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Ausarbeitung.tex

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+\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc]{scrreprt}
+	\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\begin{document}
+
+\begin{titlepage}
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm]    
+		\textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm]
+		\textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm]
+		{ \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm]
+		{\LARGE Masterarbeit}\\[1cm]
+		{\Large von}\\[0.2cm]
+		{\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm]
+		{\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm]
+		\begin{tabular}{lr}
+			\large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
+			\large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz
+		\end{tabular}
+		\vfill
+		{\large \today}
+	\end{center}
+\end{titlepage}
+
+\tableofcontents
+
+\chapter{Einleitung}
+\label{cha:einleitung}
+
+\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
+\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
+
+\section{Polynomartige Funktionen}
+\label{sec:polynomartige-funktionen}
+
+Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$.
+
+\begin{defn}
+	\label{defn:polynomartige-funktionen}
+	Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}
+	\label{defn:differenzenoperator}
+	Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
+	\begin{align*}
+		\Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\
+		f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
+	\end{align*}
+\end{defn}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
+	Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$
+		\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$
+		\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
+	\end{enumerate}
+	\begin{proof}
+		\cite[Chapter II. B 2. Lemma 2.]{chin2012local} %TODO: Vielleicht Beweis ausführen
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+\section{Das Hilbert-Polynom}
+\label{sec:das-hilbert-polynom}
+
+Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
+\begin{enumerate}[a)]
+	\item $H_0$ ist artinsch.
+	\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.  
+\end{enumerate}
+Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
+
+Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt
+\begin{align*}
+	H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0,
+\end{align*}
+also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
+\begin{align*}
+	\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N\\
+	n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
+\end{align*}
+Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
+
+\begin{thm}[Hilbert]
+	\label{thm:hilbert-polynomial}
+	Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
+	\begin{proof}
+		Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
+		
+		Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
+		
+		Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-\infty$.
+		
+		Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
+		\begin{equation*}
+			0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
+		\end{equation*}
+		Es folgt
+		\begin{equation*}
+			\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
+		\end{equation*}
+		Wegen $X_rR = X_rN = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
+	\end{proof}
+\end{thm}
+
+\begin{nota}
+	\label{nota:hilbert-polynomial}
+	Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
+\end{nota}
+
+\section{Das Samuel-Polynom}
+\label{sec:das-samuel-polynom}
+Sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Wir nehmen zusätlich Folgendes an:
+\begin{equation}
+	\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
+	\length_A(M/\mfq M) < \infty.
+\end{equation}
+Dies ist äquivalent zu:
+\begin{equation}
+	\label{eq:elemente-in-supp}
+	\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
+\end{equation}
+Der Fall, der uns im Folgenden am meisten interessiert, ist, dass $A$ lokal mit maximalem Ideal $\mfm$ ist und $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$ für ein $s > 0$.
+
+Sei $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
+\begin{align*}
+	&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
+	&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
+	&M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
+\end{align*}
+Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^nM$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^nM$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
+\begin{align*}
+	f_M \colon \N &\to \N\\
+	n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
+\end{align*}
+wohldefiniert.
+
+\begin{thm}[Samuel]
+	\label{thm:samuel-polynomial}
+	Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig.
+	\begin{proof}
+		Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
+		
+		Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Sei \begin{equation*}
+			H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
+		\end{equation*}
+		der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring. Dann ist
+		\begin{equation*}
+			\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
+		\end{equation*}
+		ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
+		\begin{equation*}
+			M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
+		\end{equation*}
+		erzeugt und ist demnach endlich erzeugt. %TODO: Wieso?
+		Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig. Es gilt
+		\begin{equation*}
+			\Delta f_M(n) = \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) = \length_A(M_n/M_{n+1}) = \chi(\gr(M), n),
+		\end{equation*}
+		also ist $\Delta f_M$ polynomartig und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} auch $f_M$.
+	\end{proof}
+\end{thm}
+
+\begin{bem}
+	\label{bem:samuel-polynom}
+	Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wird auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
+	\begin{equation}
+		\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
+	\end{equation}
+	wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
+	
+	Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^iM))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
+\end{bem}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch}
+	Es gilt \begin{equation*}
+		P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
+	\end{equation*}
+	wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist.
+	\begin{proof}
+		
+	\end{proof}
+\end{lem}
+\printbibliography
+
+\chapter*{Eigenständigkeitserklärung}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung}
+Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und
+keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
+
+\vspace{1.5cm}
+\begin{tabular}{lp{2em}l}
+	\hspace{6cm} & & \hspace{6cm} \\\cline{1-1}\cline{3-3}
+	Ort, Datum & & Unterschrift
+\end{tabular}
+
+\end{document}

bibliography.bib

@@ -0,0 +1,10 @@
+@book{chin2012local,
+  title={Local Algebra},
+  author={Chin, C.W. and Serre, J.P.},
+  isbn={9783662042038},
+  lccn={00032970},
+  series={Springer Monographs in Mathematics},
+  url={https://books.google.de/books?id=Ne3tCAAAQBAJ},
+  year={2012},
+  publisher={Springer Berlin Heidelberg}
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