From b6d3a3e14ecb9066e9a1804dda6d0024885c1b2b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Johannes Loher <johannes.loher@fg4f.de>
Date: Sun, 17 Sep 2017 16:50:25 +0200
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?coloneqq=20an=20ein=20paar=20stellen=20eingef?=
 =?UTF-8?q?=C3=BCgt?=
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@@ -801,7 +801,7 @@ Außerdem ist auch
 \end{equation*}
 von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} ist dann die Euler-Poincaré-Charakteristik
 \begin{equation*}
-    \chi(M, N) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
+    \chi(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
 \end{equation*}
 gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des Ideal $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$.
 Folglich gilt:
@@ -823,11 +823,11 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
 
 \begin{thm}
     \label{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}
-    Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik, seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln und sei $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
-    Dann gilt
+    Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik, seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln und sei $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$,
+    dann gilt:
     \begin{enumerate}[label = (\alph*)]
-        \item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$,
-        \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$,
+        \item $\chi_\mfq(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$.
+        \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$.
         \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$.
     \end{enumerate}
     \begin{proof}