Ausblick erweitert

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@@ -1070,4 +1070,57 @@ Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
     \dim(M) + \dim(N) < \dim(A) \Longrightarrow \chi(M, N) = 0,
 \end{equation*}
 wurde für den Fall beliebiger regulärer Ringe 1985 von Paul C. Roberts gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998multiplicities}).
-Die Frage, ob die umgekehrte Implikation ebenfalls gilt, ist bis heute ein offenes Problem.
+Die Frage, ob die umgekehrte Implikation ebenfalls gilt, ist bis heute ein offenes Problem.
+
+Wir zeigen nun noch die von Serre bereits gegebenen Beweise.
+Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale unter einer gewissen Voraussetzung auch im Fall anwendbar, dass $A$ ein formaler Potenzreihenring über einem vollständigen diskreten Bewertungsring ist.
+
+\begin{prop}
+    \label{prop:reduktion-auf-die-diagonale-diskreter-bewertungsring}
+    Sei $k$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring, $A \cong B$ der formale Potenzreihenring über $k$ in $n$ Variablen über $k$ und seien $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
+    Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
+    Sei $\pi$ ein Erzeuger des Maximalideals von $k$.
+    Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, so gilt
+    \begin{equation*}
+        \dim M \widehat{\otimes}_k N = \dim M + \dim N - 1
+    \end{equation*}
+    und
+    \begin{equation*}
+        \Tor^C_p(A, M \widehat{\otimes}_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
+    \end{equation*}
+    \begin{proof}
+        Es gilt
+        \begin{equation*}
+            (M \widehat{\otimes}_k N) / \pi (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \pi M) \widehat{\otimes}_k (N / \pi N).
+        \end{equation*}
+        Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, dann gilt also
+        \begin{equation*}
+            \dim M \widehat{\otimes}_k N = \dim M + \dim N - 1.
+        \end{equation*}
+        Sei $C = A \widehat{\otimes}_k B$.
+        Analog zum Fall, dass $k$ ein Körper ist, sieht man
+        \begin{equation*}
+            C \cong k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]].
+        \end{equation*}
+        Sei außerdem $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
+        Durchfreie Auflösungen von $M$ und $N$ wie in Beweis von \cref{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring} und eine $C$-projektive Auflösung von $A \cong C / \mfd$ erhalten wir folgende Specktralsequenz:
+        \begin{equation*}
+            \Tor^C_p(A, \widehat{\Tor}^k_q(M, N)) \Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, N)
+        \end{equation*}
+        Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, dann degeneriert diese Spektralsequenz und wir erhalten einen Isomorphismus
+        \begin{equation*}
+            \Tor^C_p(A, M \widehat{\otimes}_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
+        \end{equation*}
+    \end{proof}
+\end{prop}
+
+\begin{thm}
+    \label{thm:tor-formel-regulaere-ringe-ungleicher-charakteristik-unverzweigt}
+    Die Aussage von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} bleibt auch gültig, wenn man die Voraussetzung, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik durch folgende allgemeinere Voraussetzung ersetzt:
+    $A$ ist ein regulärer Ring und für jedes Primideal $\mfp$ von $A$ ist der lokale Ring $A_\mfp$ entweder von gleicher Charakteristik, und von ungleicher Charakteristik und unverzweigt.
+    (Tatsächlich genügt es diese Eigenschaft für alle Maximalideale zu fordern, denn ist $A$ ein unverzweigter regulärer lokaler Ring von ungleicher Charakteristik, dann ist jede Lokalisierung $A_\mfp$ vom gleichen Typ, oder von gleicher Charakteristik.)
+    \begin{proof}
+        Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist ein unverzweigter regulärer vollständiger lokaler Ring isomorph zu einem formalen Potenzreihenring über einem unverzweigten vollständigen diskreten Bewertungsring.
+        Durch Lokalisieren und Vervollständigen wie im Beweis von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} genügt es folgendes Lemma zu beweisen:
+    \end{proof}
+\end{thm}

theorem_environments.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \newtheorem{thm}{Theorem}[chapter]
 \newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
 \newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
-\newtheorem{kor}[thm]{Korrolar}
+\newtheorem{kor}[thm]{Korollar}
 \newtheorem{deflem}[thm]{Definition/Lemma}
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{defn}[thm]{Definition}
@@ -10,7 +10,7 @@
 
 \crefname{thm}{Theorem}{Theoreme}
 \crefname{prop}{Proposition}{Propositionen}
-\crefname{kor}{Korrolar}{Korrolare}
+\crefname{kor}{Korollar}{Korollare}
 \crefname{deflem}{Definition/Lemma}{Definitionen/Lemmata}
 \crefname{lem}{Lemma}{Lemmata}
 \crefname{defn}{Definition}{Definitionen}