Weiter mit reduktio nauf die Diagonale

bibliography.bib

@@ -31,3 +31,11 @@
   url = {http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg.html},
   urldate = {2017-08-16}
 }
+
+@book{cartan1956homological,
+  title={Homological Algebra},
+  author={Cartan, Henri and Eilenberg, Samuel},
+  series={Princeton Mathematical Series},
+  year={1956},
+  publisher={Princeton University Press}
+}

chapters/chapter4.tex

@@ -198,4 +198,82 @@ Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} be
     \end{equation*}
 \end{proof}
 
-Der obige Beweis basiert auf dem Ersetzen des Tripels $(A; \mfp', \mfp'')$ durch das Tripel $(A \otimes_k A; \mfd, \mfr)$. Dieses Verfahren wird \textbf{Reduktion auf die Diagonale} genannt. Es ist das algebraische Analogon zur Mengentheoretischen Formel $V \cap W = (V \times W) \cap \Delta$. Wir werden dieses Verfahren später auch noch in einem allgemeineren Kontext verwenden.
+Der obige Beweis basiert auf dem Ersetzen des Tripels $(A; \mfp', \mfp'')$ durch das Tripel $(A \otimes_k A; \mfd, \mfr)$. Dieses Verfahren wird \textbf{Reduktion auf die Diagonale} genannt. Es ist das algebraische Analogon zur Mengentheoretischen Formel $V \cap W = (V \times W) \cap \Delta$.
+
+Ist nämlich $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sind $U$ und $V$ algebraische Mengen in $\A_k^n$ und ist $\Delta$ die Diagonale in $\A^n_k \times_{\Spec(k)} \A^n_k \cong \A^{2n}_k$, dann gilt nach Definition $\Delta \cong \A^n_k$ und dieser Isomorphismus identifiziert $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$ mit $U \cap V$.
+Seien $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $U = V(\mfp)$, $V = V(\mfq)$ und $\Delta = \Spec((A \otimes_k A) / \mfd)$, wobei $\mfd$ der Kern des surjektiven Homomorphismus
+\begin{align*}
+    \phi \colon A \otimes_k A &\to A \\
+    a \otimes b &\mapsto ab
+\end{align*}
+ist.
+Sei außerdem $\mfd'$ das Bild von $\mfd$ in $A / \mfp \otimes_k A / \mfq$.
+Dann sind
+\begin{equation*}
+    A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong A / (\mfp + \mfp)    
+\end{equation*}
+und
+\begin{equation*}
+    (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) / \mfd' 
+\end{equation*}
+jeweils die Koordinatenringe von $U \cap V$ und $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$.
+Die obige Aussage übersetzt sich dann auf folgende Weise in algebraische Sprache:
+\begin{equation}
+   (A \otimes_k A) / \mfd \cong A
+\end{equation}
+\begin{equation}
+   A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd
+\end{equation}
+Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Indeal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln.
+Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur.
+Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen
+\begin{equation}
+    \Tor^B_n(M \otimes_k N, A) \cong \Tor^A_n(M, N).
+\end{equation}
+Ist also
+\begin{equation*}
+    \cdots \to L_1 \to L_0 \to A \to 0
+\end{equation*}
+eine $B$-projektive Auflösung, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen
+\begin{equation*}
+    \Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{\bullet}).
+\end{equation*}
+Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i - 1 \otimes 1 - X_i$, $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ erzeugte Ideal. Offensichtlich bilden die $X_i - 1 \otimes 1 - X_i$ eine $B$-reguläre Folge und es gilt
+\begin{equation*}
+    H^B_0((X_i\otimes 1 - 1 \otimes X_i), B) = B / \mfd \cong A.
+\end{equation*}
+Mit \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} folgt also, dass $K^B((X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i), B)$ eine $B$-freie und damit $B$-projektive Auflösung von $A$ ist.
+Es folgt
+\begin{equation}
+\label{eq:tor-koszul}
+    \Tor^A_n(M, N) \cong  H_n((M \otimes_k N) \otimes_B K^B((X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i), B)) = H_n^B((X_i \otimes 1  - 1 \otimes X_i), M\otimes_k N).
+\end{equation}
+Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukte verallgemeinern.
+
+\section{Vervollständigte Tensorprodukte}
+\label{sec:vervollständigte-tensorprodukte}
+
+\begin{defn}[Vervollständigtes Tensorproduk]
+    \label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt}
+    Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
+    Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
+     Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
+     Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind.
+     Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
+     Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
+
+     Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch
+     \begin{equation}
+         \widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
+     \end{equation}
+     Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt}
+     \begin{equation}
+         M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
+     \end{equation}
+\end{defn}
+
+Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
+
+\begin{prop}
+    \label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}
+\end{prop}