diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib index 36f9249..825b907 100644 --- a/bibliography.bib +++ b/bibliography.bib @@ -1,18 +1,33 @@ -@book{chin2012local, +@book{serre2000local, title={Local Algebra}, - author={Chin, CheeWhye and Serre, Jean-Pierre}, - isbn={9783662042038}, - lccn={00032970}, + author={Serre, Jean-Pierre}, + translator={Chin, CheeWhye}, series={Springer Monographs in Mathematics}, - url={https://books.google.de/books?id=Ne3tCAAAQBAJ}, - year={2012}, + year={2000}, publisher={Springer Berlin Heidelberg} } -@online{ash2003acourse, +@book{roberts1998multiplicities, + title={Multiplicities and Chern Classes in Local Algebra}, + author={Roberts, Paul C.}, + series={Cambridge Tracts in Mathematics}, + year={1998}, + publisher={Cambridge University Press} +} + +@book{eisenbud2004commutative, + title={Commutative Algebra}, + subtile={with a View Toward Algebraic Geometry}, + author={Eisenbud, David}, + series={Graduate Texts in Mathematics}, + year={2004}, + publisher={Springer New York} +} + +@unpublished{ash2003acourse, author = {Ash, Robert B.}, title = {A Course In Commutative Algebra}, year = 2003, url = {http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg.html}, urldate = {2017-08-16} -} \ No newline at end of file +} diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 8c51e76..3623c8f 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -208,7 +208,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erze \label{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} Es gilt $\length_A(M) < \infty$ genau dann, wenn alle Elemente in $\Supp(M)$ maximale Ideale sind. \begin{proof} - {}\cite[Proposition~1.6.9]{ash2003acourse}. + {}\cite[Corollary~2.17]{eisenbud2004commutative}. \end{proof} \end{lem} @@ -226,7 +226,7 @@ Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium \end{equation} -Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt +Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $M$, das heißt \begin{align*} &M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\ &M_i \supset \mfq M_{i-1},\\ @@ -246,7 +246,7 @@ wohldefiniert. \begin{proof} Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. - Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$. + Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$. Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring @@ -299,7 +299,7 @@ wohldefiniert. Es gilt \begin{equation*} P_\mfq(M) = P((M_i)) + R, \end{equation*} - wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist. + wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist. \begin{proof} Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann @@ -316,11 +316,84 @@ wohldefiniert. \end{lem} \begin{prop} - \label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q} - Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig. + \label{prop:samuel-polynom-additivitaet} + Ist + \begin{equation*} + 0 \to N \to M \to P \to 0 + \end{equation*} + eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt + \begin{equation*} + P_\mfq(M) = P_\mfq(N) + P_\mfq(P) - R, + \end{equation*} + wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist. \begin{proof} - Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. - Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. + Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$. + Nach dem Lemma von Artin-Rees (sieh {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz + \begin{equation*} + 0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0. + \end{equation*} + Demnach gilt für alle $n \ge 0$ + \begin{equation*} + \length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(N / N_n) + \length_A(P / \mfq^n P), + \end{equation*} + also + \begin{equation*} + P_\mfq(M) = P_\mfq((N_i)) + P_\mfq(P). + \end{equation*} + Nach \cref{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch} gilt + \begin{equation*} + P((N_i)) = P_\mfq(N) + R, + \end{equation*} + wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist. + Dies zeigt die Behauptung. + \end{proof} +\end{prop} + +\begin{nota} + \label{nota:samuel-polynom-koeffizient} + Ist $d$ eine ganze Zahl $\ge \deg(P_\mfq(M))$, dann bezeichnen wir mit $e_\mfq(M, d)$ die ganze Zahl $\Delta^d P_\mfq(M)$. + Es gilt: + \begin{align*} + e_\mfq(M, d) &= 0 \qquad \text{falls } d > \deg(P_\mfq(M)) \\ + e_\mfq(M, d) &\ge 1 \qquad \text{falls } d = \deg(P_\mfq(M)) + \end{align*} + Ist $d = \deg(P_\mfq(M))$, so gilt außerdem + \begin{equation} + P_\mfq(M, n) \sim e_\mfq(M, d) \frac{n^d}{d!} \qquad \text{für } n \to \infty. + \end{equation} +\end{nota} + +\begin{kor} + \label{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} + Ist + \begin{equation*} + 0 \to N \to M \to P \to 0 + \end{equation*} + eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt für $d \ge \deg(P_\mfq(M))$: + \begin{equation*} + e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + q_\mfq(P, d) + \end{equation*} + \begin{proof} + Dies folgt unmittelbar aus \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}. + \end{proof} +\end{kor} + +\begin{prop} + \label{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} + Sind $\mfq, \mfq'$ Ideale von $A$ mit $\length_A(M/\mfq M) < \infty$ und $\length_A(M/\mfq' M) < \infty$ und gilt zusätzlich + \begin{equation*} + \Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M) \cap V(\mfq'), + \end{equation*} + dann gilt + \begin{equation*} + \deg(P_\mfq(M)) = \deg(P_{\mfq'}(M)). + \end{equation*} + \begin{proof} + Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} können wir $\Ann(M) = 0$ annehmen, also gilt + \begin{equation*} + V(\mfq) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\} = V(\mfq'), + \end{equation*} + wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach \begin{equation*} @@ -331,28 +404,114 @@ wohldefiniert. \end{proof} \end{prop} -\begin{defn} - \label{defn:ideal-von-definition} - Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. - Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten: - \begin{enumerate}[(a)] - \item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$ - \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge - \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch - \end{enumerate} -\end{defn} +\section{Dimensionstheorie noetherscher lokaler Ringe} +\label{sec:dimensionstheorie-noetherscher-lokaler-ringe} -% Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. -% Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$ das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt. +Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. +Sei außerdem $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq \subset \mfm$ ein Ideal in $A$ mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$. -% \begin{lem} -% \label{lem:} -% \end{lem} +Wir bezeichnen mit $d(M)$ den Grad von $P_\mfq(M)$. +Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigenschaften, denn ist $\mfq'$ ein weiteres solches Polynom, dann gilt nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} +\begin{equation*} + \Supp(M) \cap V(\mfq') = \Supp(M / \mfq' M) = \lbrace \mfm \rbrace = \Supp(M / \mfq M) = \Supp(M) \cap V(\mfq). +\end{equation*} +Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$. -% \begin{thm} -% \label{thm:samuel-polynom-dimension} -% Es gilt -% \begin{equation*} -% \dim M = d(M) = s(M). -% \end{equation*} -% \end{thm} +Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist. + +Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. + +\begin{prop} + \label{prop:d-kleinergleich-s} + Es gilt $d(M) \le s(M)$. + \begin{proof} + Nach der Definition von $s(M)$ gibt es ein Ideal $\mfa \subset \mfm$ von $A$, das von $s(M)$ Elementen erzeugt wird, mit $\length_A(M / \mfa M) < \infty$. + Demnach gilt + \begin{equation*} + d(M) = \deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfa}(M) + \end{equation*} + und nach \cref{thm:samuel-polynom} folgt $d(M) \le s(M)$. + \end{proof} +\end{prop} + +\begin{prop} + \label{prop:dim-kleinergleich-d} + Es gilt $\dim(M) \le d(M)$. + \begin{proof} + Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über $d(M)$. + + Im Fall $d(M) = 0$ ist $P_\mfq(M)$ konstant. + Es gibt ein $k \in \N$, mit der Eingeschaft, dass $P_\mfq(M, n) = \length_A(M / \mfq^n M)$ für alle $n \ge k $ gilt, also gilt $\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(M / \mfq^{n + 1} M)$ für alle $n \ge k$. + Betrachte nun folgende kurze exakte Sequenz: + \begin{equation*} + 0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0 + \end{equation*} + Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, folgt also $\length_A(\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M) = 0$ und damit $\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M$, also $\mfq^n M \cong \mfq^{n + 1} M$. + Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt nach dem Nakayama Lemma $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$. + Sei nun $\mfp \in \Supp(M)$, dann gilt $\mfp \supset \Ann_A(M) \supset \mfq^k$. + Da $\mfp$ prim ist, folgt $\mfp \supset \mfp$ und damit $\mfp \in \Supp(M / \mfq M)$. + Nach Voraussetzung ist aber $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also, dass $\mfp$ maximal ist. + Demnach sind alle Primideale von $A/\Ann_A(M)$ maximal und folglich gilt $\dim(M) = \dim(A/\Ann_A(M)) = 0$. + + Sei nun also $d(M) = n \ge 1$ und die Behauptung bereits für $n - 1$ gezeigt. + Sei $\mfp_0 \in \Supp(M)$ minimal mit $\dim(M) = \dim(A/\mfp_0)$. + Dann gibt es einen Untermodul $N$ von $M$ mit $N \cong A/\mfp_0$ (siehe {}\cite[Chapter~I 7. Theorem~1]{serre2000local}). + Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} + gilt dann $d(N) \le d(M)$, wir können also $M = A / \mfp_0$ annehmen. + Angenommen es gilt $\dim(M) > d(M)$. + Dann gibt es eine echt aufsteigende Kette von Primidealen + \begin{equation*} + \mfp_0 \subsetneq \mfp_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mfp_k + \end{equation*} + mit $k > d(M)$. + Sei $x \in \mfp_1 \setminus \mfp_0$, dann gilt + \begin{equation*} + \dim(M / xM) \ge k - 1 > d(M) - 1. + \end{equation*} + Betrachte nun den Homomorphismus + \begin{equation*} + \cdot x \colon M \to M,\, m \mapsto xm. + \end{equation*} + Da $\mfp_0$ prim ist, ist $M = A / \mfp_0$ ein Integritätsring und damit ist $\cdot x$ injektiv. + Somit erhalten wir folgende kurze exakte Sequenz: + \begin{equation*} + 0 \to M \overset{\cdot x} \to M \to M / xM \to 0 + \end{equation*} + Nach %TODO: Refrenz + gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt + \begin{equation*} + d(M) - 1 < \dim(M / xM) \le d(M / xM) \le d(M) - 1. + \end{equation*} + Dies ist ein Widerspruch, also muss bereits $\dim(M) \le d(M)$ gelten. + \end{proof} +\end{prop} + +\begin{prop} + \label{prop:s-kleinergleich-dim} + Es gilt $s(M) \le \dim(M)$. + \begin{proof} + Wir benutzen Induktion über $ n = \dim(M)$ (nach \cref{prop:dim-kleinergleich-d} wissen wir, dass $\dim(M) < \infty$ gilt). + + Im Fall $n = 0$ ist gilt $\dim(A / \mfp) = 0$ für alle $\mfp \in \Supp(M)$. + Demnach sind alle $\mfp \in \Supp(M)$ maximale Ideale und damit ist nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} $\length_A(M) < \infty$. + Folglich gilt $s(M) = 0$. + + Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt. + Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Kapitel~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}). + Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und wir können nach dem Lemma zur Vermeidung von Primidealen $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}). + Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$. + Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt + \begin{equation*} + s(M) - 1 \le s(M / xM) \le \dim(M / xM) \le \dim(M) - 1. + \end{equation*} + Folglich gilt $s(M) \le \dim(M)$. + \end{proof} +\end{prop} + +\begin{thm} + \label{thm:dim-gleich-d-gleich-s} + Es gilt $\dim(M) = d(M) = s(M)$. + \begin{proof} + Dies folgt aus {}\cref{prop:d-kleinergleich-s,prop:dim-kleinergleich-d,prop:s-kleinergleich-dim}. + \end{proof} +\end{thm} diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index cb2e45a..ba4da1a 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -417,7 +417,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M \begin{equation*} {(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p. \end{equation*} - Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-gute Filtrierung von $K$. + Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung von $K$. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring. Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$. Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$. @@ -475,7 +475,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p}, \end{equation*} wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet. - Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II A: 5. Corrolary~4]{chin2012local}). + Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II A: 5. Corrolary~4]{serre2000local}). Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$. \item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen \begin{equation*} @@ -518,4 +518,12 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M gegeben. \end{enumerate} \end{proof} -\end{thm} \ No newline at end of file +\end{thm} + +\begin{kor} + \label{kor:euler-poincare-charakteristik-koszul-komplex-dminesion} + Es gilt $\chi(\bmx, M) > 0$, falls $\dim(M) = r$ und $\chi(\bmx, M) = 0$, falls $\dim(M) < r$. + \begin{proof} + Dies folgt direkt aus \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}. + \end{proof} +\end{kor} \ No newline at end of file