erste Korrekturen von Johannes
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215247845a
5 changed files with 42 additions and 41 deletions
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@ -3,10 +3,10 @@
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{hyperref}
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\hypersetup{pdfinfo={Title={Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}, Author={Johannes Loher}}}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{lmodern}
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\usepackage{mathtools}
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@ -55,7 +55,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte
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&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
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&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
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&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
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&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)\qedhere
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\end{align*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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@ -69,7 +69,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte
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\begin{proof}
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Es gilt
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\begin{equation*}
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\Delta Q_k(n) = Q_k(n + 1) - Q_k(n) = \binom{n + 1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k - 1} = Q_{k - 1}(n).
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\Delta Q_k(n) = Q_k(n + 1) - Q_k(n) = \binom{n + 1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k - 1} = Q_{k - 1}(n).\qedhere
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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@ -88,7 +88,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte
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Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar.
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Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$.
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Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und $\Delta f$ (a) erfüllt, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$.
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Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und (a) von $\Delta f$ erfüllt wird, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$.
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Da es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$.
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Also sind (a) und (d) äquivalent.
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@ -96,21 +96,22 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte
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Ist $f$ vom Grad $0$, so ist $f$ konstant und wegen (c) gilt dann $f \in \Z$ und damit (a).
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Sei also nun $f$ vom Grad $d > 0$ und die Behauptung wahr für Polynome vom Grad $< d$.
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Offensichtlich gilt $\deg \Delta f < \deg f$ und auch $\Delta f$ erfüllt (c).
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Also erfüllt $\Delta f$ (a) und damit erfüllt $f$ (d).
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Also wird (a) von $\Delta f$ erfüllt und damit (d) von $f$.
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\end{proof}
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\end{deflem}
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Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$ für $k > 0$.
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Insbesondere ist $e_k(f)$ für $\deg(f) \le k$ das konstante Polynom $\Delta^k f$ und es gilt
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\begin{equation*}
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f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(x),
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f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(X),
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\end{equation*}
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wobei $g(x) \in \Q[X]$ mit $\deg(g) < k$.
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wobei $g(X) \in \Q[X]$ mit $\deg(g) < k$.
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Ist $\deg(f) = k$, so gilt
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\begin{equation*}
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f(n) \sim e_k(f) \frac{n^k}{k!} \qquad \text{für } n \to \infty.
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f(n) \sim e_k(f) \frac{n^k}{k!} \qquad \text{für } n \to \infty,
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\end{equation*}
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Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sodass $f(z) > 0$ für alle $z \ge z_0$ gilt.
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das heißt $f(n)$ und $e_k(f) \frac{n^k}{k!}$ verhalten sich asymptotisch gleich.
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Es folgt, dass $e_k(f) > 0$ genau dann erfüllt ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sodass $f(z) > 0$ für alle $z \ge z_0$ gilt.
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\section{Polynomartige Funktionen}
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\label{sec:polynomartige-funktionen}
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@ -122,7 +123,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
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\begin{defn}[Polynomartige Funktion]
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\label{defn:polynomartige-funktionen}
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Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
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Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{po\-ly\-nom\-ar\-tig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
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Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
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Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig.
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Ist $k$ der Grad von $P_f$, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_l(f)$ anstatt von $e_l(P_f)$.
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@ -131,11 +132,11 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
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\begin{lem}
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\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
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Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
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Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung und $r \in \N$, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
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\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
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\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
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\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in A$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) sind klar.
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@ -147,7 +148,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
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\begin{equation*}
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\Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0
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\end{equation*}
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Das bedeutet, für $z$ groß genug ist $g(z) = e_0 \in \Z$ und es folgt $f(z) = R(z) + e_0$ für $z$ groß genug.
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Also gibt es ein $e_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass für alle $z$ groß genug $g(z) = e_0$ und damit auch $f(z) = R(z) + e_0$ gilt.
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Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$.
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Die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) folgt durch Induktion über $r$ und Verwendung der Implikation (b) $\Rightarrow$ (a).
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@ -120,7 +120,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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\begin{align*}
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H_p(K(x) \otimes_A L) &= 0 \qquad \text{für } p > 1 \\
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H_1(K(x) \otimes_A L) &= H_1(x,M) = \Ann_M(x) = 0 \\
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H_0(K(x) \otimes_A L) &= H_0(x,M) = M/xM
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H_0(K(x) \otimes_A L) &= H_0(x,M) = M/xM\qedhere
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\end{align*}
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\end{proof}
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\end{kor}
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@ -218,7 +218,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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& + {(-1)}^{p+1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes (x_{i_p} \cdot 1) \\
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||||
=& \pplus \sum_{\substack{k=1\\k\ne p}}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
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||||
& + {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
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||||
=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
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||||
=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\qedhere
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\end{align*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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@ -549,7 +549,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un
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\begin{equation*}
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\Delta^r P_{\bmx}(M, i - r) = \Delta^r P_{\bmx}(M) = e_{\bmx}(M, r)
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\end{equation*}
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gegeben.
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gegeben.\qedhere
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\end{thm}
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@ -39,12 +39,11 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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\begin{align*}
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\dim_A(N) &= \sup_{\mfp \in \Supp(N)} \dim(A / \mfp) \\
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&= \sup_{\mfp \in \Supp(M) \cup \Supp(P)} \dim(A / \mfp) \\
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||||
&= \max(\dim_A(M), \dim_A(P)).
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&= \max(\dim_A(M), \dim_A(P)).\qedhere
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\end{align*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{lem}
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\label{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
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Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$.
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@ -167,7 +166,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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Wie bereits im Beweis von \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge} gesehen, gilt $\mfr_i \in \Supp(M)$ und damit folgt $\dim(A / \mfr_i) \le p$.
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Ist $\dim(A / \mfr_i) < p$, so ist $e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p) = 0$, also folgt mit \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
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\begin{equation*}
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e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
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||||
e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).\qedhere
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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@ -186,7 +185,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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Im Folgenden wollen wir das Verfahren der \emph{Reduktion auf die Diagonale} einführen.
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Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebraische Menge $V \cap W = V(I(V) + I(W))$ im allgemeinen nicht irreduzibel. Deswegen interessieren wir uns im Folgenden für eine irreduzible Komponente davon.
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||||
Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, dann ist die algebraische Menge $V \cap W = V(I(V) + I(W))$ im allgemeinen nicht irreduzibel. Deswegen interessieren wir uns im Folgenden für eine irreduzible Komponente davon.
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\begin{prop}
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\label{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}
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@ -225,7 +224,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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Da $\mfp$ aber ein minimales Primideal ist, gilt bereits
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\begin{equation*}
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\mfp = \mfq \subset \mcZ(A).
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\mfp = \mfq \subset \mcZ(A).\qedhere
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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@ -281,7 +280,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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\begin{align*}
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\dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) &= \dim(B' \otimes_k B'') \\
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||||
&= \dim(B') + \dim(B'')\\
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&= \dim(A') + \dim(A'').
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||||
&= \dim(A') + \dim(A'').\qedhere
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||||
\end{align*}
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||||
\end{proof}
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||||
\end{lem}
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@ -298,6 +297,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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erzeugt wird.
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\item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\newpage
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||||
\begin{proof}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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||||
\item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist.
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@ -323,7 +323,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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|||
\end{equation*}
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||||
Es folgt also auch
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\begin{equation*}
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||||
\phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \subset \mfp' + \mfp''.
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||||
\phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \subset \mfp' + \mfp''.\qedhere
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||||
\end{equation*}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proof}
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||||
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@ -373,7 +373,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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|||
\end{equation*}
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||||
Da $A$ eine integre endlich erzeugte $k$-Algebra ist, folgt
|
||||
\begin{equation*}
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||||
\height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp'').
|
||||
\height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp'').\qedhere
|
||||
\end{equation*}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
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@ -692,7 +692,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
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\begin{equation*}
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||||
0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N)
|
||||
\end{equation*}
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||||
und mit dem gleichen Argument wie oben folgt $\widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) = 0$.
|
||||
und mit dem gleichen Argument wie oben folgt $\widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) = 0$.\qedhere
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proof}
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||||
\end{prop}
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||||
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@ -782,7 +782,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
|
|||
\end{equation*}
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||||
und wir erhalten die Formel für der Reduktion auf die Diagonale:
|
||||
\begin{equation*}
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||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A)
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A)\qedhere
|
||||
\end{equation*}
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||||
\end{proof}
|
||||
\end{prop}
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||||
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@ -844,7 +844,7 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
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|||
{\Tor^A_i(M, N)}_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) \cong \Tor^{\hat{A}_\mfq}_i(\hat{M}_\mfq, \hat{N}_\mfq).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Wegen $\dim(A) \ge \dim(A_\mfq)$ können wir also annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist.
|
||||
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n =~\dim(A)$.
|
||||
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n =~\dim(A)$ und in diesem Fall haben wir die Behauptung bereits weiter oben gezeigt.
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||||
\end{proof}
|
||||
\end{thm}
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||||
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@ -1116,7 +1116,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
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|||
\end{equation*}
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||||
Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, dann degeneriert diese Spektralsequenz und wir erhalten einen Isomorphismus
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||||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^C_p(A, M \hatotimes_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
|
||||
\Tor^C_p(A, M \hatotimes_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).\qedhere
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{prop}
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||||
|
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@ -1239,7 +1239,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
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|||
\begin{equation*}
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||||
\dim_A(M) + \dim_A(N) = \dim_{\overline{A}}(M) + \dim_{\overline{A}}(N) \le n < n + 1
|
||||
\end{equation*}
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||||
und die Behauptung folgt auch in diesem Fall.
|
||||
und die Behauptung folgt auch in diesem Fall.\qedhere
|
||||
\end{description}
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||||
\end{proof}
|
||||
\end{lem}
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||||
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@ -1268,7 +1268,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
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|||
\end{equation*}
|
||||
und damit
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||||
\begin{equation*}
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||||
\dim(M) + \dim(N) \le \dim(A_1) - 1 = \dim(A).
|
||||
\dim(M) + \dim(N) \le \dim(A_1) - 1 = \dim(A).\qedhere
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{proof}
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||||
\end{thm}
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||||
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@ -13,13 +13,13 @@ Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erz
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|||
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||||
Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein.
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||||
Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann.
|
||||
Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls $M$. Dabei muss $\mfq$ im Maximalideal von $A$ enthalten sein und die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen.
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Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls~$M$. Dabei muss die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen.
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In diesem Fall gilt dann
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\begin{equation*}
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\tag{$\ast$}\label{eq:einleitung-samuel-koszul}
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\begin{equation}
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\label{eq:einleitung-samuel-koszul}
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e_\mfq(M, r) = \sum_{i = 0}^r \length_A(H_i(\bmx, M)),
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\end{equation*}
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wobei die $H_i(\bmx, M)$ die Homologiemoduln des zu $M$ und $\bmx$ gehörigen Koszul-Komplexes sind.
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\end{equation}
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wobei $H_i(\bmx, M)$ die Homologiemoduln des zu $M$ und $\bmx$ gehörigen Koszul-Komplexes sind.
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In \cref{cha:multiplizitaeten} soll nun die $\Tor$-Formel untersucht werden.
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Dazu werden zunächst die \emph{Gruppe der Zykel} eines Rings und die Multiplizität eines Moduls eingeführt.
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@ -31,10 +31,10 @@ Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \emph{Dimensionsformel} der algebraische
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\end{equation*}
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Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\hatotimes$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt:
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\begin{equation*}
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\tag{$\ast\ast$}\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen}
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\begin{equation}
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\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen}
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\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A),
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\end{equation*}
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\end{equation}
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wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \hatotimes_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
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Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
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@ -55,10 +55,10 @@ Seien $U$ und $V$ irreduzible Untervarietäten von $X$ und $W$ eine irreduzible
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\end{equation*}
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Seien außerdem $A$, $A_U$ und $A_V$ die lokalen Ringe von $X$, $U$ und $V$ bei $W$.
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Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, dann gilt
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\begin{equation*}
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\tag{$\ast\ast\ast$}\label{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet}
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\begin{equation}
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\label{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet}
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i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W).
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\end{equation*}
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\end{equation}
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Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen.
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Wie bereits zu Beginn erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnitttheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
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