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@ -31,6 +31,7 @@
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"Potenzreihenring",
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"Potenzreihenringe",
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"Potenzreihenringen",
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"Restklassenkörper",
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"Schnittmultiplizitäten",
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"Serre",
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"Serres",
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@ -47,5 +48,6 @@
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"kofinal",
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"kofinale",
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"surjektiven"
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]
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],
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"cSpell.enabled": false
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}
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@ -119,3 +119,11 @@ tures},
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year={1998},
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publisher={Springer New York}
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}
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@book{weibel1995introduction,
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title={An Introduction to Homological Algebra},
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author={Weibel, Charles A.},
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series={Cambridge Studies in Advanced Mathematics},
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year={1995},
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publisher={Cambridge University Press}
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}
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@ -699,6 +699,10 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\begin{bem}
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Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ gewählt werden.
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Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
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Hat $A$ eine $A$-Folge der Länge $n$, dann gilt $\widehat{\Tor}^k_i(M', N) = 0$ für alle freien $A$-Moduln $M'$ und alle $i > 0$.
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In diesem Fall ist der Funktor $M \mapsto \widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ der $i$-te linksabgeleitete Funktor des Funktors $M \mapsto M \widehat{\otimes}_k N$.
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Insbesondere ist $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
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\end{bem}
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Wir wollen nun den für uns wichtigsten Fall untersuchen, nämlich dass $k$ ein Körper ist, $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
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@ -783,7 +787,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
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\end{prop}
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\section{Reguläre Ringe gleicher Charakteristik}
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\label{regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
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\label{sec:regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
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Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \widehat{\otimes}_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
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Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
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@ -1122,3 +1126,144 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
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Durch Lokalisieren und Vervollständigen wie im Beweis von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} genügt es folgendes Lemma zu beweisen:
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\end{proof}
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\end{thm}
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\begin{lem}
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\label{lem:tor-formel-potenzreihernring-diskreter-bewertungsring}
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Sei $k$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln mit der Eigenschaft, dass $M \otimes_A N$ von endlicher Länge ist.
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Dann gilt:
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item $\chi(M, N) \coloneqq \sum_{i = 1}^{n + 1} \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
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\item $\dim(M) + \dim(N) \le \dim(A) = n + 1$.
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\item $\chi(M, N) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < \dim(A)$.
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, ist $\chi(M, N)$ \enquote{biadditiv} in $M$ und $N$.
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Indem wir Kompositionsreihen von $M$ und $N$ wählen, deren Quotienten die Form $A / \mfp$ für Primideale $\mfp$ von $A$ haben (siehe {}\cite[Chapter~I, Corollary~2 nach Proposition~5]{serre2000local}), können wir uns also auf den Fall $M = A / \mfp$ und $N = A / \mfq$ für Primideale $\mfp$ und $\mfq$ von $A$ beschränken.
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Insbesondere ist dann jeder Endomorphismus auf $M$ und $N$, der durch skalare Multiplikation gegeben ist, entweder injektiv oder der Nullmorphismus.
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Sei nun $\pi$ ein Erzeuger des Maximalideals von $k$, dann betrachten wir die folgenden verschiedenen Fälle:
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\begin{description}
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\item[$\pi$ ist kein Nullteiler auf $M$ und $N$.] Sei $C = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfm$ das Maximalideal von $A$.
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Nach \cref{prop:reduktion-auf-die-diagonale-diskreter-bewertungsring} gilt dann
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\begin{equation*}
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\Tor^A_i(M, N) = \Tor^C_i(A, M \widehat{\otimes}_k N),
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\end{equation*}
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wobei wir das Vervollständigte Tensorprodukte $M \widehat{\otimes}_k N$ durch die $\mfm$-adischen Filtrierungen auf $M$ und $N$ erhalten.
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Außerdem gilt
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\begin{equation*}
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\dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N) - 1
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\end{equation*}
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Sei $\mfd$ das von den Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ erzeugte Ideal von $C$.
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Da die Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
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\begin{equation*}
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\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \widehat{\otimes}_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \widehat{\otimes}_k N)
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\end{equation*}
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Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} gilt dann also
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\begin{equation*}
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\chi(M, N) = e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n + 1)
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\end{equation*}
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und es folgt die Behauptung in diesem Fall.
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\item[$\pi$ annulliert $M$ und ist kein Nullteiler auf $N$.] Wenn wir den Ring $A$ nennen wollen, bezüglich dem $\chi(M, N)$ gebildet wird, so schreiben wir im Folgenden $\chi^A(M, N)$.
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Sei $\overline{M} = M / \pi M$ und $\overline{A} = A / \pi A$.
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Wegen $\pi M = 0$ folgt $\overline{M} = M$, also ist $M$ auf kanonische Weise ein $\overline{A}$-Modul.
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Wir haben die Basiswechsel Spektralsequenz
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\begin{equation*}
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E^2_{p, q} = \Tor^{\overline{A}}_p(M, \Tor^A_q(\overline{A}, N)) \Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, N)
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\end{equation*}
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(siehe {}\cite[Applications~5.8.5]{weibel1995introduction}).
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Die kurze exakte Sequenz
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow A \overset{\cdot \pi}{\longrightarrow} A \longrightarrow \overline{A} \longrightarrow 0
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\end{equation*}
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liefert eine freie und damit projektive Auflösung von $\overline{A}$ als $A$-Modul.
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Also ist die homologische Dimension von $\overline{A}$ als $\overline{A}$-Modul $\le 1$.
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Insbesondere ist also auch die flache Dimension von $\overline{A}$ als $A$-Modul $\le 1$ und wir haben $\Tor^A_q(\overline{A}, N) = 0$ für $q > 1$.
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Für $q \neq 0, 1$ gilt also bereits $E^2_{p, q} = 0$.
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Außerdem gilt
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\begin{equation*}
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\overline{A} \otimes_A N \cong N / \pi N
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\end{equation*}
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und die obige Auflösung zeigt auch
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\begin{equation*}
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\Tor^A_1(\overline{A}, N) = \prescript{}{\pi}{N} \coloneqq \Ann_N(\pi) = \lbrace n \in N \mid \pi n = 0 \rbrace.
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\end{equation*}
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Demnach erhalten wir folgende lange exakte Sequenz:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}[column sep=small]
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\cdots \ar[r] & \Tor^A_{p + 1}(M, N) \ar[r] & \Tor^{\overline{A}}_{p + 1}(M, N / \pi N) \ar[r] \ar[d, phantom, ""{coordinate, name=Z}]
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& \Tor^{\overline{A}}_{p - 1}(M, \prescript{}{\pi}{N}) \arrow[dll,
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rounded corners,
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to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
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|- (Z) [near end]\tikztonodes
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-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
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-- (\tikztotarget)}] \\
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& \Tor^A_{p}(M, N) \ar[r] & \Tor^{\overline{A}}_{p}(M, N / \pi N) \ar[r] & \Tor^{\overline{A}}_{p - 2}(M, \prescript{}{\pi}{N}) \ar[r] & \cdots
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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Nach Voraussetzung gilt aber $\prescript{}{\pi}{N} = 0$, also haben wir Isomorphismen
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\begin{equation*}
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\Tor^A_{p}(M, N) \cong \Tor^{\overline{A}}_{p}(M, N / \pi N)
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\end{equation*}
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und es folgt
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\begin{equation*}
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\chi^A(M, N) = \chi^{\overline{A}}(M, N / \pi N).
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\end{equation*}
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Aber $\overline{A}$ ist der formale Potenzreihenring in $n$ Variablen über dem Restklassenkörper $\overline{k} = k / \pi k$ von $k$ und $M \otimes_{\overline{A}} (N / \pi N) \cong M \otimes_A N \otimes_A \overline{A}$ ist von endlicher Länge.
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Wir sind nun also in dem Fall, den wir zu Beginn von \cref{sec:regulaere-ringe-gleicher-charakteristik} behandelt haben und es folgt
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\begin{equation*}
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\chi(M, N) \ge 0
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\end{equation*}
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und
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\begin{equation*}
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\dim_{\overline{A}}(M) + \dim_{\overline{A}}(N / \pi N) \le n,
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\end{equation*}
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wobei die Ungleichheit genau dann echt ist, wenn $\chi^{\overline{A}}(M, N / \pi N) = 0$.
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Wegen $\dim_A(M) = \dim_{\overline{A}}(M)$ und $\dim_{\overline{A}}(N / \pi N) = \dim_A(N / \pi N) = \dim_A(N) - 1$ folgt die Behauptung in diesem Fall.
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\item[$\pi$ annulliert $M$ und $N$.] Wie im vorherigen Fall betrachten wir $M$ als $\overline{A}$-Modul.
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Die lange exakte Sequenz, die wir aus der Basiswechsel Spektralsequenz erhalten haben, liefert uns nun
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\begin{equation*}
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\chi^A(M, N) = \chi^{\overline{A}}(M, N / \pi N) - \chi^{\overline{A}}(M, \prescript{}{\pi}{N}).
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\end{equation*}
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Nach Voraussetzung gilt aber $\pi N = 0$ und es folgt $N / \pi N = \prescript{}{\pi}{N} = N$, also gilt bereits $\chi^A(M, N) = 0$.
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Wir müssen also nur noch
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\begin{equation*}
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\dim_A(M) + \dim_A(N) < n + 1
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\end{equation*}
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zeigen.
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Weil $M \otimes_A N = M \otimes_{\overline{A}} N$ von endlicher Länge ist und $\overline{A}$ der formale Potenzreihenring in $n$ Variablen über $\overline{k}$ ist, sind wir wieder in dem Fall, den wir zu Beginn von \cref{sec:regulaere-ringe-gleicher-charakteristik} behandelt haben und es folgt
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\begin{equation*}
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\dim_A(M) + \dim_A(N) = \dim_{\overline{A}}(M) + \dim_{\overline{A}}(N) \le n < n + 1
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\end{equation*}
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und die Behauptung folgt auch in diesem Fall.
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\end{description}
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{thm}
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\label{thm:dimensions-formel-der-algebraischen-geometrie}
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Seien $A$ ein regulärer Ring, $\mfp$ und $\mfq$ zwei Primideale von $A$ und $\mfr$ ein minimales Element in $V(\mfp + \mfq)$.
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\height(\mfp) + \height(\mfq) \ge \height(\mfr).
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\end{equation*}
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\begin{proof}
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Indem wir bei $\mfr$ lokalisieren, können wir annehmen, dass $A$ lokal mit maximalem Ideal $\mfr$ ist.
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In diesem Fall können wir die Behauptung auf folgende Weise umformulieren:
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Sind $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln mit $\length(M \otimes_A N) < \infty$, so gilt $\dim(M) + \dim(N) \le \dim(A)$.
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Um diese Behauptung zu zeigen, können wir annehmen, dass $A$ vollständig ist.
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Dann gibt es einen formalen Potenzreihenring $A_1$ über einem vollständigen diskreten Bewertungsring und ein $a \in A_1 \setminus \lbrace 0 \rbrace$ mit $A \cong A_1 / a A_1$ und $\dim(A) = \dim(A_1) - 1$ (siehe {}\cite[Corollary~3 nach Theorem~15]{cohen46onthestructure}).
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Wir betrachten $M$ und $N$ nun als $A_1$-Moduln.
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Analog zum letzten Fall des Beweises von \cref{lem:tor-formel-potenzreihernring-diskreter-bewertungsring} (ersetze $\pi$ durch $a$ und $A$ durch $A_1$) folgt nun
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\begin{equation*}
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\chi^{A_1}(M, N) = 0.
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\end{equation*}
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Wenden wir \cref{lem:tor-formel-potenzreihernring-diskreter-bewertungsring} nun auf $A_1$ and, so erhalten wir
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\begin{equation*}
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\dim_A(M) + \dim_A(N) = \dim_{A_1}(M) + \dim_{A_1}(N) < \dim(A_1)
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\end{equation*}
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und damit
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\begin{equation*}
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\dim(M) + \dim(N) \le \dim(A_1) - 1 = \dim(A).
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\end{thm}
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