diff --git a/chapters/chapter2.tex b/chapters/chapter2.tex index 42cb5ca..48d3cdb 100644 --- a/chapters/chapter2.tex +++ b/chapters/chapter2.tex @@ -1,6 +1,67 @@ \chapter{Hilbert-Samuel-Polynome} \label{cha:hilbert-samuel-polynome} +\section{Ganzzahlige Polynome} +\label{sec:ganzzahlige-polynome} + +\begin{defn}[Binomialpolynom] + \label{defn:binomialpolynom} + Für $k \in \N$ definieren wir das $k$-te \textbf{Binomialpolynom} durch + \begin{equation*} + Q_k(X) = \binom{X}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i = 1}^k (X - k + i) \in \Q[X]. + \end{equation*} + Offensichtlich bilden die Binomialpolynome eine $\Q$-Basis von $\Q[X]$. +\end{defn} + +\begin{defn}[Differenzenoperator] + \label{defn:differenzenoperator} + Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ induktiv, das heißt aus $n \in A$ folgt $n + 1 \in A$. + Dann definieren wir den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch: + \begin{align*} + \Delta\colon \map(A,Z) &\to \map(A,Z)\\ + f &\mapsto (\Delta f \colon A \to Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n)) + \end{align*} + Offensichtlich ist $\Delta$ ein Homomorphismus abelscher Gruppen. +\end{defn} + +\begin{lem} + \label{lem:differenzenoperator-binomialpolynom} + Für $k \in \N$ mit $k > 0$ gilt + \begin{equation*} + \Delta Q_k = Q_{k - 1}. + \end{equation*} + \begin{proof} + Es gilt + \begin{equation*} + \Delta Q_k(n) = Q_k(n + 1) - Q_k(n) = \binom{n + 1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k - 1} = Q_{k - 1}(n). + \end{equation*} + \end{proof} +\end{lem} + +\begin{deflem}[Ganzzahliges Polynom] + \label{deflem:ganzzahliges-polynom} + Ein Polynom $f \in \Q[X]$ heißt \textbf{ganzzahlig}, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten: + \begin{enumerate}[(a)] + \item $f$ ist eine $\Z$-Linearkombination von Binomialpolynomen $Q_k$. + \item Für alle $z \in \Z$ gilt $f(z) \in \Z$. + \item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \ge z_0$. + \item $\Delta f$ besitzt die Eigenschaft aus (a) und es gibt mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$. + \end{enumerate} + Ist $f$ solch ein Polynom, dann bezeichnen wir mit $e_k(f)$ den Koeffizienten von $Q_k$ in der Darstellung $f = \sum_{n \in \N} e_k Q_k$. + \begin{proof}[Beweis der Äquivalenz] + Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar. + Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$. + Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und $\Delta f$ (a) erfüllt, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$. + Das es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$. + Also sind (a) und (d) äquivalent. + Um die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) zu zeigen, nutzen wir Induktion über den Grad von $f$. + Ist $f$ vom Grad $0$, so ist $f$ konstant und wegen (c) gilt dann $f \in \Z$ und damit (a). + Sei also nun $f$ vom Grad $d > 0$ und die Behauptung wahr für Polynome vom Grad $< d$. + Offensichtlich gilt $\deg \Delta f < \deg f$ und auch $\Delta f$ erfüllt (c). + Also erfüllt $\Delta f$ (a) und damit erfüllt $f$ (d). + \end{proof} +\end{deflem} + \section{Polynomartige Funktionen} \label{sec:polynomartige-funktionen} @@ -14,15 +75,6 @@ Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewiss Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$. \end{defn} -\begin{defn} - \label{defn:differenzenoperator} - Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch: - \begin{align*} - \Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\ - f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n)) - \end{align*} -\end{defn} - \begin{lem} \label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} \end{lem} diff --git a/chapters/chapter3.tex b/chapters/chapter3.tex index 18fa08c..2c066cc 100644 --- a/chapters/chapter3.tex +++ b/chapters/chapter3.tex @@ -15,9 +15,6 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$. Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H^K_i(x, M)$ und, wenn klar ist um welchen Komplex es geht, auch mit $H_i(x, M)$. -\end{defn} - -\begin{lem} Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt: \begin{align*} {K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\ @@ -28,22 +25,17 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \begin{equation*} d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0 \end{equation*} - ist durch die Formel + ist durch die folgende Formel gegeben: \begin{equation*} d(e_x \otimes m) = xm \qquad m \in M \end{equation*} - gegeben. - Die Homologie-Moduln von $K(x,M)$ sind \begin{align*} H_i(x,M) &= 0 \qquad \text{falls } i \ne 0,1, \\ H_0(x,M) &= M/xM, \\ H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M). \end{align*} - \begin{proof} - Das ist klar nach der Definition von $K(x,M)$. - \end{proof} -\end{lem} +\end{defn} \begin{defn} \label{defn:koszul-komplex} @@ -128,4 +120,22 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring. \end{align*} \end{proof} \end{lem} - Ist $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$. +\begin{defn}[Koszul-Komplex] + \label{defn:koszul-komplex-modul} + Ist $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$. Wegen \cref{lem:koszul-komplex-berechnung} gilt + \begin{equation*} + K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right) + \end{equation*} + und die Randabbildung $K_p(\bmx, M) \to K_{p - 1}(\bmx, M)$ ist durch folgende Formel gegeben: + \begin{equation} + \label{eq:koszul-komplex-modul-randabbildung} + d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes m) = \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes m + \end{equation} + Wir bezeichnen den $p$-ten Homologiemodul von $K(\bmx, M)$ mit $H_p(\bmx, M)$. + Wir bezeichnen mit $\bmx$ auch das Ideal $(x_1, \ldots,x_r)$. + Offensichtlich gilt: + \begin{align*} + H_0(\bmx, M) &= M/\left(\bigoplus_{i = 1}^r x_i M \right) = M/\bmx M \\ + H_r(\bmx, M) &= \lbrace m \in M \mid x_i m = 0 \text{ für alle } i \rbrace + \end{align*} +\end{defn} diff --git a/theorem_environments.tex b/theorem_environments.tex index ab5e520..0b6666d 100644 --- a/theorem_environments.tex +++ b/theorem_environments.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} \newtheorem{lem}[thm]{Lemma} \newtheorem{kor}[thm]{Korrolar} -\newtheorem{propdef}[thm]{Proposition/Definition} +\newtheorem{deflem}[thm]{Definition/Lemma} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defn}[thm]{Definition} \newtheorem{nota}[thm]{Notation} @@ -11,7 +11,7 @@ \crefname{thm}{Theorem}{Theoreme} \crefname{prop}{Proposition}{Propositionen} \crefname{kor}{Korrolar}{Korrolare} -\crefname{propdef}{Proposition/Definition}{Propositionen/Definitionen} +\crefname{deflem}{Definition/Lemma}{Definitionen/Lemmata} \crefname{lem}{Lemma}{Lemmata} \crefname{defn}{Definition}{Definitionen} \crefname{nota}{Notation}{Notationen}