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\begin{document}

\begin{titlepage}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm]    
		\textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm]
		\textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm]
		{ \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm]
		{\LARGE Masterarbeit}\\[1cm]
		{\Large von}\\[0.2cm]
		{\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm]
		{\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm]
		\begin{tabular}{lr}
			\large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
			\large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz
		\end{tabular}
		\vfill
		{\large \today}
	\end{center}
\end{titlepage}

\tableofcontents

\chapter{Einleitung}
\label{cha:einleitung}

\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
\label{cha:hilbert-samuel-polynome}

\section{Polynomartige Funktionen}
\label{sec:polynomartige-funktionen}

Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$.

\begin{defn}
	\label{defn:polynomartige-funktionen}
	Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
\end{defn}

\begin{defn}
	\label{defn:differenzenoperator}
	Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
	\begin{align*}
		\Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\
		f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
	\end{align*}
\end{defn}

\begin{lem}
	\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
\end{lem}
	Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
	\begin{equation*}
		\Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
	\end{equation*}
	\begin{proof}
		Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
		\begin{equation*}
			\Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
		\end{equation*}
		Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
		\begin{align*}
			\Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
			&= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1)  - p)\\
			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
			&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
			&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
			&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
		\end{align*}
	\end{proof}
\begin{lem}
	\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
	Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$
		\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$
		\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		{}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen
	\end{proof}
\end{lem}

\section{Das Hilbert-Polynom}
\label{sec:das-hilbert-polynom}

Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item $H_0$ ist artinsch.
	\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.  
\end{enumerate}
Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.

Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt
\begin{align*}
	H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0,
\end{align*}
also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
\begin{align*}
	\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
	n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
\end{align*}
Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.

\begin{thm}[Hilbert]
	\label{thm:hilbert-polynomial}
	Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
	\begin{proof}
		Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
		
		Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
		
		Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$.
		
		Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
		\begin{equation*}
			0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
		\end{equation*}
		Es folgt
		\begin{equation*}
			\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
		\end{equation*}
		Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
	\end{proof}
\end{thm}

\begin{nota}
	\label{nota:hilbert-polynomial}
	Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
\end{nota}

\section{Das Samuel-Polynom}
\label{sec:das-samuel-polynom}
Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Wir nehmen zusätlich Folgendes an:
\begin{equation}
	\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
	\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
\end{equation}
Dies ist äquivalent zu:
\begin{equation}
	\label{eq:elemente-in-supp}
	\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
\end{equation}

Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
\begin{align*}
	&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
	&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
	&M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
\end{align*}
Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
\begin{align*}
	f_M \colon \N &\to \N \\
	n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
\end{align*}
wohldefiniert.

\begin{thm}[Samuel]
	\label{thm:samuel-polynomial}
	Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig.
	\begin{proof}
		Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
		
		Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Sei \begin{equation*}
			H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
		\end{equation*}
		der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring. Dann ist
		\begin{equation*}
			\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
		\end{equation*}
		ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
		\begin{equation*}
			M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
		\end{equation*}
		erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul.
		Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig. Es gilt
		\begin{align*}
			\Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
			 &= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
			 &= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\
			 &= \chi(\gr(M), n),
		\end{align*}
		also ist $\Delta f_M$ polynomartig und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} auch $f_M$.
	\end{proof}
\end{thm}

\begin{bem}
	\label{bem:samuel-polynom}
	Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
	\begin{equation}
		\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
	\end{equation}
	wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
	
	Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
\end{bem}

\begin{lem}
	\label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch}
	Es gilt \begin{equation*}
		P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
	\end{equation*}
	wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist.
	\begin{proof}
		Sei  $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann 
		\begin{equation*}
			\mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
		\end{equation*}
		also gilt für große $n$:
		\begin{equation*}
			P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
		\end{equation*}
		Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
	\end{proof}
\end{lem}

\begin{prop}
	\label{prop:samuel-polynom-grad-abschaetzung}
	Es sei $\mfa = \Ann(M)$, $B = A / \mfa$ und $\mfp$ das Ideal $(\mfa + \mfq) / \mfa$ in $B$. Wir nehmen weiter an, dass $\mfp$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt wird. Dann gilt:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item $\deg P_\mfq(M) \le r$
		\item $\Delta^r P_\mfq(M) \le \length_A(M/\mfq M)$
		\item Es gilt $\Delta^r P_\mfq(M) = \length_A(M/\mfq M)$ genau dann, wenn die natürliche Abbildung
		\begin{equation*}
			\Phi\colon (M/\mfq M)[X_1,\ldots,X_r] \to \gr(M)
		\end{equation*} %TODO: Wie ist \Phi definiert?
		ein Isomorphismus ist.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} dürfen wir $\mfa = 0$ und damit $B = A$ und $\mfp = \mfq$ annehmen. Außerdem ist $\gr_\mfq(A)$ dann ein Quotient von $(A/\mfq)[X_1,\ldots,X_r]$.
	\end{proof}
\end{prop}

\begin{prop}
	\label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
	Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.
	\begin{proof}
		Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach
		\begin{equation*}
			P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
		\end{equation*}
		und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
	\end{proof}
\end{prop}

\begin{defn}
	\label{defn:ideal-von-definition}
	Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$
		\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge
		\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch
	\end{enumerate}
\end{defn}

Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt.

\begin{lem}
	\label{lem:}
\end{lem}

\begin{thm}
	\label{thm:samuel-polynom-dimension}
	Es gilt
	\begin{equation*}
		\dim M = d(M) = s(M).
	\end{equation*}
\end{thm}

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\chapter*{Eigenständigkeitserklärung}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung}
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und
keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.

\vspace{1.5cm}
\begin{tabular}{lp{2em}l}
	\hspace{6cm} & & \hspace{6cm} \\\cline{1-1}\cline{3-3}
	Ort, Datum & & Unterschrift
\end{tabular}

\end{document}