Multiplizität eines Moduls fertig
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@ -10,7 +10,7 @@ Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
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\begin{defn}[Gruppe der Zykel eines Rings]
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\label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings}
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Sei $A$ ein nötherscher Ring.
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Sei $A$ ein noetherscher Ring.
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Die freie abelsche Gruppe $Z(A) = \bigoplus_{\Spec(A)} \Z$ heißt \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$.
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Ihre Elemente werden \textbf{Zykel} genannt.
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Wir nennen einen Zykel $Z$ \textbf{positiv}, falls er von der Form
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@ -22,16 +22,16 @@ Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
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\begin{defn}
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\label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings-der-dimension}
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Sei $A$ ein nötherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
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Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
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Für alle $p \in \N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) =~p$ erzeugt wird.
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Wir nennen $\Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ \textbf{der Dimension} $p$.
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Wir nennen $\Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ der Dimension $p$.
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Offensichtlich gilt $Z(A) = \bigoplus_{p = 0}^n Z_p(A)$.
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\end{defn}
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Ist $A$ ein nötherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln mit $K(A)$ und die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln von Dimension $\le p$ mit $K_p(A)$.
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Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln mit $K(A)$ und die abelsche Kategorie der endlich erzeugten $A$-Moduln von Dimension $\le p$ mit $K_p(A)$.
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\begin{lem}
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Sei $A$ ein nötherscher Ring und $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine kurze exakte Sequenz in $K(A)$.
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Sei $A$ ein noetherscher Ring und $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine kurze exakte Sequenz in $K(A)$.
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Sind $M$ und $P$ in $K_p(A)$, so auch $N$.
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\begin{proof}
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Lokalisieren liefert sofort $\Supp(N) = \Supp(M) \cup \Supp(P)$, also
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@ -43,12 +43,14 @@ Ist $A$ ein nötherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{lem}
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Sei $A$ ein nötherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$.
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\label{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
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Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$.
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Sei weiter $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$.
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Dann ist $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
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Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine Kompositionsreihe von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
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Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
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\begin{proof}
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Ist $\mfq \notin \Supp(M)$, so gilt $M_\mfq = 0$ und damit $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = 0 < \infty$.
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Ist $\mfp \in \Supp(M)$, so gilt wegen $\dim_A(M) \le p$:
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@ -65,9 +67,118 @@ Ist $A$ ein nötherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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\end{align*}
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also enthält $\Supp(M_\mfq)$ nur das eindeutige Maximalideal von $A_\mfq$.
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Mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
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Aus der aufsteigenden Folge von Untermoduln von $M$ erhalten wir durch Lokalisieren an $\mfq$:
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\begin{equation*}
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0 = {M_0}_{\mfq} \subset \ldots \subset {M_s}_{\mfq} = M_\mfq
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\end{equation*}
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Dabei gilt
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\begin{equation*}
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{M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \cong {(M_i / M_{i - 1})}_\mfq \cong {(A / \mfr_i)}_\mfq,
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\end{equation*}
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also ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq$ genau dann $0$, wenn $(A \setminus \mfq) \cap \mfr_i \neq \emptyset$, also wenn $\mfr_i \not\subset \mfq$.
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Wir wollen nun $\mfr_i \in \Supp(M)$ zeigen.
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Dazu betrachten wir die kurzen exakten Sequenzen
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\begin{equation*}
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0 \to {M_{j - 1}}_{\mfr_i} \to {M_{j}}_{\mfr_i} \to {(M_j / M_{j - 1})}_{\mfr_i} \to 0.
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\end{equation*}
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Diese zeigen, dass ${M_j}_{\mfr_i} = 0$ genau dann gilt, wenn ${M_{j - 1}}_{\mfr_i} = 0$ und ${(M_j / M_{j - 1})}_{\mfr_i} = 0$.
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Wir wissen aber
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\begin{equation*}
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{(M_i / M_{i - 1})}_{\mfr_i} = {(A / \mfr_i)}_{\mfr_i} = \Quot(A / \mfr_i) \neq 0,
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\end{equation*}
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also folgt für alle $j \ge i$ induktiv ${M_j}_{\mfr_i} \neq 0$ und insbesondere $M_{\mfr_i} \neq 0$, also $\mfr_i \in \Supp(M)$.
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Ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$, so haben wir oben bereits gesehen, dass $\mfr_i \subset \mfq$ gilt.
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Aber wegen $\mfr_i \in \Supp(M)$ und weil $\mfq$ das einzige Primideal in $\Supp(M)$ ist, das in $\mfq$ enthalten ist, folgt bereits $\mfr_i = \mfq$.
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Folglich gilt für alle ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$ bereits ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq = \Quot(A / \mfq)$ und insbesondere sind sie einfache $A_\mfq$-Moduln.
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Durch Weglassen von gleichen Untermoduln erhalten wir also eine Kompositionsreihe von $M_\mfq$ über $A_\mfq$, deren Länge die Anzahl $k$ der Indizes $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfq$ ist.
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Demnach gilt auch $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = k$.
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{defn}
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Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring.
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Dann definieren wir folgende Funktion:
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\begin{align*}
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z_p \colon K_p(A) &\to Z_p(A) \\
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M & \mapsto \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) \mfq
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\end{align*}
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Wir nennen $z_p(M)$ den zu $M$ gehörigen \textbf{Zykel} der Dimension $p$.
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Da die Länge von $A$-Moduln additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist, ist es auch die Funktion $z_p$.
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Ist $M \in K_{p - 1}(A)$ und $\mfq \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfq) = p$, so gilt $\mfq \notin \Supp(M)$, da $\dim(M) < p$.
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Also folgt $z_p(M) = 0$ das heißt die funktion $z_p$ ist null auf ganz $K_{p - 1}(A)$.
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\end{defn}
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\begin{bem}
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Ist $A$ ein noetherscher lokaler Integritätsring der Dimension $n$, so ist $\mfq = (0)$ das einzige Primideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = n$.
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Folglich gilt $Z_n(A) \cong \Z$.
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Ist $M \in K_n(A)$, so gilt
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\begin{equation*}
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z_n(M) = \length_{A_{(0)}}(M_{(0)}) = \dim_{\Quot(A)}(M \otimes_A \Quot(A)) = \rk(M).
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\end{equation*}
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\end{bem}
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\begin{defn}[Multiplizität eines Moduls]
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Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
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Sei $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$.
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Ist $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul, dann gilt insbesondere $\length_A(M / \mfa M) < \infty$ und mit \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} folgt $\deg(P_\mfa(M)) = \dim(M)$.
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Wir nennen dann $e_\mfa(M) \coloneqq e_\mfa(M, \dim(M))$ die \textbf{Multiplizität} von $M$ bezüglich $\mfa$.
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Allgemeiner betrachten wir $e_\mfa(M, p)$ für $\dim(M) \le p$.
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Dies liefert uns eine Funktion
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\begin{align*}
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e_\mfa(\bullet, p) \colon K_p(A) &\to \N \\
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M & \mapsto e_\mfa(M, p),
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\end{align*}
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die nach \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
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Per Definition ist sie null auf $K_{p - 1}(A)$.
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Ist $\mfa = \mfm$, so nennen wir $e_\mfa(M) = e_\mfm(M)$ die \textbf{Multiplizität} von $M$.
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Insbesondere heißt $e_\mfm(A)$ die \textbf{Multiplizität} des lokalen Rings $A$.
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\end{defn}
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\begin{lem}
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Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \textbf{Additivitäts-Formel}:
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\begin{equation*}
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e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
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\end{equation*}
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\begin{proof}
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Es gibt einen aufsteigende Folge $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$ (siehe {}\cite[Chapter~I, Corollary~2 nach Proposition~5]{serre2000local}).
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Wir wollen nun durch Induktion über $s$ zeigen, dass
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\begin{equation*}
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e_\mfa(M_s, p) = \sum_{i = 1}^s e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p)
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\end{equation*}
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gilt.
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Wegen $M_1 = M_1 / M_0$ haben wir im Fall $s = 1$
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\begin{equation*}
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e_\mfa(M_1, p) = e_\mfa(M_1 / M_0, p) = \sum_{i = 1}^1 e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p).
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\end{equation*}
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Sei nun also $s > 1$ und die Behauptung bereits für $s - 1$ gezeigt.
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Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
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\begin{equation*}
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0 \to M_{s - 1} \to M_s \to M_s / M_{s - 1} \to 0.
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\end{equation*}
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Mit \cref{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet} und der Induktionsvoraussetzung folgt dann
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\begin{align*}
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e_\mfa(M_s, p) &= e_\mfa(M_{s - 1}, p) + e_\mfa(M_s / M_{s - 1}, p) \\
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&= \sum_{i = 1}^{s - 1} e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p) + e_\mfa(M_s / M_{s - 1}, p) \\
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&= \sum_{i = 1}^s e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p).
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\end{align*}
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Wie bereits im Beweis von \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge} gesehen, gilt $\mfr_i \in \Supp(M)$ und damit folgt $\dim(A / \mfr_i) \le p$.
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Ist $\dim(A / \mfr_i) < p$, so ist $e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p) = 0$, also folgt mit \cref{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
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\begin{equation*}
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e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{bem}
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Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$ mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\bmx = (x_1, \ldots, x_n) \subset \mfm$ mit $\length_A(A / \bmx A) < \infty$.
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Ist $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul, dann gilt $\length_A(M / \bmx M) < \infty$ und nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} gilt
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\begin{equation*}
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e_{\bmx}(M, n) = \chi(\bmx, M) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i h_i(\bmx, M),
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\end{equation*}
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wobei $h_i(\bmx, M)$ die Länge der $i$-ten Homologiegruppe des Koszul-Komplexes $K(\bmx, M)$ ist.
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\end{bem}
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\section{Reduktion auf die Diagonale}
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\label{sec:reduktion-auf-die-diagonale}
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@ -32,7 +32,9 @@
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\DeclareMathOperator{\height}{ht}
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\DeclareMathOperator{\map}{map}
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\DeclareMathOperator{\Mod}{Mod}
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\DeclareMathOperator{\Quot}{Quot}
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\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
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\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
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\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
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\DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
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\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
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