diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index c3ec932..cf03af6 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -43,7 +43,7 @@ \chapter*{Eigenständigkeitserklärung} -Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe. +Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und bisher keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt habe, und dass ich keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe. \vspace{1.5cm} \begin{tabular}{lp{2em}l} diff --git a/chapters/chapter1.tex b/chapters/chapter1.tex index c90d0da..15e0f75 100644 --- a/chapters/chapter1.tex +++ b/chapters/chapter1.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \chapter{Hilbert-Samuel-Polynome} \label{cha:hilbert-samuel-polynome} -In diesem Kapitel wollen wir Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen. +In diesem Kapitel wollen wir Samuels Begriff der Multiplizität eines Moduls bezüglich eines Ideals einführen. Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen. \section{Ganzzahlige Polynome} @@ -493,7 +493,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di Da $\mfp_0$ prim ist, ist $M = A / \mfp_0$ ein Integritätsring und damit ist $\cdot x$ injektiv. Somit erhalten wir folgende kurze exakte Sequenz: \begin{equation*} - 0 \to M \overset{\cdot x} \to M \to M / xM \to 0 + 0 \longrightarrow M \overset{\cdot x} \longrightarrow M \longrightarrow M / xM \longrightarrow 0 \end{equation*} Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt \begin{equation*} diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 18d18ea..3817dd0 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -218,12 +218,21 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \allowdisplaybreaks \begin{align*} & d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) \\ - =&\pplus d(e_y{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{((r - 1) - (p - 1))\text{-mal}}) \otimes e_{x_{i_p}} \\ - &+ {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes d(e_{x_{i_p}}) \\ - =& \pplus \left( \sum_{k=1}^{p - 1} {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\right) \otimes e_{x_{i_p}} \\ - & + {(-1)}^{p+1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes (x_{i_p} \cdot 1) \\ - =& \pplus \sum_{\substack{k=1\\k\ne p}}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\ - & + {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\ + =& + \begin{aligned}[t] + & d(e_y{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{((r - 1) - (p - 1))\text{-mal}}) \otimes e_{x_{i_p}} \\ + +& {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes d(e_{x_{i_p}}) + \end{aligned}\\ + =& + \begin{aligned}[t] + & \left( \sum_{k=1}^{p - 1} {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\right) \otimes e_{x_{i_p}} \\ + +& {(-1)}^{p+1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes (x_{i_p} \cdot 1) + \end{aligned}\\ + =& + \begin{aligned}[t] + & \sum_{\substack{k=1\\k\ne p}}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\ + +& {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} + \end{aligned}\\ =& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\qedhere \end{align*} \endgroup @@ -323,7 +332,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. ein Funktor. Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesondere flach. Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$. - Desweiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus + Des Weiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus \begin{equation*} \psi_0 \colon H_0(\bmx, \bullet) \to (A/\bmx) \otimes_A \bullet \end{equation*} @@ -419,7 +428,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Sind beide Voraussetzungen gegeben, so stimmen die beiden Definitionen überein, da die Länge additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist. \end{defn} -Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$. +Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring, $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ ein Ideal von $A$ und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$. Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für alle Primideale $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$. Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$. Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$. @@ -487,7 +496,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un \begin{equation*} 0 \to F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j - 1}K \to 0 \end{equation*} - Dies liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz: + Diese liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz: \begin{center} \begin{tikzcd}[column sep=tiny] \cdots \ar[r] & H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \ar[r] & H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \ar[r] \ar[d, phantom, ""{coordinate, name=Z}] diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index 99b9a0f..0727336 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -48,7 +48,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg \label{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge} Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$. Sei weiter $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$. - Dann ist $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$. + Dann gilt $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$. Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$. \begin{proof} @@ -87,7 +87,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg \begin{equation*} {(M_i / M_{i - 1})}_{\mfr_i} = {(A / \mfr_i)}_{\mfr_i} = \Quot(A / \mfr_i) \neq 0, \end{equation*} - also folgt für alle $j \ge i$ induktiv ${M_j}_{\mfr_i} \neq 0$ und insbesondere $M_{\mfr_i} \neq 0$, also $\mfr_i \in \Supp(M)$. + also folgt für alle $j \ge i$ induktiv ${M_j}_{\mfr_i} \neq 0$ und insbesondere $M_{\mfr_i} \neq 0$ und demnach $\mfr_i \in \Supp(M)$. Ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$, so haben wir weiter oben bereits gesehen, dass $\mfr_i \subset \mfq$ gilt. Aber wegen $\mfr_i \in \Supp(M)$ und weil $\mfq$ das einzige Primideal in $\Supp(M)$ ist, das in $\mfq$ enthalten ist, folgt bereits $\mfr_i = \mfq$. Folglich gilt für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ mit ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$ bereits ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq = \Quot(A / \mfq)$ und insbesondere sind sie einfache $A_\mfq$-Moduln. @@ -281,7 +281,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: Betrachte nun $x \in \mfp \cap B' \otimes_k B''$. Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, ist $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$. Demnach gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$. - Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei. + Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $(B' \otimes_k B'')$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei. Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$. Das \emph{Going Up Theorem} liefert uns nun \begin{align*} @@ -359,12 +359,12 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata: \begin{equation*} \dim(D / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp''). \end{equation*} - Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfq_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer. + Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfQ_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer. Für Primideale $\mfq$ von $D/\mfQ_0$ gilt also \begin{equation*} \height(\mfq) + \dim((D / \mfQ_0) / \mfq) = \dim(D / \mfQ_0) \end{equation*} - (vergleiche {}\cite[Chapter~III, Part~D, Proposition~15]{serre2000local}). + (siehe {}\cite[Chapter~III, Part~D, Proposition~15]{serre2000local}). Insbesondere gilt \begin{equation*} \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim((D / \mfQ_0)/(\mfQ / \mfQ_0)) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim(D / \mfQ). @@ -387,7 +387,7 @@ Der obige Beweis basiert auf dem Ersetzen des Tripels $(A; \mfp', \mfp'')$ durch Ist nämlich $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sind $U$ und $V$ algebraische Mengen in $\A_k^n$ und ist $\Delta$ die Diagonale in $\A^n_k \times_{\Spec(k)} \A^n_k \cong \A^{2n}_k$, dann gilt nach Definition $\Delta \cong \A^n_k$ und dieser Isomorphismus identifiziert $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$ mit $U \cap V$. -Wir wollen diese Aussage in algebraische Sprache zu übersetzen, also betrachten wir $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $U = V(\mfp)$, $V = V(\mfq)$ und $\Delta = \Spec((A \otimes_k A) / \mfd)$, wobei $\mfd$ der Kern des surjektiven Homomorphismus +Wir wollen diese Aussage in algebraische Sprache übersetzen, also betrachten wir $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $U = V(\mfp)$, $V = V(\mfq)$ und $\Delta = \Spec((A \otimes_k A) / \mfd)$, wobei $\mfd$ der Kern des surjektiven Homomorphismus \begin{align*} \phi \colon A \otimes_k A &\to A \\ a \otimes b &\mapsto ab @@ -410,7 +410,7 @@ und \begin{equation} A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd. \end{equation} -Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Ideal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln. +Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$ und $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Ideal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln. Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur. Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen \begin{equation} @@ -420,7 +420,7 @@ Ist also \begin{equation*} \cdots \to L_1 \to L_0 \to A \to 0 \end{equation*} -eine $B$-projektive Auflösung, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen +eine $B$-projektive Auflösung von $A$, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen \begin{equation*} \Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{\bullet}). \end{equation*} @@ -627,7 +627,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an: Sind andererseits $s, t \in \N$ mit $s + t = 2p$, so gilt $s \ge p$ oder $t \ge p$ und damit folgt $\mfm^s \otimes_k \mfn^t \subset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p$, also gilt \begin{equation*} - \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2n} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}. + \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2p} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}. \end{equation*} Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung ${((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))}_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt \begin{equation*} @@ -646,11 +646,11 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an: (M \hatotimes_k N) / \mfr (M \hatotimes_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N). \end{equation*} - Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$. + Weiter gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$. Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \hatotimes_k B)$-Modul. Folglich sind $\mfr$ und $M \hatotimes_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}). - Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \hatotimes_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}). + Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \hatotimes_k B$ ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}). Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ in $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$. Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$ für alle $a \in A \hatotimes_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \hatotimes_k B)$. @@ -670,10 +670,10 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an: genügt es die Behauptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen. Ist $i > n$, so gilt für alle $p,q \in \N$, dass $\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) = 0$, also auch $\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = 0$. Dann liefert uns die kurze exakte Sequenz - \begin{equation*} - \label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1}\tag{$\ast$} + \begin{equation} + \label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1} 0 \longrightarrow M \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} M \to M / a_1 M \to 0 - \end{equation*} + \end{equation} wegen \cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} die exakte Sequenz \begin{equation*} 0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_n(M, N). @@ -759,7 +759,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_ \begin{equation*} \gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \hatotimes_k N). \end{equation*} - Die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal und es folgt + Die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfm)$-adische Filtrierung sind offenbar kofinal und es folgt \begin{equation*} \gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N). \end{equation*} @@ -808,7 +808,7 @@ Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erha \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N) \end{equation*} -Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so auch $\Tor^A_i(M, N)$. +Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so ist es auch $\Tor^A_i(M, N)$. Außerdem ist auch \begin{equation*} (M \hatotimes_k N) / \mfd (M \hatotimes_k N) \cong M \hatotimes_k N \otimes_C C / \mfd \cong M \otimes_A N @@ -817,7 +817,7 @@ von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel \begin{equation*} \chi(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \end{equation*} -gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \hatotimes_k N, n)$ des Ideals $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \hatotimes_k N$. +gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \hatotimes_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \hatotimes_k N$ bezüglich des Ideals $\mfd$. Folglich gilt: \begin{enumerate}[label = (\alph*)] \item $\chi(M, N) \ge 0$. @@ -904,7 +904,7 @@ Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, da \end{enumerate} \end{thm} -Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} zeigen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \emph{Schnittmultiplizität} erfüllt. +Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} beweisen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \emph{Schnittmultiplizität} erfüllt. \section{Zykel auf einer nicht singulären affinen Varietät} \label{sec:zykel-auf-einer-nicht-singulaeren-affinen-varietaet} @@ -920,7 +920,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j Seien $a, b \in \N$, $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$ zwei Zykel die sich eigentlich schneiden, das heißt für jedes minimale Primideal $\mfr$ in $\Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)$ gilt $\dim(A/\mfr) = c = a + b - \dim(X)$. Dann definieren wir das \textbf{Schnittprodukt} von $\alpha$ und $\beta$ durch \begin{equation*} - \alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \left(\sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr \in Z_c(A)\right). + \alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \left(\sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr\right) \in Z_c(A). \end{equation*} \end{defn} @@ -937,7 +937,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \end{equation*} überein. \begin{proof} - Sei $W$ eine irreduzible Komponente von $X$ der Dimension $c$, die zu dem Primideal $\mfr$ von $A$ korrespondiert. + Sei $W$ eine irreduzible Komponente von $X$ der Dimension $c$, die dem Primideal $\mfr$ von $A$ entspricht. Nach Definition ist der Koeffizient des Primideals $\mfr$ im Zykel $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch \begin{equation*} \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_{A_\mfr}({\Tor^A_i(M, N)}_\mfr) = \chi^{A_\mfr}(M_\mfr, N_\mfr) @@ -1041,7 +1041,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $ \end{equation} zeigen. Wir können wieder annehmen, dass $z_1$ und $z_2$ positiv sind. - Sei $B = A \otimes_k A$ der Koordinatenring von $X \times_{\Spec(k)} X$ und seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren. + Sei $B = A \otimes_k A$ der Koordinatenring von $X \times_{\Spec(k)} X$ und seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die mit den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren. Dann gilt nach \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall} \begin{equation*} \Tor^A_i(M_1, M_2) = \Tor^B_i(M_1 \otimes_k M_2, A). @@ -1236,7 +1236,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un wobei die Ungleichheit genau dann echt ist, wenn $\chi^{\overline{A}}(M, N / \pi N) = 0$. Wegen $\dim_A(M) = \dim_{\overline{A}}(M)$ und $\dim_{\overline{A}}(N / \pi N) = \dim_A(N / \pi N) = \dim_A(N) - 1$ folgt die Behauptung in diesem Fall. \item[$\pi$ annulliert $M$ und $N$.] Wie im vorherigen Fall betrachten wir $M$ als $\overline{A}$-Modul. - Die lange exakte Sequenz, die wir aus der Basiswechsel Spektralsequenz erhalten haben, liefert uns nun + Die lange exakte Sequenz, die wir aus der Basiswechsel-Spektralsequenz erhalten haben, liefert uns nun \begin{equation*} \chi^A(M, N) = \chi^{\overline{A}}(M, N / \pi N) - \chi^{\overline{A}}(M, \prescript{}{\pi}{N}). \end{equation*} diff --git a/chapters/einleitung.tex b/chapters/einleitung.tex index d7b6761..e0c88f9 100644 --- a/chapters/einleitung.tex +++ b/chapters/einleitung.tex @@ -7,13 +7,13 @@ Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \emph{$\ITor$-Formel} deswegen für d Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings bleiben etliche Resultate unerwähnt, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten. Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt. -\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$. +\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuels Begriff der Multiplizität eines eines endlich erzeugten Moduls $M$ bezüglich Ideals $\mfq$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$. Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet. Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Moduls gerade der Dimension des Moduls entspricht. Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein. Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann. -Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls~$M$. Dabei muss die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen. +Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des über dem noetherschen lokalen Ring $A$ endlich erzeugten Moduls $M$ bezüglich des Ideals $\mfq$ von $A$. Dabei muss die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllt sein. In diesem Fall gilt dann \begin{equation} \label{eq:einleitung-samuel-koszul}