diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index 785a739..2cd24a4 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -16,6 +16,7 @@ \usepackage{cleveref} \usepackage{bm} \usepackage{tikz-cd} + \usetikzlibrary{babel} \input{theorem_environments} \input{custom_commands} diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib index 2f8989a..eb8a6e4 100644 --- a/bibliography.bib +++ b/bibliography.bib @@ -38,4 +38,12 @@ series={Princeton Mathematical Series}, year={1956}, publisher={Princeton University Press} -} \ No newline at end of file +} + +@book{bourbaki2006algebre, + title={Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4}, + author={Bourbaki, Nicolas}, + series={Algèbre commutative}, + year={2006}, + publisher={Springer Berlin Heidelberg} +} diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex index cae5a01..a05ed59 100644 --- a/chapters/chapter4.tex +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -276,4 +276,94 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \begin{prop} \label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Es gilt + \begin{equation} + \label{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} + \widehat{\Tor}^k_i(M, N) \cong \varprojlim_{p} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_p) + \end{equation} + und + \begin{align*} + \widehat{\Tor}^k_i(M, N) &\cong \varprojlim_{p} \varprojlim_{q}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \\ + &\cong \varprojlim_{q}\varprojlim_{p}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q). + \end{align*} + \item Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig. + \end{enumerate} + \begin{proof} + \begin{enumerate}[(a)] + \item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich. + \item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$. + Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (vergleiche {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$. + Sei + \begin{equation*} + \phi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) + \end{equation*} + der kanonische Morphismus. + Ist nun $l \in \N$, so gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und wir erhalten einen Morphismus + \begin{equation*} + M/M_m \to M/M'_l + \end{equation*} + und damit für alle $n \in \N$ einen Morphismus + \begin{equation*} + \alpha_{m,l,n}\colon \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n). + \end{equation*} + Sind $m, m' \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$, $M_{m'} \subset M'_l$ und $M_m \subset M_{m'}$, so ist das Diagramm + \begin{center} + \begin{tikzcd} + M / M_{m'} \ar[d, two heads] \ar[r, two heads] & M / M'_l \ar[d, equal] \\ + M / M_m \ar[r, two heads] & M / M'_l + \end{tikzcd} + \end{center} + offensichtlich kommutativ und damit auch das folgende Diagramm: + \begin{center} + \begin{tikzcd} + \Tor^k_i(M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\ + \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) + \end{tikzcd} + \end{center} + Wir definieren nun + \begin{equation*} + \psi_{l, n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) + \end{equation*} + durch $\psi_{l, n} = \alpha_{m, l, n} \circ \phi_{m, n}$, wobei $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$. + Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $m$, wie das folgende kommutative Diagramm zeigt: + \begin{center} + \begin{tikzcd} + \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \ar[r, "\phi_{m, n}"] \ar[dr, "\phi_{m', n}"'] & \Tor^k_i(M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\ + &\Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) + \end{tikzcd} + \end{center} + Ist nun $l' > l$, also $M'_l \subset M'_{l'}$, dann gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und damit ist das Diagramm + \begin{center} + \begin{tikzcd} + & M / M_m \ar[dl] \ar[dr]\\ + M / M'_{l'} \ar[rr] & & M / M'_l + \end{tikzcd} + \end{center} + kommutativ und damit auch das folgende Diagramm: + \begin{center} + \begin{tikzcd} + & \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \ar[d, "\phi_{m, n}"] \ar[ddl, bend right=15, "\psi_{l',n}"'] \ar[ddr, bend left=15, "\psi_{l,n}"] \\ + & \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[dl, "\alpha_{m, l', n}"] \ar[dr, "\alpha_{m, l, n}"'] \\ + \Tor^k_i(M / M'_{l'}, N / N_n) \ar[rr] & & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) + \end{tikzcd} + \end{center} + Nach der Definition von $\alpha_{m, l, n}$ ist es offensichtlich, dass $\psi_{l,n}$ auch mit Variationen in $n$ kompatibel ist. + Sei + \begin{equation*} + \varphi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_m, N / N_n) + \end{equation*} + der kanonische Morphismus. + Dann erhalten wir einen eindeutigen Morphismus + \begin{equation*} + \Phi \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) + \end{equation*} + mit $\psi_{l,n} = \varphi_{l,n} \circ \Phi$. + Vertauschen wir nun die Rollen der Filtrierungen $(M_p)$ und $(M'_p)$, so erhalten wir einen eindeutigen Morphismus + \begin{equation*} + \Phi^{-1} \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) + \end{equation*} + und das übliche Argument zu universellen Eigenschaften liefert uns, dass diese beiden Morphismen tatsächlich zueinander inverse Isomorphismen sind. + \end{enumerate} + \end{proof} \end{prop} \ No newline at end of file