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\usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex}
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\bibliography{bibliography}
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\usepackage{cleveref}
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\usepackage{bm}
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\input{theorem_environments}
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\input{custom_commands}
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@ -21,259 +22,13 @@
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\allowdisplaybreaks{}
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\begin{document}
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\begin{titlepage}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm]
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||||
\textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm]
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||||
\textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm]
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||||
{ \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm]
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||||
{\LARGE Masterarbeit}\\[1cm]
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||||
{\Large von}\\[0.2cm]
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||||
{\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm]
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||||
{\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm]
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||||
\begin{tabular}{lr}
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||||
\large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
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||||
\large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz
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\end{tabular}
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\vfill
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{\large \today}
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\end{center}
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\end{titlepage}
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\include{title}
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\tableofcontents
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\chapter{Einleitung}
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\label{cha:einleitung}
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\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
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\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
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||||
\section{Polynomartige Funktionen}
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\label{sec:polynomartige-funktionen}
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||||
Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$.
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\begin{defn}
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\label{defn:polynomartige-funktionen}
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||||
Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
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\end{defn}
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\begin{defn}
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\label{defn:differenzenoperator}
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||||
Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
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\begin{align*}
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\Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\
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f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
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\end{align*}
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\end{defn}
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\begin{lem}
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\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
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||||
\end{lem}
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Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
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\begin{equation*}
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\Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
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||||
\end{equation*}
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\begin{proof}
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||||
Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
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||||
\begin{equation*}
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\Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
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||||
\end{equation*}
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||||
Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
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\begin{align*}
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||||
\Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
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||||
&= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
|
||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
|
||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
|
||||
&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
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||||
\end{align*}
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||||
\end{proof}
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\begin{lem}
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\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
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Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$
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\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$
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||||
\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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{}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen
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\end{proof}
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||||
\end{lem}
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||||
\section{Das Hilbert-Polynom}
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\label{sec:das-hilbert-polynom}
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||||
Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
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\begin{enumerate}[(a)]
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||||
\item $H_0$ ist artinsch.
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||||
\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
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\end{enumerate}
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Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
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Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt
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\begin{align*}
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H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0,
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\end{align*}
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||||
also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
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\begin{align*}
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\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
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||||
n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
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\end{align*}
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Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
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\begin{thm}[Hilbert]
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\label{thm:hilbert-polynomial}
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Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
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\begin{proof}
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Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
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Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
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Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$.
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Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
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\begin{equation*}
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0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
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\end{equation*}
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Es folgt
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\begin{equation*}
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\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
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\end{equation*}
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Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
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\end{proof}
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\end{thm}
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\begin{nota}
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\label{nota:hilbert-polynomial}
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Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
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\end{nota}
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\section{Das Samuel-Polynom}
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\label{sec:das-samuel-polynom}
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||||
Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
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\begin{equation}
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\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
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\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
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\end{equation}
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Dies ist äquivalent zu:
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\begin{equation}
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\label{eq:elemente-in-supp}
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\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
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\end{equation}
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Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
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\begin{align*}
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&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
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&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
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||||
&M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
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||||
\end{align*}
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||||
Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
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\begin{align*}
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f_M \colon \N &\to \N \\
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n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
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\end{align*}
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wohldefiniert.
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\begin{thm}[Samuel]
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\label{thm:samuel-polynomial}
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Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
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\begin{proof}
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Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
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Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
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\begin{equation*}
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H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
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\end{equation*}
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wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Weiter ist
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\begin{equation*}
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||||
\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
|
||||
\end{equation*}
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||||
ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
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||||
\begin{equation*}
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M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
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\end{equation*}
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||||
erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul.
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Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt
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\begin{align*}
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\Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
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&= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
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&= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\
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&= \chi(\gr(M), n),
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\end{align*}
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also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $f_M$ polynomartig vom Grad $\le r$.
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\end{proof}
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\end{thm}
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\begin{bem}
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\label{bem:samuel-polynom}
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Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
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\begin{equation}
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\label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
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\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
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\end{equation}
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wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
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||||
Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
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\end{bem}
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\begin{lem}
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\label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch}
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Es gilt \begin{equation*}
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P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
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\end{equation*}
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||||
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist.
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||||
\begin{proof}
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||||
Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann
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\begin{equation*}
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||||
\mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
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||||
\end{equation*}
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||||
also gilt für große $n$:
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||||
\begin{equation*}
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||||
P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
|
||||
\end{equation*}
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||||
Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
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||||
\end{proof}
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||||
\end{lem}
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||||
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||||
\begin{prop}
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||||
\label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
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||||
Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.
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\begin{proof}
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||||
Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach
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||||
\begin{equation*}
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||||
P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
|
||||
\end{equation*}
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||||
und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
|
||||
\end{proof}
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||||
\end{prop}
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||||
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||||
\begin{defn}
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||||
\label{defn:ideal-von-definition}
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||||
Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
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||||
\begin{enumerate}[(a)]
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\item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$
|
||||
\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge
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||||
\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{defn}
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||||
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||||
Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt.
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||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
\label{lem:}
|
||||
\end{lem}
|
||||
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||||
\begin{thm}
|
||||
\label{thm:samuel-polynom-dimension}
|
||||
Es gilt
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||||
\begin{equation*}
|
||||
\dim M = d(M) = s(M).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{thm}
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||||
\include{chapters/chapter1}
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\include{chapters/chapter2}
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\include{chapters/chapter3}
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\printbibliography
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chapters/chapter1.tex
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@ -0,0 +1,2 @@
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\chapter{Einleitung}
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\label{cha:einleitung}
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chapters/chapter2.tex
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chapters/chapter2.tex
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@ -0,0 +1,229 @@
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\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
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\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
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||||
\section{Polynomartige Funktionen}
|
||||
\label{sec:polynomartige-funktionen}
|
||||
|
||||
Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$.
|
||||
|
||||
\begin{defn}
|
||||
\label{defn:polynomartige-funktionen}
|
||||
Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{defn}
|
||||
\label{defn:differenzenoperator}
|
||||
Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\
|
||||
f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
|
||||
\end{lem}
|
||||
Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
|
||||
&= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
|
||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\
|
||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
|
||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
|
||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
|
||||
&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
|
||||
&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\begin{lem}
|
||||
\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
|
||||
Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$
|
||||
\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$
|
||||
\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
{}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\section{Das Hilbert-Polynom}
|
||||
\label{sec:das-hilbert-polynom}
|
||||
|
||||
Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item $H_0$ ist artinsch.
|
||||
\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
|
||||
|
||||
Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
H/\Ann(M_n) = H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) = H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \cong H_0,
|
||||
\end{align*}
|
||||
also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
|
||||
n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
|
||||
|
||||
\begin{thm}[Hilbert]
|
||||
\label{thm:hilbert-polynomial}
|
||||
Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
|
||||
|
||||
Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
|
||||
|
||||
Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-1$.
|
||||
|
||||
Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Es folgt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{thm}
|
||||
|
||||
\begin{nota}
|
||||
\label{nota:hilbert-polynomial}
|
||||
Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
|
||||
\end{nota}
|
||||
|
||||
\section{Das Samuel-Polynom}
|
||||
\label{sec:das-samuel-polynom}
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||||
Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
|
||||
\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Dies ist äquivalent zu:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:elemente-in-supp}
|
||||
\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
|
||||
&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
|
||||
&M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f_M \colon \N &\to \N \\
|
||||
n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
|
||||
\end{align*}
|
||||
wohldefiniert.
|
||||
|
||||
\begin{thm}[Samuel]
|
||||
\label{thm:samuel-polynomial}
|
||||
Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
|
||||
|
||||
Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Weiter ist
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul.
|
||||
Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
|
||||
&= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
|
||||
&= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\
|
||||
&= \chi(\gr(M), n),
|
||||
\end{align*}
|
||||
also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $f_M$ polynomartig vom Grad $\le r$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{thm}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
\label{bem:samuel-polynom}
|
||||
Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
|
||||
\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
|
||||
\end{equation}
|
||||
wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
|
||||
|
||||
Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
\label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch}
|
||||
Es gilt \begin{equation*}
|
||||
P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
also gilt für große $n$:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\begin{prop}
|
||||
\label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
|
||||
Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind. Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$. Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$. Für große $n$ gilt demnach
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$. Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
\begin{defn}
|
||||
\label{defn:ideal-von-definition}
|
||||
Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$. Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$
|
||||
\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge
|
||||
\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
% Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt.
|
||||
|
||||
% \begin{lem}
|
||||
% \label{lem:}
|
||||
% \end{lem}
|
||||
|
||||
% \begin{thm}
|
||||
% \label{thm:samuel-polynom-dimension}
|
||||
% Es gilt
|
||||
% \begin{equation*}
|
||||
% \dim M = d(M) = s(M).
|
||||
% \end{equation*}
|
||||
% \end{thm}
|
||||
62
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62
chapters/chapter3.tex
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|
|
@ -0,0 +1,62 @@
|
|||
\chapter{Der Koszul Komplex}
|
||||
\label{cha:der-koszul-komplex}
|
||||
Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
||||
|
||||
\begin{defn}
|
||||
\label{defn:koszul-komplex-einfach}
|
||||
Ist $x \in A$, so bezeichnen wir mit $K(x)$ folgenden Komplex:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
K_i(x) &= 0 \qquad \text{für } i \ne 0,1 \\
|
||||
K_1(x) &= A \\
|
||||
K_0(x) &= A \\
|
||||
\text{Die Abbildung} \qquad d\colon K_1(x) &\to K_0(x) \qquad \text{ist die Multiplikation mit } x
|
||||
\end{align*}
|
||||
Aus Notationsgründen bezeichnen wir $1\in K_1(x)$ euch mit $e_x$.
|
||||
|
||||
Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$. Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H^K_i(x, M)$ und, wenn klar ist um welchen Komplex es geht, auch mit $H_i(x, M)$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
{K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\
|
||||
{K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M, \\
|
||||
{K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M, \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
und die Randabbildung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
ist durch die Formel
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
d(e_x \otimes m) = xm \qquad m \in M
|
||||
\end{equation*}
|
||||
gegeben.
|
||||
|
||||
Die Homologie-Moduln von $K(x,M)$ sind
|
||||
\begin{align*}
|
||||
H_i(x,M) &= 0 \qquad \text{falls } i \ne 0,1, \\
|
||||
H_0(x,M) &= M/xM, \\
|
||||
H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M).
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Das ist klar nach der Definition von $K(x,M)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\begin{defn}
|
||||
\label{defn:koszul-komplex}
|
||||
Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$. Mit $K(\bmx)$ oder auch mit $K(x_1,\ldots,x_r)$ bezeichnen wir folgenden Tensorprodukt -Komplex:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
K(\bmx) = K(x_1)\otimes_A K(x_2) \otimes_A \cdots \otimes_A K(x_r)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
$K_p(\bmx)$ ist der freie $A$-Modul, der von den Elementen der Form
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
e_{x_{i_1}}\wedge \cdots \wedge e_{x_{i_p}} = 1 \otimes \cdots \otimes 1 \otimes e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1 \qquad i_1 < i_2 < \cdots < i_p
|
||||
\end{equation*}
|
||||
erzeugt wird. Insbesondere gilt also
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
K_p(\bmx) \cong \bigwedge\nolimits^p(A^r).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Ist $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
|
@ -11,8 +11,10 @@
|
|||
\newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}}
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||||
\newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}}
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||||
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||||
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||||
\newcommand{\bmx}{\bm{x}}
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||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
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||||
%\DeclareMathOperator{\deg}{deg}
|
||||
\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
|
||||
\DeclareMathOperator{\map}{map}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
|
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18
title.tex
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@ -0,0 +1,18 @@
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|||
\begin{titlepage}
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm]
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||||
\textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm]
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\textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm]
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{ \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm]
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{\LARGE Masterarbeit}\\[1cm]
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{\Large von}\\[0.2cm]
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{\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm]
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{\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm]
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\begin{tabular}{lr}
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\large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
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\large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz
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\end{tabular}
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\vfill
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{\large \today}
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\end{center}
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