
+ \Ann_A(M) \subset \Ann_A(H_p(\bmx, M)).
\end{equation*}
\begin{proof}
Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$.
Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind dann $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph.
Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine $B$-reguläre Folge ist, folgt also
\begin{equation*}
- H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M).
+ H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_r), M) \cong \Tor^B_p(A, M).
\end{equation*}
Durch den Ringhomomorphismus $A \hookrightarrow B$ wird auf $\Tor^B_p(A, M)$ eine $A$-Modulstruktur definiert, die offensichtlich mit der $A$-Modulstruktur von $H_p(\bmx, M)$ übereinstimmt.
Also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Isomorphismus von $A$-Moduln.
@@ -398,7 +394,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\label{koszul-komplex-lokalisierung-und-vervollstaendigung}
Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
- Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) \cong {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph.
+ Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) \cong {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $-_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $- \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph.
Statten wir $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, dann gilt $K(\bmx, \widehat{M}) \cong \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
\begin{equation*}
@@ -443,7 +439,7 @@ Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriteriu
Das Samuel-Polynom $P_{\bmx}(M)$ ist nach \cref{thm:samuel-polynom} vom Grad $\le r$ und es gilt
\begin{equation*}
- P_{\bmx}(M, r) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n),
+ P_{\bmx}(M, n) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n),
\end{equation*}
wobei $Q$ ein Polynom in $\Q[X]$ vom Grad $< r$ ist.
@@ -525,7 +521,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un
Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p},
\end{equation*}
wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet.
- Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eines endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}).
+ Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eines endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}).
Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$.
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Wir betrachten nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen
\begin{equation*}
diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex
index 0727336..264c300 100644
--- a/chapters/chapter3.tex
+++ b/chapters/chapter3.tex
@@ -55,7 +55,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
Ist $\mfq \notin \Supp(M)$, so gilt $M_\mfq = 0$ und damit $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = 0 < \infty$.
Ist andererseits $\mfq \in \Supp(M)$, so gilt wegen $\dim_A(M) \le p$:
\begin{equation*}
- \dim(A / \mfq) = p = \sup_{\mfp \in \Supp(M)} \dim(A / \mfp) = \dim_A(M)
+ \dim(A / \mfq) = p = \sup_{\mfp \in \Supp(M)} \dim(A / \mfp) = \dim_A(M).
\end{equation*}
Insbesondere gibt es kein $\mfp \in \Supp(M)$ mit $\mfp \subsetneq \mfq$.
Nun folgt
@@ -70,7 +70,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
Aus der aufsteigenden Folge von Untermoduln von $M$ erhalten wir durch Lokalisieren an $\mfq$:
\begin{equation*}
- 0 = {M_0}_{\mfq} \subset \ldots \subset {M_s}_{\mfq} = M_\mfq
+ 0 = {M_0}_{\mfq} \subset \ldots \subset {M_s}_{\mfq} = M_\mfq.
\end{equation*}
Dabei gilt
\begin{equation*}
@@ -131,7 +131,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
Allgemeiner betrachten wir $e_\mfa(M, p)$ für $\dim(M) \le p$.
Dies liefert uns eine Funktion
\begin{align*}
- e_\mfa(\bullet, p) \colon K_p(A) &\to \N \\
+ e_\mfa(-, p) \colon K_p(A) &\to \N \\
M & \mapsto e_\mfa(M, p),
\end{align*}
die nach \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
@@ -313,7 +313,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
- \sum_{i = 1}^n (1 \otimes a_i - a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1 - 1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\
&= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) - (1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\
&= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i - 1 \otimes a_i b_i \\
- &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i
+ &= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i.
\end{align*}
Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $1 \otimes a_i - a_i \otimes 1$ erzeugten Ideal enthalten.
\item Sind $a' \in \mfp'$ und $a'' \in \mfp''$, so gilt \begin{equation*}
@@ -422,7 +422,7 @@ Ist also
\end{equation*}
eine $B$-projektive Auflösung von $A$, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen
\begin{equation*}
- \Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{\bullet}).
+ \Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{-}).
\end{equation*}
Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i$, $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ erzeugte Ideal. Offensichtlich ist $\bmX = {(X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i)}_{i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace}$ eine $B$-reguläre Folge und es gilt
\begin{equation*}
@@ -515,7 +515,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
\item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-reguläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$.
Dann gilt für alle $i > n - r$:
\begin{equation*}
- \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0
+ \widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\begin{proof}\leavevmode
@@ -617,7 +617,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
M \hatotimes_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
&\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
- &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))
+ &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N)).
\end{aligned}
\end{equation}
Nun gilt offensichtlich
@@ -684,7 +684,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
\end{equation*}
stationär, das heißt es gibt ein $n_0 \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n \ge n_0$ gilt:
\begin{equation*}
- a_1^n N = a_1^{n+1} N
+ a_1^n N = a_1^{n+1} N.
\end{equation*}
Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, liefert das Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft.
@@ -793,7 +793,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
\end{equation*}
und wir erhalten die Formel für der Reduktion auf die Diagonale:
\begin{equation*}
- \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A)\qedhere
+ \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A).\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\end{prop}
@@ -805,7 +805,7 @@ Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \hatotimes_k A = k[
Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} und \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
\begin{equation*}
- \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N)
+ \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N).
\end{equation*}
Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so ist es auch $\Tor^A_i(M, N)$.
@@ -973,7 +973,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
\begin{description}
\item[Kommutativität.]
- Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(\bullet, \bullet)$ sind symmetrisch.
+ Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(-, -)$ sind symmetrisch.
\item[Assoziativität.]
Seien $z$, $z'$ und $z''$ drei positive Zykel der Dimensionen $a$, $a'$ und $a''$.
@@ -991,7 +991,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
\Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\
\Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz}
\end{align}
- Dabei ist $\Tor^A_n(\bullet, M', \bullet)$ der $n$-te linksabgeleitete Funktor des Bifunktors
+ Dabei ist $\Tor^A_n(-, M', -)$ der $n$-te linksabgeleitete Funktor des Bifunktors
\begin{equation*}
(M, M'') \mapsto T_{M'}(M, M'') \coloneqq M \otimes_A(M' \otimes_A M'') = (M \otimes_A M') \otimes_A M''.
\end{equation*}
@@ -1005,7 +1005,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
\end{align*}
Da Euler-Poincaré-Charakteristiken unter Spektralsequenzen invariant sind, erhalten wir aus \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz}:
\begin{equation*}
- \sum_{i} {(-1)}^i x_i = \sum_{p,q} {(-1)}^{p+q} x_{p, q}
+ \sum_{i} {(-1)}^i x_i = \sum_{p,q} {(-1)}^{p+q} x_{p, q}.
\end{equation*}
Aber \cref{prop:schnitt-zykel} zeigt
\begin{equation*}
@@ -1171,7 +1171,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
Sei $\mfd$ das von den Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ erzeugte Ideal von $C$.
Da die Elemente $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
\begin{equation*}
- \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N)
+ \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N).
\end{equation*}
Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} gilt dann also
\begin{equation*}
diff --git a/chapters/einleitung.tex b/chapters/einleitung.tex
index e0c88f9..799d388 100644
--- a/chapters/einleitung.tex
+++ b/chapters/einleitung.tex
@@ -64,3 +64,5 @@ Wie bereits zu Beginn erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmulti
Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren.
So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.
+
+Alle Ringe, die in dieser Arbeit betrachtet werden, sind kommutative Ringe mit Eins.
\ No newline at end of file