diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib index ea7967d..36f9249 100644 --- a/bibliography.bib +++ b/bibliography.bib @@ -1,6 +1,6 @@ @book{chin2012local, title={Local Algebra}, - author={Chin, C.W. and Serre, J.P.}, + author={Chin, CheeWhye and Serre, Jean-Pierre}, isbn={9783662042038}, lccn={00032970}, series={Springer Monographs in Mathematics}, @@ -8,3 +8,11 @@ year={2012}, publisher={Springer Berlin Heidelberg} } + +@online{ash2003acourse, + author = {Ash, Robert B.}, + title = {A Course In Commutative Algebra}, + year = 2003, + url = {http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg.html}, + urldate = {2017-08-16} +} \ No newline at end of file diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 5c102ed..8c51e76 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -202,19 +202,30 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. \section{Das Samuel-Polynom} \label{sec:das-samuel-polynom} -Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. +Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. + +\begin{lem} + \label{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} + Es gilt $\length_A(M) < \infty$ genau dann, wenn alle Elemente in $\Supp(M)$ maximale Ideale sind. + \begin{proof} + {}\cite[Proposition~1.6.9]{ash2003acourse}. + \end{proof} +\end{lem} + +Sei nun $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an: \begin{equation} \label{eq:laenge-kleiner-unendlich} \length_{A}(M/\mfq M) < \infty. \end{equation} -Dies ist äquivalent zu: +Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} äquivalent zu: \begin{equation} \label{eq:elemente-in-supp} \text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.} \end{equation} + Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt \begin{align*} &M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\ @@ -230,7 +241,7 @@ Demnach ist die Abbildung wohldefiniert. \begin{thm}[Samuel] - \label{thm:samuel-polynomial} + \label{thm:samuel-polynom} Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$. \begin{proof} Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: @@ -272,7 +283,7 @@ wohldefiniert. \label{bem:samuel-polynom} Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wird im Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. - Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt + Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} zeigt \begin{equation} \label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel} \Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)), @@ -308,7 +319,7 @@ wohldefiniert. \label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q} Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig. \begin{proof} - Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. + Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index 576b9da..14f2a34 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -372,4 +372,28 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \section{Die Filtrierung eines Koszul-Komplexes} \label{sec:die-filtrierung-eines-koszu-komplexes} -Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sein im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$. \ No newline at end of file +Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sein im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$. +Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$. +Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$. +Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$. + +\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik] + \label{defn:euler-poincare-charakteristik} + Wir definieren die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} zu $(\bmx, M)$ durch + \begin{equation*} + \chi(\bmx, M) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \length_A(H_p(\bmx, M)). + \end{equation*} +\end{defn} + +Das Samuel-Polynom $P_{\bmx}(M)$ ist nach \cref{thm:samuel-polynom} vom Grad $\le r$ und es gilt +\begin{equation*} + P_{\bmx}(M, r) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n), +\end{equation*} +wobei $Q$ ein Polynom in $\in \Q[X]$ vom Grad $< r$ ist und wir mit $e_{\bmx}(M, r)$ das konstante Polynom $\Delta^r P_{\bmx}(M)$ bezeichnen. + +Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M, r)$ miteinander vergleichen. + +\begin{thm} + \label{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} + Es gilt $\chi(\bmx, M) = e_{\bmx}(M, r)$. +\end{thm} \ No newline at end of file