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3
Ausarbeitung.tex
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@ -33,8 +33,7 @@
\chapter*{Eigenständigkeitserklärung}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung}
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und
keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
\vspace{1.5cm}
\begin{tabular}{lp{2em}l}

86
chapters/chapter2.tex
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@ -8,7 +8,10 @@ Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewiss
\begin{defn}
\label{defn:polynomartige-funktionen}
Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt.
Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
\end{defn}
\begin{defn}
@ -65,13 +68,18 @@ Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folge
\item $H_0$ ist artinsch.
\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
\end{enumerate}
Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist.
Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt
Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul.
Es gilt
\begin{align*}
H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0,
\end{align*}
also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch.
Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
\begin{align*}
\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
@ -86,9 +94,12 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$.
Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge.
Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$.
Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde.
Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$.
Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
\begin{equation*}
0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
\end{equation*}
@ -96,18 +107,24 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
\begin{equation*}
\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
\end{equation*}
Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten.
Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$.
Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
\end{proof}
\end{thm}
\begin{nota}
\label{nota:hilbert-polynomial}
Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet.
Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$.
Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
\end{nota}
\section{Das Samuel-Polynom}
\label{sec:das-samuel-polynom}
Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$.
Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
\begin{equation}
\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
@ -124,7 +141,8 @@ Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
&M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
\end{align*}
Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$.
Demnach ist die Abbildung
\begin{align*}
f_M \colon \N &\to \N \\
n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
@ -135,22 +153,31 @@ wohldefiniert.
\label{thm:samuel-polynomial}
Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
\begin{proof}
Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen:
Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$.
Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch.
Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
\begin{equation*}
H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
\end{equation*}
wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Weiter ist
wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
Weiter ist
\begin{equation*}
\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
\end{equation*}
ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
ein graduierte $H$-Modul.
Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
\begin{equation*}
M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
\end{equation*}
erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul.
Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt
erzeugt.
Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch.
Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul.
Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul.
Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
Es gilt
\begin{align*}
\Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
&= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
@ -163,14 +190,17 @@ wohldefiniert.
\begin{bem}
\label{bem:samuel-polynom}
Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wird im Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet.
Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$.
Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
\begin{equation}
\label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
\end{equation}
wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$.
Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
\end{bem}
\begin{lem}
@ -180,7 +210,8 @@ wohldefiniert.
\end{equation*}
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist.
\begin{proof}
Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann
Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$.
Für alle $n \ge 0$ gilt dann
\begin{equation*}
\mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
\end{equation*}
@ -188,7 +219,8 @@ wohldefiniert.
\begin{equation*}
P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
\end{equation*}
Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben.
Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
\end{proof}
\end{lem}
@ -196,17 +228,22 @@ wohldefiniert.
\label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.
\begin{proof}
Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach
Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind.
Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$.
Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$.
Für große $n$ gilt demnach
\begin{equation*}
P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
\end{equation*}
und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$.
Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
\end{proof}
\end{prop}
\begin{defn}
\label{defn:ideal-von-definition}
Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$
\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge
@ -214,7 +251,8 @@ wohldefiniert.
\end{enumerate}
\end{defn}
% Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt.
% Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul.
% Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$ das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt.
% \begin{lem}
% \label{lem:}

28
chapters/chapter3.tex
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@ -13,7 +13,8 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\end{align*}
Aus Notationsgründen bezeichnen wir $1\in K_1(x)$ euch mit $e_x$.
Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$. Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H^K_i(x, M)$ und, wenn klar ist um welchen Komplex es geht, auch mit $H_i(x, M)$.
Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$.
Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H^K_i(x, M)$ und, wenn klar ist um welchen Komplex es geht, auch mit $H_i(x, M)$.
\end{defn}
\begin{lem}
@ -46,7 +47,8 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\begin{defn}
\label{defn:koszul-komplex}
Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. Mit $K(\bmx)$ oder auch mit $K(x_1,\ldots,x_r)$ bezeichnen wir folgenden Tensorprodukt -Komplex:
Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
Mit $K(\bmx)$ oder auch mit $K(x_1,\ldots,x_r)$ bezeichnen wir folgenden Tensorprodukt-Komplex:
\begin{equation*}
K(\bmx) = K(x_1)\otimes_A K(x_2) \otimes_A \cdots \otimes_A K(x_r)
\end{equation*}
@ -54,11 +56,13 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\begin{lem}
\label{lem:koszul-komplex-berechnung}
Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. Dann ist $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form
Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
Dann ist $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form
\begin{equation*}
e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \qquad 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le r
\end{equation*}
erzeugt wird. Insbesondere gilt also
erzeugt wird.
Insbesondere gilt also
\begin{equation*}
K_p(\bmx) \cong \bigwedge\nolimits^p(A^r).
\end{equation*}
@ -73,7 +77,9 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\begin{equation*}
K_p(\bmx) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
\end{equation*}
Dies beweisen wir durch Induktion über $r$. Im Fall $r = 1$ gilt $I_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $I_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $I_p^1 = \emptyset$. Damit folgt:
Dies beweisen wir durch Induktion über $r$.
Im Fall $r = 1$ gilt $I_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $I_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $I_p^1 = \emptyset$.
Damit folgt:
\begin{align*}
K_0(\bmx) &= K_0(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_0^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
K_1(\bmx) &= K_1(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_1^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
@ -85,7 +91,9 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\end{equation*}
In den anderen Graden ist die Randabbildung nach \cref{defn:koszul-komplex-einfach} immer $0$ und auch die Formel aus \cref{eq:koszul-komplex-randabbildung} ergibt $0$.
Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung für alle $s\in \N$ mit $0 \le s < r$ bereits bewiesen. Sei außerdem $\bmx' = (x_1,\ldots,x_{r-1})$. Dann gilt:
Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung für alle $s\in \N$ mit $0 \le s < r$ bereits bewiesen.
Sei außerdem $\bmx' = (x_1,\ldots,x_{r-1})$.
Dann gilt:
\begin{align*}
K_p(\bmx) &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
&= \bigoplus_{j \in \lbrace0,1\rbrace} K_{p - j}(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
@ -98,17 +106,19 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
&= \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
&= \bigoplus_{\bmi \in I_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
\end{align*}
Nun betrachten wir die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$. Dabei unterscheiden wir die zwei Fälle $r \in \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$ und $r \notin \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$. Im ersten Fall gilt:
Nun betrachten wir die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$.
Dabei unterscheiden wir die zwei Fälle $r \in \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$ und $r \notin \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$. Im ersten Fall gilt:
\begin{align*}
& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{1}_{\in K_0(x_r)}) \\
=& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}}) \otimes 1 + {(-1)}^p e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\
=& \left(\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}\right) \otimes 1 \\
=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
\end{align*}
Im zweiten Fall können wir ohne Einschränkung $r = i_p$ annehmen. Dann gilt:
Im zweiten Fall können wir ohne Einschränkung $r = i_p$ annehmen.
Dann gilt:
\begin{align*}
& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) \\
=&\pplus d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{((r - 1) - (p - 1)\text{-mal}}) \otimes e_{x_{i_p}} \\
=&\pplus d(e_y{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{((r - 1) - (p - 1))\text{-mal}}) \otimes e_{x_{i_p}} \\
&+ {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes d(e_{x_{i_p}}) \\
=& \pplus \left( \sum_{k=1}^{p - 1} {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\right) \otimes e_{x_{i_p}} \\
& + {(-1)}^{p+1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes (x_{i_p} \cdot 1) \\