added proof of lemma 2.8

Ausarbeitung.tex

@@ -75,7 +75,7 @@ Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewiss
 		\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
 	\end{enumerate}
 	\begin{proof}
-		\cite[Chapter II. B 2. Lemma 2.]{chin2012local} %TODO: Vielleicht Beweis ausführen
+		{}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen
 	\end{proof}
 \end{lem}
 
@@ -83,7 +83,7 @@ Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewiss
 \label{sec:das-hilbert-polynom}
 
 Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
-\begin{enumerate}[a)]
+\begin{enumerate}[(a)]
 	\item $H_0$ ist artinsch.
 	\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.  
 \end{enumerate}
@@ -95,7 +95,7 @@ Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
 \end{align*}
 also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
 \begin{align*}
-	\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N\\
+	\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
 	n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
 \end{align*}
 Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
@@ -118,7 +118,7 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
 		\begin{equation*}
 			\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
 		\end{equation*}
-		Wegen $X_rR = X_rN = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
+		Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
 	\end{proof}
 \end{thm}
 
@@ -147,9 +147,9 @@ Sei $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
 	&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
 	&M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
 \end{align*}
-Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^nM$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^nM$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
+Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
 \begin{align*}
-	f_M \colon \N &\to \N\\
+	f_M \colon \N &\to \N \\
 	n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
 \end{align*}
 wohldefiniert.
@@ -188,7 +188,7 @@ wohldefiniert.
 	\end{equation}
 	wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
 	
-	Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^iM))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
+	Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
 \end{bem}
 
 \begin{lem}
@@ -198,9 +198,24 @@ wohldefiniert.
 	\end{equation*}
 	wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist.
 	\begin{proof}
-		
+		Sei  $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$. Für alle $n \ge 0$ gilt dann 
+		\begin{equation*}
+			\mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
+		\end{equation*}
+		also gilt für große $n$:
+		\begin{equation*}
+			P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
+		\end{equation*}
+		Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
 	\end{proof}
 \end{lem}
+
+Wir wenden uns nun hauptsächlich dem Polynom $P_\mfq(M)$ und seinem führendem Term zu.
+
+\begin{prop}
+	\label{}
+\end{prop}
+
 \printbibliography
 
 \chapter*{Eigenständigkeitserklärung}