saluu/Serres_Tor-Formel_und_Reduktion_auf_die_Diagonale
0
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Packages Projects Releases Wiki Activity

Werners Korrekturen und korrektes Spacing beim vervollständigten Tensorprodukt

Browse source
This commit is contained in:
Johannes Loher 2017-09-23 15:41:05 +02:00
parent a697a0c19e
commit 5dd5d67007
5 changed files with 78 additions and 76 deletions
Show stats Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

4
chapters/chapter1.tex
View file

@ -1,7 +1,7 @@
\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
In diesem Kapitel wollen Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen.
In diesem Kapitel wollen wir Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen.
Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen.
\section{Ganzzahlige Polynome}
@ -425,7 +425,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
Sei außerdem $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq \subset \mfm$ ein Ideal in $A$ mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
Wir bezeichnen mit $d(M)$ den Grad von $P_\mfq(M)$.
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigenschaften, denn ist $\mfq'$ ein weiteres solches Polynom, dann gilt nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigenschaften, denn ist $\mfq'$ ein weiteres solches Ideal, dann gilt nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
\begin{equation*}
\Supp(M) \cap V(\mfq') = \Supp(M / \mfq' M) = \lbrace \mfm \rbrace = \Supp(M / \mfq M) = \Supp(M) \cap V(\mfq).
\end{equation*}

12
chapters/chapter2.tex
View file

@ -2,7 +2,7 @@
\label{cha:der-koszul-komplex}
Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe.
Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglicht Samuels Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, das es uns ermöglicht Samuels Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
@ -269,7 +269,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
&\cong K^B_p(\bmy) \otimes_B M \\
&= K^B_p(\bmy, M)
\end{align*}
Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*}
Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine bijektive Abbildung \begin{equation*}
\phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
\end{equation*}
Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ induzieren dann jeweils beide die Abbildung:
@ -361,7 +361,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\begin{proof}
Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$.
Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind dann $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph.
Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine reguläre Folge auf $M$ ist, folgt also
Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine $B$-reguläre Folge ist, folgt also
\begin{equation*}
H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M).
\end{equation*}
@ -384,7 +384,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) \cong {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph.
Statten wir die $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, so gilt $K(\bmx, \widehat{M}) \cong \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
Statten wir $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, dann gilt $K(\bmx, \widehat{M}) \cong \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
\begin{equation*}
K_p(\bmx, \widehat{M}) \cong \bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
= \prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
@ -463,7 +463,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un
&\cong K_p(\bmy, \gr(M))
\end{align*}
und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen der beiden Komplexe.
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Wie im Beweise von \cref{thm:samuel-polynom} sieht man, dass $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul ist.
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} sieht man, dass $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul ist.
Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln.
Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugt über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$.
Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annulliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
@ -515,7 +515,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un
\begin{equation*}
0 \to F^i K \to K \to K / F^i K \to 0.
\end{equation*}
Diese liefert folgende lange exakte Homologiesequenz:
Diese induziert die folgende lange exakte Homologiesequenz:
\begin{equation*}
\cdots \to H_p(F^i K) \to H_p(K) \to H_p(K / F^i K) \to H_{p - 1}(F^i K) \to \cdots
\end{equation*}

120
chapters/chapter3.tex
View file

@ -1,7 +1,7 @@
\chapter{Multiplizitäten}
\label{cha:multiplizitaeten}
In diesem Kapitel wollen wir die Serres Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
In diesem Kapitel wollen wir Serres Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion auf die Diagonale} vorstellen.
\section{Die Multiplizität eines Moduls}
@ -448,7 +448,7 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf \emph{vervollständigte Tensorp
\end{equation}
Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt}
\begin{equation}
M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
M \hatotimes_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
\end{equation}
\end{defn}
@ -477,24 +477,24 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
\end{equation*}
und
\begin{equation*}
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \hatotimes_k N.
\end{equation*}
Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollständigung von $M \otimes_k N$.
\item Der Ring $A \widehat{\otimes}_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei
Weiter ist $M \hatotimes_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollständigung von $M \otimes_k N$.
\item Der Ring $A \hatotimes_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei
\begin{equation*}
\mfr = \mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfn.
\mfr = \mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfn.
\end{equation*}
Allgemeiner ist $\widehat{\Tor}^i_k(M, N)$ vollständig bezüglich der der $\mfr$-adischen Topologie.
Es gilt
\begin{equation*}
(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
(A \hatotimes_k B) / \mfr \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
\end{equation*}
und
\begin{equation*}
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
(M \hatotimes_k N) / \mfr (M \hatotimes_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
\end{equation*}
Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
Weiter ist $A \hatotimes_k B$ noethersch und $M \hatotimes_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \hatotimes_k B)$-Modul.
Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \hatotimes_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
\item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
\begin{align*}
\cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
@ -599,15 +599,15 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
\end{equation*}
und die universelle Eigenschaft des projektiven Limes liefert uns wie gewünscht den Morphismus
\begin{equation*}
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \hatotimes_k N.
\end{equation*}
Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \widehat{\otimes}_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \hatotimes_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
Folglich gilt:
\begin{equation*}
\label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts}\tag{$\bigcirc$}
\begin{aligned}
M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
M \hatotimes_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
&\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))
@ -624,30 +624,30 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
\end{equation*}
Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung ${((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))}_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt
\begin{equation*}
M \widehat{\otimes}_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)).
M \hatotimes_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)).
\end{equation*}
\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollständigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollständigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \hatotimes_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist.
Es gilt also auch
\begin{equation*}
(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes_k B) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
(A \hatotimes_k B) / \mfr \cong (A \otimes_k B) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
\cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
\end{equation*}
und
\begin{equation*}
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
(M \hatotimes_k N) / \mfr (M \hatotimes_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
\end{equation*}
Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \hatotimes_k B)$-Modul.
Folglich sind $\mfr$ und $M \hatotimes_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \hatotimes_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ in $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$.
Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$.
Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ in $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$.
Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$ für alle $a \in A \hatotimes_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \hatotimes_k B)$.
Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \hatotimes_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
\item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
\begin{gather*}
@ -702,13 +702,13 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
Hat $A$ eine $A$-Folge der Länge $n$, dann gilt $\widehat{\Tor}^k_i(M', N) = 0$ für alle freien $A$-Moduln $M'$ und alle $i > 0$.
In diesem Fall ist der Funktor $M \mapsto \widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ der $i$-te linksabgeleitete Funktor des Funktors $M \mapsto M \widehat{\otimes}_k N$.
Insbesondere ist $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
In diesem Fall ist der Funktor $M \mapsto \widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ der $i$-te linksabgeleitete Funktor des Funktors $M \mapsto M \hatotimes_k N$.
Insbesondere ist $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ ein endlich erzeugter $(A \hatotimes_k B)$-Modul.
\end{bem}
Wir wollen nun den für uns wichtigsten Fall untersuchen, nämlich dass $k$ ein Körper ist, $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) =~0$ für $i > 0$, denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$, wobei
Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \hatotimes_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$, wobei
\begin{equation*}
\mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
\end{equation*}
@ -732,7 +732,7 @@ entspricht.
Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$.
Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$ bezüglich $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$, also folgt bereits
\begin{equation*}
A \widehat{\otimes}_k B \cong C.
A \hatotimes_k B \cong C.
\end{equation*}
\begin{prop}
@ -742,28 +742,28 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
Dann gilt
\begin{equation}
\label{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe}
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A).
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A).
\end{equation}
\begin{proof}
Es sei nun $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$ und $M \hatotimes_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \hatotimes_k N)$.
Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \hatotimes_k N$ induziert einen Morphismus
\begin{equation*}
\gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \widehat{\otimes}_k N).
\gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \hatotimes_k N).
\end{equation*}
Ist $\mfm$ das eindeutige Maximalideal von $A$, so sind die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal, und es folgt
Ist $\mfm$ das eindeutige Maximalideal von $A$, so sind die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal, und es folgt
\begin{equation*}
\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N).
\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N).
\end{equation*}
Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, zeigt dies, dass der obige Morphismus ein Isomorphismus ist.
Also gilt
\begin{equation*}
\dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N)
\dim(M \hatotimes_k N) = \dim(M) + \dim(N)
\end{equation*}
und
\begin{equation*}
e_\mfs(M \widehat{\otimes}_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)).
e_\mfs(M \hatotimes_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)).
\end{equation*}
Sind
@ -774,15 +774,15 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
\begin{equation*}
\cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0
\end{equation*}
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist ${(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)}_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist ${(\sum_{p + q = n} K_p \hatotimes_k L_q)}_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \hatotimes_K N$.
Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
Folglich gilt
\begin{equation*}
K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A
K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \hatotimes_k L_q) \otimes_C A
\end{equation*}
und wir erhalten die Formel für der Reduktion auf die Diagonale:
\begin{equation*}
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A)
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A)
\end{equation*}
\end{proof}
\end{prop}
@ -790,27 +790,27 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
\section{Reguläre Ringe gleicher Charakteristik}
\label{sec:regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \widehat{\otimes}_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \hatotimes_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} und \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
\begin{equation*}
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \widehat{\otimes}_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \widehat{\otimes}_k N)
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N)
\end{equation*}
Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so auch $\Tor^A_i(M, N)$.
Außerdem ist auch
\begin{equation*}
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfd (M \widehat{\otimes}_k N) \cong M \widehat{\otimes}_k N \otimes_C C / \mfd \cong M \otimes_A N
(M \hatotimes_k N) / \mfd (M \hatotimes_k N) \cong M \hatotimes_k N \otimes_C C / \mfd \cong M \otimes_A N
\end{equation*}
von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} ist dann die Euler-Poincaré-Charakteristik
\begin{equation*}
\chi(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
\end{equation*}
gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des Ideal $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$.
gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \hatotimes_k N, n)$ des Ideal $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \hatotimes_k N$.
Folglich gilt:
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $\chi(M, N) \ge 0$.
\item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$.
\item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \hatotimes_k N) \le n$.
\item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
\end{enumerate}
@ -1016,8 +1016,8 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
(z_1 \times z_1') \cdot (z_2 \times z_2') = (z_1 \cdot z_2) \times (z_1' \cdot z_2').
\end{equation}
Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind.
Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assoziierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assoziierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ ist (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \emph{Künneth-Formel}:
\begin{equation*}
\Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
@ -1070,7 +1070,7 @@ Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, näm
Die zweite Aussage des Theorems (die \emph{Dimensionsformel}) wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
Die erste Aussage des Theorems (die Nichtnegativität von $\chi(M, N)$) wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
Der Beweis benutzt komplexe Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
\begin{equation*}
@ -1089,22 +1089,22 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
Sei $\pi$ ein Erzeuger des Maximalideals von $k$.
Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, so gilt
\begin{equation*}
\dim M \widehat{\otimes}_k N = \dim M + \dim N - 1
\dim M \hatotimes_k N = \dim M + \dim N - 1
\end{equation*}
und
\begin{equation*}
\Tor^C_p(A, M \widehat{\otimes}_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
\Tor^C_p(A, M \hatotimes_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
\end{equation*}
\begin{proof}
Es gilt
\begin{equation*}
(M \widehat{\otimes}_k N) / \pi (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \pi M) \widehat{\otimes}_k (N / \pi N).
(M \hatotimes_k N) / \pi (M \hatotimes_k N) \cong (M / \pi M) \hatotimes_k (N / \pi N).
\end{equation*}
Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, dann gilt also
\begin{equation*}
\dim M \widehat{\otimes}_k N = \dim M + \dim N - 1.
\dim M \hatotimes_k N = \dim M + \dim N - 1.
\end{equation*}
Sei $C = A \widehat{\otimes}_k B$.
Sei $C = A \hatotimes_k B$.
Analog zum Fall, dass $k$ ein Körper ist, sieht man
\begin{equation*}
C \cong k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]].
@ -1116,7 +1116,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
\end{equation*}
Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, dann degeneriert diese Spektralsequenz und wir erhalten einen Isomorphismus
\begin{equation*}
\Tor^C_p(A, M \widehat{\otimes}_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
\Tor^C_p(A, M \hatotimes_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
\end{equation*}
\end{proof}
\end{prop}
@ -1124,7 +1124,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
\begin{thm}
\label{thm:tor-formel-regulaere-ringe-ungleicher-charakteristik-unverzweigt}
Die Aussage von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} bleibt auch gültig, wenn man die Voraussetzung, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist, durch folgende allgemeinere Voraussetzung ersetzt:
$A$ ist ein regulärer Ring und für jedes Primideal $\mfp$ von $A$ ist der lokale Ring $A_\mfp$ entweder von gleicher Charakteristik, und von ungleicher Charakteristik und unverzweigt.
$A$ ist ein regulärer Ring und für jedes Primideal $\mfp$ von $A$ ist der lokale Ring $A_\mfp$ entweder von gleicher Charakteristik, oder von ungleicher Charakteristik und unverzweigt.
(Tatsächlich genügt es diese Eigenschaft für alle Maximalideale zu fordern, denn ist $A$ ein unverzweigter regulärer lokaler Ring von ungleicher Charakteristik, dann ist jede Lokalisierung $A_\mfp$ vom gleichen Typ, oder von gleicher Charakteristik.)
\begin{proof}
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist ein unverzweigter regulärer vollständiger lokaler Ring isomorph zu einem formalen Potenzreihenring über einem unverzweigten vollständigen diskreten Bewertungsring.
@ -1150,21 +1150,21 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
\item[$\pi$ ist kein Nullteiler auf $M$ und $N$.] Sei $C = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfm$ das Maximalideal von $A$.
Nach \cref{prop:reduktion-auf-die-diagonale-diskreter-bewertungsring} gilt dann
\begin{equation*}
\Tor^A_i(M, N) = \Tor^C_i(A, M \widehat{\otimes}_k N),
\Tor^A_i(M, N) = \Tor^C_i(A, M \hatotimes_k N),
\end{equation*}
wobei wir das Vervollständigte Tensorprodukte $M \widehat{\otimes}_k N$ durch die $\mfm$-adischen Filtrierungen auf $M$ und $N$ erhalten.
wobei wir das Vervollständigte Tensorprodukte $M \hatotimes_k N$ durch die $\mfm$-adischen Filtrierungen auf $M$ und $N$ erhalten.
Außerdem gilt
\begin{equation*}
\dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N) - 1.
\dim(M \hatotimes_k N) = \dim(M) + \dim(N) - 1.
\end{equation*}
Sei $\mfd$ das von den Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ erzeugte Ideal von $C$.
Da die Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
\begin{equation*}
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \widehat{\otimes}_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \widehat{\otimes}_k N)
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N)
\end{equation*}
Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} gilt dann also
\begin{equation*}
\chi(M, N) = e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n + 1)
\chi(M, N) = e_\mfd(M \hatotimes_k N, n + 1)
\end{equation*}
und es folgt die Behauptung in diesem Fall.
\item[$\pi$ annulliert $M$ und ist kein Nullteiler auf $N$.] Wenn wir den Ring $A$ nennen wollen, bezüglich dem $\chi(M, N)$ gebildet wird, so schreiben wir im Folgenden $\chi^A(M, N)$.

16
chapters/einleitung.tex
View file

@ -4,12 +4,12 @@
Die Schnittmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \emph{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \emph{$\ITor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Beispiel {}\cite{fulton1998intersection}).
Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings bleiben etliche Resultate unerwähnt, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet.
Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht.
Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Moduls gerade der Dimension des Moduls entspricht.
Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein.
Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann.
@ -30,16 +30,16 @@ Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \emph{Dimensionsformel} der algebraische
\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
\end{equation*}
Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\widehat{\otimes}$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt:
Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\hatotimes$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt:
\begin{equation*}
\tag{$\ast\ast$}\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen}
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A),
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A),
\end{equation*}
wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \hatotimes_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
\item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\emph{Dimensionsformel}).
\item $\chi^A(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
\item $\chi^A(M, N) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
\end{enumerate}
@ -47,7 +47,7 @@ Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lok
Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist.
\cref{sec:Ausblick} gibt einen kurzen Überblick darüber, welche Resultate in diesem Zusammenhang bereits bewiesen wurden.
Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen Geometrie, denn is $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik.
Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen Geometrie, denn ist $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik.
Seien $U$ und $V$ irreduzible Untervarietäten von $X$ und $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$, in der sich $U$ und $V$ eigentlich schneiden, das heißt
\begin{equation*}
@ -60,7 +60,7 @@ Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, d
i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W).
\end{equation*}
Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen.
Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnitttheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
Wie bereits zu Beginn erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnitttheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren.
So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.

2
custom_commands.tex
View file

@ -45,6 +45,8 @@
\DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
\newcommand{\hatotimes}{\mathbin{\widehat{\otimes}}}
\DeclareMathOperator{\BTor}{\mathbf{Tor}}
\DeclareMathOperator{\ITor}{\mathit{Tor}}