Grad vom Samuelpolynom im Theorem zum Samuelpolynom hinzugefügt

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@@ -154,7 +154,7 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
 
 \section{Das Samuel-Polynom}
 \label{sec:das-samuel-polynom}
-Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Wir nehmen zusätlich Folgendes an:
+Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
 \begin{equation}
 	\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
 	\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
@@ -180,14 +180,15 @@ wohldefiniert.
 
 \begin{thm}[Samuel]
 	\label{thm:samuel-polynomial}
-	Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig.
+	Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
 	\begin{proof}
 		Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
 		
-		Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Sei \begin{equation*}
+		Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
+		\begin{equation*}
 			H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
 		\end{equation*}
-		der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring. Dann ist
+		wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt. Weiter ist
 		\begin{equation*}
 			\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
 		\end{equation*}
@@ -196,14 +197,14 @@ wohldefiniert.
 			M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
 		\end{equation*}
 		erzeugt. Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch. Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul. Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr_\mfq(A)$-Modul.
-		Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig. Es gilt
+		Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$. Es gilt
 		\begin{align*}
 			\Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
 			 &= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
 			 &= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\
 			 &= \chi(\gr(M), n),
 		\end{align*}
-		also ist $\Delta f_M$ polynomartig und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} auch $f_M$.
+		also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $f_M$ polynomartig vom Grad $\le r$.
 	\end{proof}
 \end{thm}
 
@@ -211,6 +212,7 @@ wohldefiniert.
 	\label{bem:samuel-polynom}
 	Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
 	\begin{equation}
+		\label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
 		\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
 	\end{equation}
 	wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
@@ -237,23 +239,6 @@ wohldefiniert.
 	\end{proof}
 \end{lem}
 
-\begin{prop}
-	\label{prop:samuel-polynom-grad-abschaetzung}
-	Es sei $\mfa = \Ann(M)$, $B = A / \mfa$ und $\mfp$ das Ideal $(\mfa + \mfq) / \mfa$ in $B$. Wir nehmen weiter an, dass $\mfp$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt wird. Dann gilt:
-	\begin{enumerate}[(a)]
-		\item $\deg P_\mfq(M) \le r$
-		\item $\Delta^r P_\mfq(M) \le \length_A(M/\mfq M)$
-		\item Es gilt $\Delta^r P_\mfq(M) = \length_A(M/\mfq M)$ genau dann, wenn die natürliche Abbildung
-		\begin{equation*}
-			\Phi\colon (M/\mfq M)[X_1,\ldots,X_r] \to \gr(M)
-		\end{equation*} %TODO: Wie ist \Phi definiert?
-		ein Isomorphismus ist.
-	\end{enumerate}
-	\begin{proof}
-		Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} dürfen wir $\mfa = 0$ und damit $B = A$ und $\mfp = \mfq$ annehmen. Außerdem ist $\gr_\mfq(A)$ dann ein Quotient von $(A/\mfq)[X_1,\ldots,X_r]$.
-	\end{proof}
-\end{prop}
-
 \begin{prop}
 	\label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
 	Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.