From a8cc0c9f18596812347efabc3eece55dbcd0b24c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Thu, 10 Aug 2017 19:38:57 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?K=C3=BCnneth-Formel=20f=C3=BCr=20Koszul-Komplex?= =?UTF-8?q?e=20und=20Korollar=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapters/chapter2.tex | 2 +- chapters/chapter3.tex | 93 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- custom_commands.tex | 1 + theorem_environments.tex | 4 +- 4 files changed, 96 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 207c9c7..5c102ed 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -107,7 +107,7 @@ Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sod Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv. -\begin{defn} +\begin{defn}[Polynomartige Funktion] \label{defn:polynomartige-funktionen} Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index 2c066cc..4e4d2f6 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\chapter{Der Koszul Komplex} +\chapter{Der Koszul-Komplex} \label{cha:der-koszul-komplex} Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. @@ -37,6 +37,87 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \end{align*} \end{defn} +\begin{prop}[Künneth-Formel für Koszul-Komplexe] + \label{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe} + Sei $x \in A$ und $L$ ein Komplex von $A$-Moduln. + Dann ist für jedes $p \ge 0$ die Sequenz + \begin{equation*} + 0 \to H_0(x,H_p(L)) \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to H_1(x, H_{p - 1}(L)) \to 0 + \end{equation*} + exakt. + \begin{proof} + Die natürliche Einbettung $A \to K(x)$ liefert eine Einbettung von Komplexen + \begin{equation*} + L = A \otimes_A L \to K(x) \otimes_A L. + \end{equation*} + Außerdem erhalten wir durch die natürliche Projektion $K(x) \to K_1(x) = A$ einen Epimorphismus von Komplexen + \begin{equation*} + K(x) \otimes_A L \to L[-1], + \end{equation*} + der uns insgesamt die kurze exakte Sequenz + \begin{equation*} + 0 \to L \overset{i}{\to} K(x) \otimes_A L \overset{p}{\to} L[-1] \to 0 + \end{equation*} + liefert. + Also erhalten wir folgende lange exakte Homologiesequenz: + \begin{equation*} + \cdots \overset{\partial}{\to} H_p(L) \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to H_p(L[-1]) \overset{\partial}{\to} H_{p - 1}(L) \to \cdots + \end{equation*} + Es gilt + \begin{align*} + {(K(x) \otimes_A L)}_p &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(x) \otimes_A L_j \\ + &= K_0(x) \otimes_A L_p \oplus K_1(x) \otimes_A L_{p -1} + \end{align*} + und die Randabbildung $d\colon {(K(x) \otimes_A L)}_p \to {(K(x) \otimes_A L)}_{p - 1}$ ist durch + \begin{align*} + d(x_0 \otimes y_p + x_1 \otimes y_{p - 1}) &= d(x_0) \otimes y_p + x_0 \otimes d(y_p) + d(x_1) \otimes y_{p - 1} - x_1 \otimes d(y_{p - 1})\\ + &= x_0 \otimes d(y_p) + x \cdot x_0 \otimes y_{p - 1} - x_1 \otimes d(y_{p - 1}) + \end{align*} + gegeben. + Ist $[c] \in H_p(L[-1])$, so gilt $\partial([c]) = [d(\hat{c})] \in H_{p - 1}(L)$, wobei $\hat{c}$ ein Element aus ${(K(x) \otimes_A L)}_p$ mit $p(\hat{c}) = c$ ist. + Ohne Einschränkung sei $\hat{c} = 0 + e_x \otimes c$. + Wegen $c \in Z_p(L[-1])$ folgt dann + \begin{align*} + \partial([c]) = [d(\hat{c})] = [d(0 + e_x \otimes c)] = [x \cdot e_x \otimes c - e_x \otimes d(c)] = x[e_x \otimes c], + \end{align*} + also ist $\partial \colon (H_{p - 1}(L) = H_p(L[-1])) \to H_{p - 1}(L)$ durch die Multiplikation mit $x$ gegeben. + Demnach erhalten wir aus der langen exakten Homologiesequenz die folgenden kurzen exakten Sequenzen: + \begin{equation*} + 0 \to X_p \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to Y_{p - 1} \to 0 + \end{equation*} + Dabei sind $X_p$ und $Y_p$ durch + \begin{alignat*}{3} + X_p &= \coker(\cdot x\colon H_p(L) \to H_p(L)) &= H_0(x, H_p(L)) \\ + Y_p &= \ker(\cdot x\colon H_p(L) \to H_p(L)) &= H_1(x, H_p(L)) + \end{alignat*} + gegeben. + \end{proof} +\end{prop} + +\begin{defn}[azyklischer Komplex] + \label{defn:azyklischer-komplex} + Sei $M$ ein $A$-Modul und $L$ ein Komplex von $A$-Moduln mit $L_p = 0$ für $p < 0$. + Dann heißt $L$ \textbf{azyklischer Komplex} auf $M$, falls $H_p(L) = 0$ für $p > 0$ und $H_0(L) = M$, also falls + \begin{equation*} + \cdots \to L_1 \to L_0 \to M \to 0 + \end{equation*} + eine Auflösung von $M$ ist. +\end{defn} + +\begin{kor} + \label{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex} + Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler in $M$, also $\Ann_M(x) = 0$. + Dann ist $K(x) \otimes_A L$ ein azyklischer Komplex auf $M/xM$. + \begin{proof} + Aus \cref{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe} folgt: + \begin{align*} + H_p(K(x) \otimes_A L) &= 0 \qquad \text{für } p > 1 \\ + H_1(K(x) \otimes_A L) &= H_1(x,M) = \Ann_M(x) = 0 \\ + H_0(K(x) \otimes_A L) &= H_0(x,M) = M/xM + \end{align*} + \end{proof} +\end{kor} + \begin{defn} \label{defn:koszul-komplex} Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. @@ -139,3 +220,13 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. H_r(\bmx, M) &= \lbrace m \in M \mid x_i m = 0 \text{ für alle } i \rbrace \end{align*} \end{defn} + +\begin{prop} + \label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} + Wenn zusätzlich zu den Voraussetzunen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$. + \begin{proof} + Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler in $M$ ist. + + Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$. + \end{proof} +\end{prop} \ No newline at end of file diff --git a/custom_commands.tex b/custom_commands.tex index d8b2dc5..c13aad3 100644 --- a/custom_commands.tex +++ b/custom_commands.tex @@ -18,6 +18,7 @@ \DeclareMathOperator{\gr}{gr} \DeclareMathOperator{\map}{map} \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp} +\DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\pplus}{\phantom{+}} \DeclareMathOperator{\poplus}{\phantom{\oplus}} \DeclareMathOperator{\peq}{\phantom{=}} diff --git a/theorem_environments.tex b/theorem_environments.tex index 0b6666d..9cb3f8d 100644 --- a/theorem_environments.tex +++ b/theorem_environments.tex @@ -5,8 +5,8 @@ \newtheorem{deflem}[thm]{Definition/Lemma} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defn}[thm]{Definition} -\newtheorem{nota}[thm]{Notation} -\newtheorem{bem}[thm]{Bemerkung} +\newtheorem*{nota}{Notation} +\newtheorem*{bem}{Bemerkung} \crefname{thm}{Theorem}{Theoreme} \crefname{prop}{Proposition}{Propositionen}