From 9dad6cfbd3e293b29aa42d3fb7bd90e637c3a84f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Wed, 13 Sep 2017 20:36:54 +0200 Subject: [PATCH] Mehrere Probleme behoben --- Ausarbeitung.tex | 3 +- chapters/chapter2.tex | 6 +-- chapters/chapter4.tex | 117 +++++++++++++++++++++++++++--------------- custom_commands.tex | 1 + 4 files changed, 82 insertions(+), 45 deletions(-) diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index 2cd24a4..ba9dcc7 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -10,7 +10,8 @@ \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{mathtools} - \usepackage{enumerate} + %\usepackage{enumerate} + \usepackage{enumitem} \usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex} \bibliography{bibliography} \usepackage{cleveref} diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 8c6b1c7..5ce6311 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -69,7 +69,7 @@ \begin{deflem}[Ganzzahliges Polynom] \label{deflem:ganzzahliges-polynom} Ein Polynom $f \in \Q[X]$ heißt \textbf{ganzzahlig}, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten: - \begin{enumerate}[(a)] + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $f$ ist eine $\Z$-Linearkombination von Binomialpolynomen $Q_k$. \item Für alle $z \in \Z$ gilt $f(z) \in \Z$. \item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \ge z_0$. @@ -121,7 +121,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv. \begin{lem} \label{lem:kritreium-fuer-polynomartig} Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent: - \begin{enumerate}[(a)] + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$ \item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$ \item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$. @@ -146,7 +146,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv. \label{sec:das-hilbert-polynom} Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften: -\begin{enumerate}[(a)] +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $H_0$ ist artinsch. \item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt. \end{enumerate} diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex index 2462bd3..606a1bd 100644 --- a/chapters/chapter4.tex +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -191,7 +191,7 @@ Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebrais Sei $k$ ein Körper. Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$ und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, dann gilt \begin{equation*} - \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W). + \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W) \end{equation*} Oder in algebraischer Sprache ausgedrückt: Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt @@ -286,7 +286,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: \label{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} Sei $k$ ein Körper und $A$ eine $k$-Algebra. Sei außerdem $C = A \otimes_k A$ und sei $\phi \colon C \to A$ der durch $\phi(a \otimes b) = ab$ definierte Homomorphismus. Dann gilt: - \begin{enumerate}[(a)] + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item Der Kern $\mfd$ von $\phi$ ist das Ideal von $C$, das von den Elementen der Form \begin{equation*} 1 \otimes a - a \otimes 1, \qquad a \in A @@ -295,7 +295,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: \item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$. \end{enumerate} \begin{proof} - \begin{enumerate}[(a)] + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist. Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$. Dann gilt: @@ -455,7 +455,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren. Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind. Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)). - \begin{enumerate}[(a)] + \begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item Es gilt \begin{equation} \label{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} @@ -508,7 +508,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \end{equation*} \end{enumerate} \begin{proof} - \begin{enumerate}[(a)] + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich. \item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$. Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (vergleiche {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$. @@ -600,26 +600,50 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \widehat{\otimes}_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden. Folglich gilt: - \begin{align*} - M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\ - &\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\ - &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\ - &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N)) - \end{align*} - \todo{Wie gehts weiter\ldots?}%TODO: - \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.\todo{$\Tor$?}%TODO: + \begin{equation*} + \label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts}\tag{$\bigcirc$} + \begin{aligned} + M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\ + &\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\ + &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\ + &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N)) + \end{aligned} + \end{equation*} + Nun gilt offensichtlich + \begin{equation*} + {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p = \sum_{s + t = p} \mfm^s \otimes_k \mfn^t \supset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p. + \end{equation*} + + Sind andererseits $s, t \in \N$ mit $s + t = 2p$, so gilt $s \ge p$ oder $t \ge p$ und damit folgt $\mfm^s \otimes_k \mfn^t \subset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p$, also + \begin{equation*} + \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2n} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}. + \end{equation*} + Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung $((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt + \begin{equation*} + M \widehat{\otimes}_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)). + \end{equation*} + + \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie. + Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ voll ständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist. Es gilt also auch \begin{equation*} (A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes _k) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn) - \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn). + \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn) \end{equation*} - Analog folgt + und \begin{equation*} (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N). \end{equation*} - Da $\mfr$ endlich erzeugt ist,\todo{Warum?}%TODO: - und $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ auch noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}). - Es gilt $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$, also ist $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$ endlich erzeugt und es folgt, dass auch $M \widehat{\otimes}_k N$ endlich erzeugt ist (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).\todo{Maximalideale?}%TODO: + + Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$. + Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul. + Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}). + + Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}). + + Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ ind $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$. + Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$. + Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$. \item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben. Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind: \begin{gather*} @@ -651,7 +675,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \begin{equation*} a_1^n N = a_1^{n+1} N \end{equation*} - Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, folgt mit dem Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$. + Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, folgt mit dem Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N =~0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$. Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft. Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein $0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)$ mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$, also ist $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$. Dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$. @@ -672,8 +696,8 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch. \end{bem} -Wir untersuchen nun den für uns wichtigsten Fall, nämlich dass $k$ ein Körper ist,$A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. -In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) = 0$ für $i > 0$, denn denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$. +Wir wollen nun den für uns wichtigsten Fall untersuchen, nämlich dass $k$ ein Körper ist, $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. +In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) =~0$ für $i > 0$, denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$. Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$ ist, wobei \begin{equation*} \mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n). @@ -712,14 +736,18 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän \end{equation} \begin{proof} Sei $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$). - Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus. + Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus. Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$. Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus \begin{equation*} \gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \widehat{\otimes}_k N). \end{equation*} - Dieser ist bijektiv, \todo{Beweis?}%TODO: - also gilt\todo{Wie folgt das?}%TODO: + Ist $\mfm$ das eindeutige Maximalideal von $A$, so sind die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal, und es folgt + \begin{equation*} + \gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N). + \end{equation*} + Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, zeigt dies, dass der obige Morphismus ein Isomorphismus ist. + Also gilt \begin{equation*} \dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N) \end{equation*} @@ -727,6 +755,7 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän \begin{equation*} e_\mfs(M \widehat{\otimes}_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)). \end{equation*} + Sind \begin{equation*} \cdots \to K_1 \to K_0 \to M \to 0 @@ -735,9 +764,9 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän \begin{equation*} \cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0 \end{equation*} - jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist $(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.\todo{Warum?}%TODO: + jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist $(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$. Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$. - Dann gilt\todo{Warum?}%TODO: + Dann gilt \begin{equation*} K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A \end{equation*} @@ -796,12 +825,13 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$. \end{enumerate} \begin{proof} - Durch Vervollständigung erhalten wir \todo{Wieso?}%TODO: Wieso? + Da $A_\mfq$ regulär ist, gilt $\dim(A_\mfq) = \globdim(A_\mfq)$ und damit folgt $\Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) =~0$ für alle $i > \dim(A_\mfq)$. + Durch Vervollständigung erhalten wir \begin{equation*} - \Tor^A_i(M, N)_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq), + \Tor^A_i(M, N)_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) \cong \Tor^{\hat{A}_\mfq}_i(\hat{M}_\mfq, \hat{N}_\mfq). \end{equation*} - Also können wir annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist. \todo{Warum ist $\dim(A) = \dim(A_\mfq)$?}%TODO: - Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$ und dann folgt die Behauptung, wie wir weiter oben gesehen haben. + Wegen $\dim(A) \ge \dim(A_\mfq)$ können wir also annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist. + Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$. \end{proof} \end{thm} @@ -814,18 +844,11 @@ Seien $U$, $V$ und $W$ drei irreduzible Untervarietäten von $X$, wobei $W$ eine Wir nehmen zusätzlich an, dass der lokale Ring $A$ von $X$ bei $W$ regulär ist. Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ in der Menge der glatten Punkte von $X$ liegt. -Nach \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} gilt nun\todo{Wieso auch im nicht affinen Fall?}%TODO: -\begin{equation} - \label{eq:dimension-intersection} - \dim(U) + \dim(V) \le \dim(X) + \dim(W). -\end{equation} -Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}. - Seien $\mfp_U$ und $\mfp_V$ die Primideale des lokalen Rings $A$, die zu den Untervarietäten $U$ und $V$ gehören. -Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge.\todo{Warum?}%TODO: -Verwenden wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}, so erhalten wir, dass die Euler-Poincaré-Charakteristik\todo{Wieso bis $\dim(X)$?}%TODO: +Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge. +Verwenden wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}, so erhalten wir, dass die Euler-Poincaré-Charakteristik \begin{equation*} - \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(X)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(A / \mfp_U, A / \mfp_V)) + \chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(X)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(A / \mfp_U, A / \mfp_V)) \end{equation*} wohldefiniert und $\ge 0$ ist. @@ -836,10 +859,22 @@ $A$ ist regulär von gleicher Charakteristik und für $M = A / \mfp_U$ und $N = \end{equation*} wobei $\mfm$ das Maximalideal von $A$ ist, denn $M \otimes_A N \cong A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge, also sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente von $\Supp(M \otimes_A N)$ maximale Ideale. Also ist $\mfm$ das eindeutige minimale Primideal von $\Supp(M \otimes_A N)$. +Wegen $\dim(X) \ge \dim(A)$ können wir auch tatsächlich bin $\dim(X)$ summieren. + +Nach \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} folgt also auch +\begin{equation*} + \dim(A / \mfp_U) + \dim(A / \mfp_V) \le \dim(A) = \dim(X) - \dim(W), +\end{equation*} +und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V) - \dim(W)$ folgt damit +\begin{equation} + \label{eq:dimension-intersection} + \dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W). +\end{equation} +Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}. \begin{thm} \label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} - \begin{enumerate}[(a)] + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$. \item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein. \end{enumerate} diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index 2698347..e89976f 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -28,6 +28,7 @@ \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} +\DeclareMathOperator{\globdim}{globdim} \DeclareMathOperator{\gr}{gr} \DeclareMathOperator{\height}{ht} \DeclareMathOperator{\map}{map}