Werners Korrekturen und korrektes Spacing beim vervollständigten Tensorprodukt
This commit is contained in:
parent
a697a0c19e
commit
5dd5d67007
5 changed files with 78 additions and 76 deletions
|
|
@ -1,7 +1,7 @@
|
|||
\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
|
||||
\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
|
||||
|
||||
In diesem Kapitel wollen Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen.
|
||||
In diesem Kapitel wollen wir Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen.
|
||||
Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen.
|
||||
|
||||
\section{Ganzzahlige Polynome}
|
||||
|
|
@ -425,7 +425,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
|
|||
Sei außerdem $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq \subset \mfm$ ein Ideal in $A$ mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
|
||||
|
||||
Wir bezeichnen mit $d(M)$ den Grad von $P_\mfq(M)$.
|
||||
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigenschaften, denn ist $\mfq'$ ein weiteres solches Polynom, dann gilt nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
|
||||
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigenschaften, denn ist $\mfq'$ ein weiteres solches Ideal, dann gilt nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Supp(M) \cap V(\mfq') = \Supp(M / \mfq' M) = \lbrace \mfm \rbrace = \Supp(M / \mfq M) = \Supp(M) \cap V(\mfq).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -2,7 +2,7 @@
|
|||
\label{cha:der-koszul-komplex}
|
||||
|
||||
Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe.
|
||||
Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglicht Samuels Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
|
||||
Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, das es uns ermöglicht Samuels Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
|
||||
|
||||
Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
||||
|
||||
|
|
@ -269,7 +269,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
&\cong K^B_p(\bmy) \otimes_B M \\
|
||||
&= K^B_p(\bmy, M)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*}
|
||||
Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine bijektive Abbildung \begin{equation*}
|
||||
\phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ induzieren dann jeweils beide die Abbildung:
|
||||
|
|
@ -361,7 +361,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
\begin{proof}
|
||||
Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$.
|
||||
Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind dann $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph.
|
||||
Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine reguläre Folge auf $M$ ist, folgt also
|
||||
Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine $B$-reguläre Folge ist, folgt also
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -384,7 +384,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
|
||||
Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) \cong {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph.
|
||||
|
||||
Statten wir die $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, so gilt $K(\bmx, \widehat{M}) \cong \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
|
||||
Statten wir $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, dann gilt $K(\bmx, \widehat{M}) \cong \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
K_p(\bmx, \widehat{M}) \cong \bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
|
||||
= \prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
|
||||
|
|
@ -463,7 +463,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un
|
|||
&\cong K_p(\bmy, \gr(M))
|
||||
\end{align*}
|
||||
und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen der beiden Komplexe.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Wie im Beweise von \cref{thm:samuel-polynom} sieht man, dass $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul ist.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} sieht man, dass $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul ist.
|
||||
Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln.
|
||||
Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugt über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$.
|
||||
Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annulliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
|
||||
|
|
@ -515,7 +515,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
0 \to F^i K \to K \to K / F^i K \to 0.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Diese liefert folgende lange exakte Homologiesequenz:
|
||||
Diese induziert die folgende lange exakte Homologiesequenz:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\cdots \to H_p(F^i K) \to H_p(K) \to H_p(K / F^i K) \to H_{p - 1}(F^i K) \to \cdots
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,7 +1,7 @@
|
|||
\chapter{Multiplizitäten}
|
||||
\label{cha:multiplizitaeten}
|
||||
|
||||
In diesem Kapitel wollen wir die Serres Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
|
||||
In diesem Kapitel wollen wir Serres Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
|
||||
Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion auf die Diagonale} vorstellen.
|
||||
|
||||
\section{Die Multiplizität eines Moduls}
|
||||
|
|
@ -448,7 +448,7 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf \emph{vervollständigte Tensorp
|
|||
\end{equation}
|
||||
Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
|
||||
M \hatotimes_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
|
||||
\end{equation}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
|
|
@ -477,24 +477,24 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
|
|||
\end{equation*}
|
||||
und
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
|
||||
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \hatotimes_k N.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollständigung von $M \otimes_k N$.
|
||||
\item Der Ring $A \widehat{\otimes}_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei
|
||||
Weiter ist $M \hatotimes_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollständigung von $M \otimes_k N$.
|
||||
\item Der Ring $A \hatotimes_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mfr = \mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfn.
|
||||
\mfr = \mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfn.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Allgemeiner ist $\widehat{\Tor}^i_k(M, N)$ vollständig bezüglich der der $\mfr$-adischen Topologie.
|
||||
Es gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
|
||||
(A \hatotimes_k B) / \mfr \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
|
||||
(M \hatotimes_k N) / \mfr (M \hatotimes_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
|
||||
Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
|
||||
Weiter ist $A \hatotimes_k B$ noethersch und $M \hatotimes_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \hatotimes_k B)$-Modul.
|
||||
Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \hatotimes_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
|
||||
\item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
|
||||
|
|
@ -599,15 +599,15 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
|
|||
\end{equation*}
|
||||
und die universelle Eigenschaft des projektiven Limes liefert uns wie gewünscht den Morphismus
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
|
||||
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \hatotimes_k N.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \widehat{\otimes}_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
|
||||
Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \hatotimes_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
|
||||
Folglich gilt:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts}\tag{$\bigcirc$}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
|
||||
M \hatotimes_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
|
||||
&\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
|
||||
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
|
||||
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))
|
||||
|
|
@ -624,30 +624,30 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
|
|||
\end{equation*}
|
||||
Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung ${((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))}_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M \widehat{\otimes}_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)).
|
||||
M \hatotimes_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollständigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
|
||||
\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollständigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \hatotimes_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
|
||||
Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist.
|
||||
Es gilt also auch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes_k B) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
|
||||
(A \hatotimes_k B) / \mfr \cong (A \otimes_k B) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
|
||||
\cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
|
||||
(M \hatotimes_k N) / \mfr (M \hatotimes_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
|
||||
Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
|
||||
Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
|
||||
Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
|
||||
Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \hatotimes_k B)$-Modul.
|
||||
Folglich sind $\mfr$ und $M \hatotimes_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
|
||||
|
||||
Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
|
||||
Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \hatotimes_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
|
||||
|
||||
Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ in $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$.
|
||||
Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$.
|
||||
Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
|
||||
Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ in $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$.
|
||||
Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$ für alle $a \in A \hatotimes_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \hatotimes_k B)$.
|
||||
Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \hatotimes_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
|
||||
\item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
|
||||
Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
|
|
@ -702,13 +702,13 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
|
|||
Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
|
||||
|
||||
Hat $A$ eine $A$-Folge der Länge $n$, dann gilt $\widehat{\Tor}^k_i(M', N) = 0$ für alle freien $A$-Moduln $M'$ und alle $i > 0$.
|
||||
In diesem Fall ist der Funktor $M \mapsto \widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ der $i$-te linksabgeleitete Funktor des Funktors $M \mapsto M \widehat{\otimes}_k N$.
|
||||
Insbesondere ist $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
|
||||
In diesem Fall ist der Funktor $M \mapsto \widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ der $i$-te linksabgeleitete Funktor des Funktors $M \mapsto M \hatotimes_k N$.
|
||||
Insbesondere ist $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ ein endlich erzeugter $(A \hatotimes_k B)$-Modul.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
Wir wollen nun den für uns wichtigsten Fall untersuchen, nämlich dass $k$ ein Körper ist, $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
|
||||
In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) =~0$ für $i > 0$, denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
|
||||
Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$, wobei
|
||||
Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \hatotimes_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$, wobei
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -732,7 +732,7 @@ entspricht.
|
|||
Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$.
|
||||
Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$ bezüglich $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$, also folgt bereits
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
A \widehat{\otimes}_k B \cong C.
|
||||
A \hatotimes_k B \cong C.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{prop}
|
||||
|
|
@ -742,28 +742,28 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
|
|||
Dann gilt
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe}
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A).
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A).
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es sei nun $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
|
||||
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
|
||||
Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
|
||||
Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus
|
||||
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$ und $M \hatotimes_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
|
||||
Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \hatotimes_k N)$.
|
||||
Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \hatotimes_k N$ induziert einen Morphismus
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \widehat{\otimes}_k N).
|
||||
\gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \hatotimes_k N).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Ist $\mfm$ das eindeutige Maximalideal von $A$, so sind die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal, und es folgt
|
||||
Ist $\mfm$ das eindeutige Maximalideal von $A$, so sind die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal, und es folgt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N).
|
||||
\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, zeigt dies, dass der obige Morphismus ein Isomorphismus ist.
|
||||
Also gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N)
|
||||
\dim(M \hatotimes_k N) = \dim(M) + \dim(N)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
e_\mfs(M \widehat{\otimes}_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)).
|
||||
e_\mfs(M \hatotimes_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Sind
|
||||
|
|
@ -774,15 +774,15 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
\cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist ${(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)}_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.
|
||||
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist ${(\sum_{p + q = n} K_p \hatotimes_k L_q)}_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \hatotimes_K N$.
|
||||
Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
|
||||
Folglich gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A
|
||||
K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \hatotimes_k L_q) \otimes_C A
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und wir erhalten die Formel für der Reduktion auf die Diagonale:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A)
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
|
@ -790,27 +790,27 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
|
|||
\section{Reguläre Ringe gleicher Charakteristik}
|
||||
\label{sec:regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
|
||||
|
||||
Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \widehat{\otimes}_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
|
||||
Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \hatotimes_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
|
||||
Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
|
||||
Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} und \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \widehat{\otimes}_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \widehat{\otimes}_k N)
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so auch $\Tor^A_i(M, N)$.
|
||||
Außerdem ist auch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfd (M \widehat{\otimes}_k N) \cong M \widehat{\otimes}_k N \otimes_C C / \mfd \cong M \otimes_A N
|
||||
(M \hatotimes_k N) / \mfd (M \hatotimes_k N) \cong M \hatotimes_k N \otimes_C C / \mfd \cong M \otimes_A N
|
||||
\end{equation*}
|
||||
von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} ist dann die Euler-Poincaré-Charakteristik
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\chi(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
|
||||
\end{equation*}
|
||||
gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des Ideal $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$.
|
||||
gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \hatotimes_k N, n)$ des Ideal $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \hatotimes_k N$.
|
||||
Folglich gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
|
||||
\item $\chi(M, N) \ge 0$.
|
||||
\item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$.
|
||||
\item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \hatotimes_k N) \le n$.
|
||||
\item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1016,8 +1016,8 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
|
|||
(z_1 \times z_1') \cdot (z_2 \times z_2') = (z_1 \cdot z_2) \times (z_1' \cdot z_2').
|
||||
\end{equation}
|
||||
Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind.
|
||||
Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
|
||||
Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assoziierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
|
||||
Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
|
||||
Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assoziierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ ist (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
|
||||
Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \emph{Künneth-Formel}:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
|
||||
|
|
@ -1070,7 +1070,7 @@ Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, näm
|
|||
Die zweite Aussage des Theorems (die \emph{Dimensionsformel}) wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
|
||||
|
||||
Die erste Aussage des Theorems (die Nichtnegativität von $\chi(M, N)$) wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
|
||||
Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
|
||||
Der Beweis benutzt komplexe Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
|
||||
|
||||
Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|
|
@ -1089,22 +1089,22 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
|
|||
Sei $\pi$ ein Erzeuger des Maximalideals von $k$.
|
||||
Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, so gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\dim M \widehat{\otimes}_k N = \dim M + \dim N - 1
|
||||
\dim M \hatotimes_k N = \dim M + \dim N - 1
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^C_p(A, M \widehat{\otimes}_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
|
||||
\Tor^C_p(A, M \hatotimes_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Es gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
(M \widehat{\otimes}_k N) / \pi (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \pi M) \widehat{\otimes}_k (N / \pi N).
|
||||
(M \hatotimes_k N) / \pi (M \hatotimes_k N) \cong (M / \pi M) \hatotimes_k (N / \pi N).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, dann gilt also
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\dim M \widehat{\otimes}_k N = \dim M + \dim N - 1.
|
||||
\dim M \hatotimes_k N = \dim M + \dim N - 1.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Sei $C = A \widehat{\otimes}_k B$.
|
||||
Sei $C = A \hatotimes_k B$.
|
||||
Analog zum Fall, dass $k$ ein Körper ist, sieht man
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
C \cong k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]].
|
||||
|
|
@ -1116,7 +1116,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
|
|||
\end{equation*}
|
||||
Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, dann degeneriert diese Spektralsequenz und wir erhalten einen Isomorphismus
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^C_p(A, M \widehat{\otimes}_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
|
||||
\Tor^C_p(A, M \hatotimes_k N) \cong \Tor^A_p(M, N).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
|
@ -1124,7 +1124,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
|
|||
\begin{thm}
|
||||
\label{thm:tor-formel-regulaere-ringe-ungleicher-charakteristik-unverzweigt}
|
||||
Die Aussage von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} bleibt auch gültig, wenn man die Voraussetzung, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist, durch folgende allgemeinere Voraussetzung ersetzt:
|
||||
$A$ ist ein regulärer Ring und für jedes Primideal $\mfp$ von $A$ ist der lokale Ring $A_\mfp$ entweder von gleicher Charakteristik, und von ungleicher Charakteristik und unverzweigt.
|
||||
$A$ ist ein regulärer Ring und für jedes Primideal $\mfp$ von $A$ ist der lokale Ring $A_\mfp$ entweder von gleicher Charakteristik, oder von ungleicher Charakteristik und unverzweigt.
|
||||
(Tatsächlich genügt es diese Eigenschaft für alle Maximalideale zu fordern, denn ist $A$ ein unverzweigter regulärer lokaler Ring von ungleicher Charakteristik, dann ist jede Lokalisierung $A_\mfp$ vom gleichen Typ, oder von gleicher Charakteristik.)
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist ein unverzweigter regulärer vollständiger lokaler Ring isomorph zu einem formalen Potenzreihenring über einem unverzweigten vollständigen diskreten Bewertungsring.
|
||||
|
|
@ -1150,21 +1150,21 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
|
|||
\item[$\pi$ ist kein Nullteiler auf $M$ und $N$.] Sei $C = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfm$ das Maximalideal von $A$.
|
||||
Nach \cref{prop:reduktion-auf-die-diagonale-diskreter-bewertungsring} gilt dann
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^A_i(M, N) = \Tor^C_i(A, M \widehat{\otimes}_k N),
|
||||
\Tor^A_i(M, N) = \Tor^C_i(A, M \hatotimes_k N),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei wir das Vervollständigte Tensorprodukte $M \widehat{\otimes}_k N$ durch die $\mfm$-adischen Filtrierungen auf $M$ und $N$ erhalten.
|
||||
wobei wir das Vervollständigte Tensorprodukte $M \hatotimes_k N$ durch die $\mfm$-adischen Filtrierungen auf $M$ und $N$ erhalten.
|
||||
Außerdem gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N) - 1.
|
||||
\dim(M \hatotimes_k N) = \dim(M) + \dim(N) - 1.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Sei $\mfd$ das von den Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ erzeugte Ideal von $C$.
|
||||
Da die Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \widehat{\otimes}_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \widehat{\otimes}_k N)
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} gilt dann also
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\chi(M, N) = e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n + 1)
|
||||
\chi(M, N) = e_\mfd(M \hatotimes_k N, n + 1)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und es folgt die Behauptung in diesem Fall.
|
||||
\item[$\pi$ annulliert $M$ und ist kein Nullteiler auf $N$.] Wenn wir den Ring $A$ nennen wollen, bezüglich dem $\chi(M, N)$ gebildet wird, so schreiben wir im Folgenden $\chi^A(M, N)$.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -4,12 +4,12 @@
|
|||
Die Schnittmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \emph{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
|
||||
Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \emph{$\ITor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Beispiel {}\cite{fulton1998intersection}).
|
||||
|
||||
Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
|
||||
Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings bleiben etliche Resultate unerwähnt, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
|
||||
Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
|
||||
|
||||
\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
|
||||
Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet.
|
||||
Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht.
|
||||
Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Moduls gerade der Dimension des Moduls entspricht.
|
||||
|
||||
Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein.
|
||||
Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann.
|
||||
|
|
@ -30,16 +30,16 @@ Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \emph{Dimensionsformel} der algebraische
|
|||
\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\widehat{\otimes}$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt:
|
||||
Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\hatotimes$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\tag{$\ast\ast$}\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen}
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A),
|
||||
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \hatotimes_k N, A),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
|
||||
wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \hatotimes_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
|
||||
|
||||
Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
|
||||
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
|
||||
\item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
|
||||
\item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\emph{Dimensionsformel}).
|
||||
\item $\chi^A(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
|
||||
\item $\chi^A(M, N) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -47,7 +47,7 @@ Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lok
|
|||
Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist.
|
||||
\cref{sec:Ausblick} gibt einen kurzen Überblick darüber, welche Resultate in diesem Zusammenhang bereits bewiesen wurden.
|
||||
|
||||
Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen Geometrie, denn is $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik.
|
||||
Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen Geometrie, denn ist $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik.
|
||||
|
||||
Seien $U$ und $V$ irreduzible Untervarietäten von $X$ und $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$, in der sich $U$ und $V$ eigentlich schneiden, das heißt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|
|
@ -60,7 +60,7 @@ Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, d
|
|||
i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen.
|
||||
Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnitttheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
|
||||
Wie bereits zu Beginn erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnitttheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
|
||||
|
||||
Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren.
|
||||
So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -45,6 +45,8 @@
|
|||
\DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
|
||||
|
||||
\newcommand{\hatotimes}{\mathbin{\widehat{\otimes}}}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\BTor}{\mathbf{Tor}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\ITor}{\mathit{Tor}}
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue