From a6e8cbb7444a856167dd1fc4e97befe45c7dad38 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Tue, 5 Sep 2017 20:27:24 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Weitere=20Eigenschaften=20des=20vervollst=C3=A4?= =?UTF-8?q?ndigten=20Tensorprodukts=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- bibliography.bib | 9 +++++ chapters/chapter4.tex | 83 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 2 files changed, 91 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib index eb8a6e4..9341c18 100644 --- a/bibliography.bib +++ b/bibliography.bib @@ -47,3 +47,12 @@ year={2006}, publisher={Springer Berlin Heidelberg} } + +@article{EGA, + title={Éléments de géométrie algébrique}, + author={Grothendieck, Alexander and Dieudonné, Jean}, + year={1961--1967}, + volume={4 (Chapter 0, 1–7, and I, 1–10), 8 (II, 1–8), 11 (Chapter 0, 8–13, and III, 1–5), 17 (III, 6–7), 20 (Chapter 0, 14– +23, and IV, 1), 24 (IV, 2–7), 28 (IV, 8–15), 32 ((IV, 16–21)}, + journal={Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques} +} diff --git a/chapters/chapter4.tex b/chapters/chapter4.tex index a05ed59..cec61fc 100644 --- a/chapters/chapter4.tex +++ b/chapters/chapter4.tex @@ -287,7 +287,41 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \widehat{\Tor}^k_i(M, N) &\cong \varprojlim_{p} \varprojlim_{q}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \\ &\cong \varprojlim_{q}\varprojlim_{p}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q). \end{align*} - \item Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig. + \item\label{item:unabhaengig-von-filtrierung} Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig. + \item\label{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} Wir haben kanonische Morphismen + \begin{equation*} + M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N} + \end{equation*} + und + \begin{equation*} + \hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N. + \end{equation*} + Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollsändigung von $M \otimes_k N$. + \item Der Ring $A \widehat{\otimes}_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei + \begin{equation*} + \mfr = \mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfn. + \end{equation*} + Allgemeiner ist $\widehat{\Tor}^i_k(M, N)$ vollständig bezüglich der der $\mfr$-adischen Topologie. + Es gilt + \begin{equation*} + (A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn) + \end{equation*} + und + \begin{equation*} + (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N). + \end{equation*} + Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul. + Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$. + \item Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen + \begin{align*} + \cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\ + &\to \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N) \\ + &\to \Tor^k_{n - 1}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N) \to \cdots + \end{align*} + eine exakte Sequenz + \begin{equation*} + \cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots. + \end{equation*} \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(a)] @@ -364,6 +398,53 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an: \Phi^{-1} \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \end{equation*} und das übliche Argument zu universellen Eigenschaften liefert uns, dass diese beiden Morphismen tatsächlich zueinander inverse Isomorphismen sind. + \item Die Morphismen $M \to M / M_p$ und $N \to N / N_q$ liefern wegen der universellen Eigenschaft des projektiven Limes die Morphismen $M \to \varprojlim\limits_p(M / M_p)$ und $N \to \varprojlim\limits_q(N / N_q)$ und wir erhalten einen Morphismus + \begin{equation*} + M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N} + \end{equation*} + wie gewünscht. + + Die kanonischen Morphismen $\hat{M} \cong \varprojlim\limits_p (M / M_p) \to M / M_p$ und $\hat{N} \cong \varprojlim\limits_q (N / N_q) \to N / N_q$ + liefern uns Morphismen + \begin{equation*} + \hat{M} \otimes_k \hat(N) \to M / M_p \otimes_k N / N_q + \end{equation*} + und die universelle Eigenschaft des projektiven Limes liefert uns wie gewünscht den Morphismus + \begin{equation*} + \hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N. + \end{equation*} + + Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \widehat{\otimes}_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden. + Folglich gilt: + \begin{align*} + M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\ + &\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\ + &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\ + &\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N)) % TODO: Wie gehts weiter...? + \end{align*} + \item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie. + % TODO: Tor? + Es gilt also auch + \begin{equation*} + (A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes _k) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn) + \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn). + \end{equation*} + Analog folgt + \begin{equation*} + (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N). + \end{equation*} + Da $\mfr$ endlich erzeugt ist, %TODO: Warum? + und $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ auch noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}). + Es gilt $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$, also ist $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$ endlich erzeugt und es folgt, dass auch $M \widehat{\otimes}_k N$ endlich erzeugt ist (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}). + %TODO: Maximalideale? + \item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben. + Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind: + \begin{gather*} + \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N),\\ + \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N), \\ + \Tor^k_{n}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N) + \end{gather*} + Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und mit {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA} folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist. \end{enumerate} \end{proof} \end{prop} \ No newline at end of file