diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib
index eb8a6e4..9341c18 100644
--- a/bibliography.bib
+++ b/bibliography.bib
@@ -47,3 +47,12 @@
   year={2006},
   publisher={Springer Berlin Heidelberg}
 }
+
+@article{EGA,
+  title={Éléments de géométrie algébrique},
+  author={Grothendieck, Alexander and Dieudonné, Jean},
+  year={1961--1967},
+  volume={4 (Chapter 0, 1–7, and I, 1–10), 8 (II, 1–8), 11 (Chapter 0, 8–13, and III, 1–5), 17 (III, 6–7), 20 (Chapter 0, 14–
+23, and IV, 1), 24 (IV, 2–7), 28 (IV, 8–15), 32 ((IV, 16–21)},
+  journal={Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques}
+}
diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex
index a05ed59..cec61fc 100644
--- a/chapters/chapter4.tex
+++ b/chapters/chapter4.tex
@@ -287,7 +287,41 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
             \widehat{\Tor}^k_i(M, N) &\cong \varprojlim_{p} \varprojlim_{q}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \\
             &\cong \varprojlim_{q}\varprojlim_{p}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
         \end{align*}
-        \item Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig.
+        \item\label{item:unabhaengig-von-filtrierung} Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig.
+        \item\label{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} Wir haben kanonische Morphismen
+        \begin{equation*}
+            M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            \hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
+        \end{equation*}
+        Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollsändigung von $M \otimes_k N$.
+        \item Der Ring $A \widehat{\otimes}_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei
+        \begin{equation*}
+            \mfr = \mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfn.
+        \end{equation*}
+        Allgemeiner ist $\widehat{\Tor}^i_k(M, N)$ vollständig bezüglich der der $\mfr$-adischen Topologie.
+        Es gilt
+        \begin{equation*}
+            (A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
+        \end{equation*}
+        Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
+        Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
+        \item Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
+        \begin{align*}
+            \cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
+            &\to \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N) \\
+            &\to \Tor^k_{n - 1}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N) \to \cdots
+        \end{align*}
+        eine exakte Sequenz
+        \begin{equation*}
+            \cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots.
+        \end{equation*}
     \end{enumerate}
     \begin{proof}
         \begin{enumerate}[(a)]
@@ -364,6 +398,53 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
                 \Phi^{-1} \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q)
             \end{equation*}
             und das übliche Argument zu universellen Eigenschaften liefert uns, dass diese beiden Morphismen tatsächlich zueinander inverse Isomorphismen sind.
+            \item Die Morphismen $M \to M / M_p$ und $N \to N / N_q$ liefern wegen der universellen Eigenschaft des projektiven Limes die Morphismen $M \to \varprojlim\limits_p(M / M_p)$ und $N \to \varprojlim\limits_q(N / N_q)$ und wir erhalten einen Morphismus
+            \begin{equation*}
+                M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
+            \end{equation*}
+            wie gewünscht.
+
+            Die kanonischen Morphismen $\hat{M} \cong \varprojlim\limits_p (M / M_p) \to M / M_p$ und $\hat{N} \cong \varprojlim\limits_q (N / N_q) \to N / N_q$
+            liefern uns Morphismen
+            \begin{equation*}
+                \hat{M} \otimes_k \hat(N) \to M / M_p \otimes_k N / N_q
+            \end{equation*}
+            und die universelle Eigenschaft des projektiven Limes liefert uns wie gewünscht den Morphismus
+            \begin{equation*}
+                \hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
+            \end{equation*}
+
+            Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \widehat{\otimes}_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
+            Folglich gilt:
+            \begin{align*}
+                M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
+                &\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
+                &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
+                &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N)) % TODO: Wie gehts weiter...?
+            \end{align*}
+            \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
+            % TODO: Tor?
+            Es gilt also auch
+            \begin{equation*}
+                (A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes _k) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
+                \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn).
+            \end{equation*}
+            Analog folgt
+            \begin{equation*}
+                (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
+            \end{equation*}
+            Da $\mfr$ endlich erzeugt ist, %TODO: Warum?
+            und $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ auch noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
+            Es gilt $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$, also ist $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$ endlich erzeugt und es folgt, dass auch $M \widehat{\otimes}_k N$ endlich erzeugt ist (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
+            %TODO: Maximalideale?
+            \item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
+            Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
+            \begin{gather*}
+                \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N),\\
+                \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N), \\
+                \Tor^k_{n}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N)
+            \end{gather*}
+            Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und mit {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA} folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist.
         \end{enumerate}
     \end{proof}
 \end{prop}
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