From fab96336370d157963bf2f9620f728294cda0c69 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Johannes Loher Date: Sat, 5 Aug 2017 20:34:39 +0200 Subject: [PATCH] ein paar aktualisierungen --- Ausarbeitung.tex | 66 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 61 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/Ausarbeitung.tex b/Ausarbeitung.tex index 2b9b8bd..d9b7411 100644 --- a/Ausarbeitung.tex +++ b/Ausarbeitung.tex @@ -18,6 +18,7 @@ \input{theorem_environments} \input{custom_commands} + \allowdisplaybreaks{} \begin{document} \begin{titlepage} @@ -66,6 +67,30 @@ Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewiss \end{align*} \end{defn} +\begin{lem} + \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} +\end{lem} + Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt + \begin{equation*} + \Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). + \end{equation*} + \begin{proof} + Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt + \begin{equation*} + \Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p). + \end{equation*} + Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt: + \begin{align*} + \Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\ + &= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\ + &= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\ + &= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p) + \end{align*} + \end{proof} \begin{lem} \label{lem:kritreium-fuer-polynomartig} Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent: @@ -129,7 +154,7 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul. \section{Das Samuel-Polynom} \label{sec:das-samuel-polynom} -Sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Wir nehmen zusätlich Folgendes an: +Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Wir nehmen zusätlich Folgendes an: \begin{equation} \label{eq:laenge-kleiner-unendlich} \length_A(M/\mfq M) < \infty. @@ -139,9 +164,8 @@ Dies ist äquivalent zu: \label{eq:elemente-in-supp} \text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.} \end{equation} -Der Fall, der uns im Folgenden am meisten interessiert, ist, dass $A$ lokal mit maximalem Ideal $\mfm$ ist und $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$ für ein $s > 0$. -Sei $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt +Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt \begin{align*} &M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\ &M_i \supset \mfq M_{i-1},\\ @@ -210,12 +234,44 @@ wohldefiniert. \end{proof} \end{lem} -Wir wenden uns nun hauptsächlich dem Polynom $P_\mfq(M)$ und seinem führendem Term zu. +Im Folgenden sei \begin{prop} - \label{} + \label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q} + Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig. + \begin{proof} + Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach + \begin{equation*} + P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n) + \end{equation*} + und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$. + \end{proof} \end{prop} +\begin{defn} + \label{defn:ideal-von-definition} + Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten: + \begin{enumerate}[(a)] + \item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$ + \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge + \item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch + \end{enumerate} +\end{defn} + +Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt. + +\begin{lem} + \label{lem:} +\end{lem} + +\begin{thm} + \label{thm:samuel-polynom-dimension} + Es gilt + \begin{equation*} + \dim M = d(M) = s(M). + \end{equation*} +\end{thm} + \printbibliography \chapter*{Eigenständigkeitserklärung}