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@@ -18,6 +18,7 @@
 	\input{theorem_environments}
 	\input{custom_commands}
 	
+	\allowdisplaybreaks{}
 \begin{document}
 
 \begin{titlepage}
@@ -66,6 +67,30 @@ Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewiss
 	\end{align*}
 \end{defn}
 
+\begin{lem}
+	\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
+\end{lem}
+	Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
+	\begin{equation*}
+		\Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+	\end{equation*}
+	\begin{proof}
+		Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
+		\begin{equation*}
+			\Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
+		\end{equation*}
+		Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
+		\begin{align*}
+			\Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
+			&= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1)  - p)\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
+			&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
+			&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
+		\end{align*}
+	\end{proof}
 \begin{lem}
 	\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
 	Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
@@ -129,7 +154,7 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
 
 \section{Das Samuel-Polynom}
 \label{sec:das-samuel-polynom}
-Sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Wir nehmen zusätlich Folgendes an:
+Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Wir nehmen zusätlich Folgendes an:
 \begin{equation}
 	\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
 	\length_A(M/\mfq M) < \infty.
@@ -139,9 +164,8 @@ Dies ist äquivalent zu:
 	\label{eq:elemente-in-supp}
 	\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
 \end{equation}
-Der Fall, der uns im Folgenden am meisten interessiert, ist, dass $A$ lokal mit maximalem Ideal $\mfm$ ist und $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$ für ein $s > 0$.
 
-Sei $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
+Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
 \begin{align*}
 	&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
 	&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
@@ -210,12 +234,44 @@ wohldefiniert.
 	\end{proof}
 \end{lem}
 
-Wir wenden uns nun hauptsächlich dem Polynom $P_\mfq(M)$ und seinem führendem Term zu.
+Im Folgenden sei
 
 \begin{prop}
-	\label{}
+	\label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
+	Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.
+	\begin{proof}
+		Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach
+		\begin{equation*}
+			P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
+		\end{equation*}
+		und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
+	\end{proof}
 \end{prop}
 
+\begin{defn}
+	\label{defn:ideal-von-definition}
+	Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$
+		\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge
+		\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch
+	\end{enumerate}
+\end{defn}
+
+Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt.
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:}
+\end{lem}
+
+\begin{thm}
+	\label{thm:samuel-polynom-dimension}
+	Es gilt
+	\begin{equation*}
+		\dim M = d(M) = s(M).
+	\end{equation*}
+\end{thm}
+
 \printbibliography
 
 \chapter*{Eigenständigkeitserklärung}