diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex
index 785a739..2cd24a4 100644
--- a/Ausarbeitung.tex
+++ b/Ausarbeitung.tex
@@ -16,6 +16,7 @@
\usepackage{cleveref}
\usepackage{bm}
\usepackage{tikz-cd}
+ \usetikzlibrary{babel}
\input{theorem_environments}
\input{custom_commands}
diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib
index 2f8989a..eb8a6e4 100644
--- a/bibliography.bib
+++ b/bibliography.bib
@@ -38,4 +38,12 @@
series={Princeton Mathematical Series},
year={1956},
publisher={Princeton University Press}
-}
\ No newline at end of file
+}
+
+@book{bourbaki2006algebre,
+ title={Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4},
+ author={Bourbaki, Nicolas},
+ series={Algèbre commutative},
+ year={2006},
+ publisher={Springer Berlin Heidelberg}
+}
diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex
index cae5a01..a05ed59 100644
--- a/chapters/chapter4.tex
+++ b/chapters/chapter4.tex
@@ -276,4 +276,94 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{prop}
\label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}
+ \begin{enumerate}[(a)]
+ \item Es gilt
+ \begin{equation}
+ \label{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale}
+ \widehat{\Tor}^k_i(M, N) \cong \varprojlim_{p} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_p)
+ \end{equation}
+ und
+ \begin{align*}
+ \widehat{\Tor}^k_i(M, N) &\cong \varprojlim_{p} \varprojlim_{q}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \\
+ &\cong \varprojlim_{q}\varprojlim_{p}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
+ \end{align*}
+ \item Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig.
+ \end{enumerate}
+ \begin{proof}
+ \begin{enumerate}[(a)]
+ \item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich.
+ \item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$.
+ Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (vergleiche {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$.
+ Sei
+ \begin{equation*}
+ \phi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n)
+ \end{equation*}
+ der kanonische Morphismus.
+ Ist nun $l \in \N$, so gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und wir erhalten einen Morphismus
+ \begin{equation*}
+ M/M_m \to M/M'_l
+ \end{equation*}
+ und damit für alle $n \in \N$ einen Morphismus
+ \begin{equation*}
+ \alpha_{m,l,n}\colon \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n).
+ \end{equation*}
+ Sind $m, m' \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$, $M_{m'} \subset M'_l$ und $M_m \subset M_{m'}$, so ist das Diagramm
+ \begin{center}
+ \begin{tikzcd}
+ M / M_{m'} \ar[d, two heads] \ar[r, two heads] & M / M'_l \ar[d, equal] \\
+ M / M_m \ar[r, two heads] & M / M'_l
+ \end{tikzcd}
+ \end{center}
+ offensichtlich kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
+ \begin{center}
+ \begin{tikzcd}
+ \Tor^k_i(M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
+ \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
+ \end{tikzcd}
+ \end{center}
+ Wir definieren nun
+ \begin{equation*}
+ \psi_{l, n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
+ \end{equation*}
+ durch $\psi_{l, n} = \alpha_{m, l, n} \circ \phi_{m, n}$, wobei $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$.
+ Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $m$, wie das folgende kommutative Diagramm zeigt:
+ \begin{center}
+ \begin{tikzcd}
+ \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \ar[r, "\phi_{m, n}"] \ar[dr, "\phi_{m', n}"'] & \Tor^k_i(M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
+ &\Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
+ \end{tikzcd}
+ \end{center}
+ Ist nun $l' > l$, also $M'_l \subset M'_{l'}$, dann gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und damit ist das Diagramm
+ \begin{center}
+ \begin{tikzcd}
+ & M / M_m \ar[dl] \ar[dr]\\
+ M / M'_{l'} \ar[rr] & & M / M'_l
+ \end{tikzcd}
+ \end{center}
+ kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
+ \begin{center}
+ \begin{tikzcd}
+ & \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \ar[d, "\phi_{m, n}"] \ar[ddl, bend right=15, "\psi_{l',n}"'] \ar[ddr, bend left=15, "\psi_{l,n}"] \\
+ & \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[dl, "\alpha_{m, l', n}"] \ar[dr, "\alpha_{m, l, n}"'] \\
+ \Tor^k_i(M / M'_{l'}, N / N_n) \ar[rr] & & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
+ \end{tikzcd}
+ \end{center}
+ Nach der Definition von $\alpha_{m, l, n}$ ist es offensichtlich, dass $\psi_{l,n}$ auch mit Variationen in $n$ kompatibel ist.
+ Sei
+ \begin{equation*}
+ \varphi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_m, N / N_n)
+ \end{equation*}
+ der kanonische Morphismus.
+ Dann erhalten wir einen eindeutigen Morphismus
+ \begin{equation*}
+ \Phi \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q)
+ \end{equation*}
+ mit $\psi_{l,n} = \varphi_{l,n} \circ \Phi$.
+ Vertauschen wir nun die Rollen der Filtrierungen $(M_p)$ und $(M'_p)$, so erhalten wir einen eindeutigen Morphismus
+ \begin{equation*}
+ \Phi^{-1} \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q)
+ \end{equation*}
+ und das übliche Argument zu universellen Eigenschaften liefert uns, dass diese beiden Morphismen tatsächlich zueinander inverse Isomorphismen sind.
+ \end{enumerate}
+ \end{proof}
\end{prop}
\ No newline at end of file