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10
chapters/chapter1.tex
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@ -1,9 +1,7 @@
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\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
In diesem Kapitel wollen Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen.
In diesem Kapitel wollen Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen.
Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen.
\section{Ganzzahlige Polynome}
@ -265,7 +263,7 @@ wohldefiniert.
Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung auf $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch.
Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
Der zu $\mfq$ assoziierte graduierte Ring
\begin{equation*}
H = \gr(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
\end{equation*}
@ -304,7 +302,7 @@ wohldefiniert.
\label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
\end{equation}
wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assoziierte graduierte Modul ist.
Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$.
Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
@ -457,7 +455,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di
Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über $d(M)$.
Im Fall $d(M) = 0$ ist $P_\mfq(M)$ konstant.
Es gibt ein $k \in \N$, mit der Eingeschaft, dass $P_\mfq(M, n) = \length_A(M / \mfq^n M)$ für alle $n \ge k $ gilt, also gilt $\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(M / \mfq^{n + 1} M)$ für alle $n \ge k$.
Es gibt ein $k \in \N$, mit der Eigenschaft, dass $P_\mfq(M, n) = \length_A(M / \mfq^n M)$ für alle $n \ge k $ gilt, also gilt $\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(M / \mfq^{n + 1} M)$ für alle $n \ge k$.
Betrachte nun folgende kurze exakte Sequenz:
\begin{equation*}
0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0

14
chapters/chapter2.tex
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@ -1,10 +1,8 @@
% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
\chapter{Der Koszul-Komplex}
\label{cha:der-koszul-komplex}
Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe.
Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglich Samuel’s Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Chaakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglicht Samuels Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
@ -255,7 +253,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\begin{lem}
\label{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring}
Seien $A$ und $B$ kommutative Ringe und sei $M$ sowohl ein $A$-Modul, als auch ein $B$-Modul.
Weiter seien $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$ eine Familie von Elementen aus $B$ mit der Eingeschaft, dass die Multiplikation mit $x_i$ und $y_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ jeweils den gleichen Gruppenhomomorphismus $\psi_i$ auf $M$ liefert.
Weiter seien $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$ eine Familie von Elementen aus $B$ mit der Eigenschaft, dass die Multiplikation mit $x_i$ und $y_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ jeweils den gleichen Gruppenhomomorphismus $\psi_i$ auf $M$ liefert.
Dann gibt es einen Isomorphismus vom Komplexen von abelschen Gruppen
\begin{equation*}
K^A(\bmx, M) \cong K^B(\bmy, M),
@ -271,7 +269,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
&\cong K^B_p(\bmy) \otimes_B M \\
&= K^B_p(\bmy, M)
\end{align*}
Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Ismorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*}
Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*}
\phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
\end{equation*}
Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ liefern dann jeweils beide die Abbildung:
@ -316,7 +314,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
K(\bmx, \bullet)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A)
\end{equation*}
ein Funktor.
Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesodere flach.
Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesondere flach.
Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$.
Desweiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus
\begin{equation*}
@ -368,7 +366,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M).
\end{equation*}
Durch den Ringhomomorphismus $A \hookrightarrow B$ wird auf $\Tor^B_p(A, M)$ eine $A$-Modulstruktur definiert, die offensichtlich mit der $A$-Modulstruktur von $H_p(\bmx, M)$ übereinstimmt.
Also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Ismomorphismus von $A$-Moduln.
Also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Isomorphismus von $A$-Moduln.
Insbesondere gilt für alle $a \in A$ mit $a \in \Ann_B(\Tor^B_p(A, M))$ auch $a \in \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
Nun gilt
\begin{align*}
@ -468,7 +466,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Wie im Beweise von \cref{thm:samuel-polynom} sieht man, dass $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul ist.
Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln.
Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugt über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$.
Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annulliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
Nach dem gleichen Argument, das wir bereits für die Wohldefiniertheit der Euler-Poincaré-Charakteristik verwendet haben, folgt dann, dass die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ alle endliche Länge haben.
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} Da $H_p(\bmy, \gr(M)) = 0$ für $p \notin \lbrace 0, \ldots, r \rbrace$ und wegen
\begin{equation*}

40
chapters/chapter3.tex
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@ -1,9 +1,7 @@
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\chapter{Multiplizitäten}
\label{cha:multiplizitaeten}
In diesem Kapitel wollen wir die Serre’s Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
In diesem Kapitel wollen wir die Serres Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion auf die Diagonale} vorstellen.
\section{Die Multiplizität eines Moduls}
@ -219,7 +217,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
Dieses entspricht einem Primideal $\mfq$ von $R$ mit $\mfq \cap S = \emptyset$, also $\mfq \subset \overline{S}$.
Wegen $R \neq 0$ gilt $1 \notin \mcZ(A)$ und da $\mfp$ prim ist, gilt $1 \notin \mfp$.
Es folgt $S \supset \overline{\mfp} \cup \overline{\mcZ(A)}$ und damit $\overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A)$.
Insgemsamt erhalten wir also
Insgesamt erhalten wir also
\begin{equation*}
\mfq \subset \overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A).
\end{equation*}
@ -240,7 +238,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
\end{equation*}
\begin{proof}
Nach dem noetherschen Normalisierungssatz gibt es $B' = k[X_1, \ldots, X_n]$ und $B'' = k[Y_1, \ldots, Y_m]$ mit der Eigenschaft, dass $A'$ ganz über $B'$ und $A''$ ganz über $B''$ ist.
Nach dem Going Up Theorem gilt dann $\dim(A') = \dim(B')$ und $\dim(A'') = \dim(B'')$. Weiter gilt
Nach dem \emph{Going Up Theorem} gilt dann $\dim(A') = \dim(B')$ und $\dim(A'') = \dim(B'')$. Weiter gilt
\begin{equation*}
B' \otimes_k B'' = k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_m] \cong k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m],
\end{equation*}
@ -278,7 +276,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
Demnach gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$.
Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei.
Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$.
Das Going Up Theorem liefert uns nun
Das \emph{Going Up Theorem} liefert uns nun
\begin{align*}
\dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) &= \dim(B' \otimes_k B'') \\
&= \dim(B') + \dim(B'')\\
@ -364,7 +362,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
\begin{equation*}
\height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim((D / \mfQ_0)/(\mfQ / \mfQ_0)) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim(D / \mfQ).
\end{equation*}
Nach Konstruktion gilt $A / \mfp \cong D / \mfQ$ und wir erhalten insgemsamt
Nach Konstruktion gilt $A / \mfp \cong D / \mfQ$ und wir erhalten insgesamt
\begin{equation*}
n \ge \height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'') - \dim(A / \mfp),
\end{equation*}
@ -404,7 +402,7 @@ Die obige Aussage übersetzt sich dann auf folgende Weise in algebraische Sprach
\begin{equation}
A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd
\end{equation}
Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Indeal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln.
Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Ideal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln.
Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur.
Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen
\begin{equation}
@ -438,7 +436,7 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf \emph{vervollständigte Tensorp
\label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt}
Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind.
Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
@ -459,7 +457,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}
Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item Es gilt
\begin{equation}
@ -480,7 +478,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{equation*}
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
\end{equation*}
Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollsändigung von $M \otimes_k N$.
Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollständigung von $M \otimes_k N$.
\item Der Ring $A \widehat{\otimes}_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei
\begin{equation*}
\mfr = \mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfn.
@ -506,7 +504,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{equation*}
\cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots.
\end{equation*}
\item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-requläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$.
\item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-reguläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$.
Dann gilt für alle $i > n - r$:
\begin{equation*}
\widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0
@ -628,7 +626,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
M \widehat{\otimes}_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)).
\end{equation*}
\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollständigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ voll ständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist.
Es gilt also auch
\begin{equation*}
@ -661,7 +659,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{equation*}
\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = \varprojlim_{n}\widehat{\Tor}^k_i(M, N / \mfq^n N)
\end{equation*}
genügt es die Behuptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen.
genügt es die Behauptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen.
Ist $i > n$, so gilt für alle $p,q \in \N$, dass $\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) = 0$, also auch $\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = 0$.
Dann liefert uns die kurze exakte Sequenz
\begin{equation*}
@ -735,7 +733,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
\begin{prop}
\label{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring}
Es sei $k$ ein Körper und $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$. Sei außerdem $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$ und $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
Dann gilt
\begin{equation}
\label{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe}
@ -862,7 +860,7 @@ Verwenden wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}, so
\end{equation*}
wohldefiniert und $\ge 0$ ist.
Die Voraussetungen von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} sind tatsächlich erfüllt:
Die Voraussetzungen von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} sind tatsächlich erfüllt:
$A$ ist regulär von gleicher Charakteristik und für $M = A / \mfp_U$ und $N = A / \mfp_V$ gilt
\begin{equation*}
\Supp(M \otimes_A N) = \Supp(M) \cap \Supp(N) = \lbrace \mfm \rbrace,
@ -944,7 +942,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
\item Wir können den Begriff der Zykel und \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} auf algebraische Varietäten erweitern, die nicht notwendigerweise affin sind.
In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ der Kodimension $p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
Ist $\mcM$ solch eine Modulgarbe mit $\dim(\Supp(\mcM)) \le a$ (was wir manchmal auch als $\dim(\mcM) \le a$ schreiben), so definieren wir auf offensichtliche Weise den Zykel $z_a(\mcM) \in Z_a(X)$.
Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzet werden.
Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzt werden.
\end{enumerate}
\end{bem}
@ -1010,7 +1008,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
\end{equation}
Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind.
Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assozierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assoziierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth-Formel}:
\begin{equation*}
\Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
@ -1035,7 +1033,7 @@ Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} ze
\begin{proof}[Beweis des zweiten Teils von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}~\cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b}]
Um zu zeigen, dass die Funktionen $I$ und $i$ übereinstimmen, betrachten wir zunächst den Fall, dass $U$ ein vollständiger Durchschnitt in $W$ ist.
Das bedeutet, dass das Ideal $\mfp_U$ von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt wrid und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$. Die Familie
Das bedeutet, dass das Ideal $\mfp_U$ von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt wird und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$. Die Familie
$\bmx = (x_1, \ldots, x_h)$ ist also eine $A$-reguläre Folge.
Nach \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor} gilt also
\begin{equation*}
@ -1078,7 +1076,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
\begin{prop}
\label{prop:reduktion-auf-die-diagonale-diskreter-bewertungsring}
Sei $k$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring, $A \cong B$ der formale Potenzreihenring über $k$ in $n$ Variablen über $k$ und seien $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
Sei $\pi$ ein Erzeuger des Maximalideals von $k$.
Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, so gilt
\begin{equation*}
@ -1103,7 +1101,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
C \cong k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]].
\end{equation*}
Sei außerdem $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
Durchfreie Auflösungen von $M$ und $N$ wie in Beweis von \cref{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring} und eine $C$-projektive Auflösung von $A \cong C / \mfd$ erhalten wir folgende Specktralsequenz:
Durchfreie Auflösungen von $M$ und $N$ wie in Beweis von \cref{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring} und eine $C$-projektive Auflösung von $A \cong C / \mfd$ erhalten wir folgende Spektralsequenz:
\begin{equation*}
\Tor^C_p(A, \widehat{\Tor}^k_q(M, N)) \Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, N)
\end{equation*}

10
chapters/einleitung.tex
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@ -1,15 +1,13 @@
% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
\chapter{Einleitung}
\label{cha:einleitung}
Die Schnitmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Besipiel {}\cite{fulton1998intersection}).
Die Schnittmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Beispiel {}\cite{fulton1998intersection}).
Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet.
Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht.
@ -62,7 +60,7 @@ Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, d
i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W).
\end{equation*}
Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen.
Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnittheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnitttheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren.
So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.